nbsp; В то время как для модификационного метода Эйлера

Тангенс угла наклона прямой Ĺ и прямой L равен

Ф(x_m,y_m,h)=½[f(x_m,y_m)+f(x_m+h,y_m+y¢_mh)] 1.2

 

где y¢_m=f(x_m,y_m) 1.3

 

Уравнение линии L при этом записывается в виде

 

y=y_m+(x-x_m)Ф(x_m,y_m,h),

 

так что

y_m+1=y_m+hФ(x_m,y_m,h). 1.4

 

Соотношения 1.2, 1.3, 1.4 описывают исправленный метод Эйлера.

Чтобы выяснить, насколько хорошо этот метод согласуется с разложением в ряд Тейлора, вспомним, что разложение в ряд функции f(x,y) можно записать следующим образом:

f(x,y)=f(x_m,y_m)+(x-x_m)¶f/¶x+(y-y_m)¶f/¶x+¼ 1.5

 

где частные производные вычисляются при x=x_m и y=y_m.

 

Подставляя в формулу 1.5 x=x_m+h и y=y_m+hy¢_m и используя выражение 1.3 для y¢_m, получаем

f(x_m+h,y_m+hy¢_m)=f+hf_x+hff_y+O(h2),

 

где снова функция f и ее производные вычисляются в точке x_m,y_m. Подставляя результат в 1.2 и производя необходимые преобразования, получаем

Ф(x_m,y_m,h)=f+h/2(f_x+ff_y)+O(h2).

 

Подставим полученное выражение в 1.4 и сравним с рядом Тейлора

y_m+1=y_m+hf+h2/2(f_x+ff_y)+O(h3).

 

Как видим, исправленный метод Эйлера согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени h2, являясь, таким образом, методом Рунге-Кутты второго порядка.

 

 

Рассмотрим модификационный метод Эйлера. Рассмотрим рис.3 где первоначальное построение сделано так же, как и на рис.2. Но на этот раз мы берем точку, лежащую на пересечении этой прямой и ординатой x=x+h/2. На рисунке эта точка образована через Р, а ее ордината равна y=y_m+(h/2)y¢_m. Вычислим тангенс угла наклона касательной в этой точке

Ф(x_m,y_m,h)=f+(x_m+h/2,y_m+h/2*y¢_m), 1.6

 

где y¢_m=f(x_m,y_m) 1.7

 

Прямая с таким наклоном, проходящая через Р, обозначена через L*. Вслед за тем, мы проводим через точку xm,ym прямую параллельную L*, и обозначаем ее через L₀. Пересечение этой прямой с ординатой x=x_m+h и даст искомую точку x_m+1,y_m+1. Уравнение прямой можно записать в виде y=y_m+(x-x_m)Ф(x_m,y_m,h),

где Ф задается формулой 1.6. Поэтому

y_m+1=y_m+hФ(x_m,y_m,h) 1.8

 

 

Соотношения 1.6, 1.7, 1.8 описывают так называемый модификационный метод Эйлера и является еще одним методом Рунге-Кутта второго порядка. Обобщим оба метода. Заметим, что оба метода описываются формулами вида

 

y_m+1=y_m+hФ(x_m,y_m,h) 1.9

 

и в обоих случаях Ф имеет вид

Ф(x_m,y_m,h)=a₁f(x_m,y_m)+a₂f(x_m+b₁h,y_m+b₂hy¢_m), 1.10

где y¢_m=f(x_m,y_m) 1.11

 

В частности, для исправленного метода Эйлера

 

a₁=a₂=1/2;

b₁=b₂=1.

nbsp; В то время как для модификационного метода Эйлера

 

a₁=0, a₂=1,

b₁=b₂=1/2.

 

Формулы 1.9, 1.10, 1.11 описывают некоторый метод типа Рунге-Кутты. Посмотрим, какого порядка метод можно рассчитывать получить в лучшем случае и каковы допустимые значения параметров a₁, a₂, b₁ и b₂.

 

Чтобы получить соответствие ряду Тейлора вплоть до членов степени h, в общем случае достаточно одного параметра. Чтобы получить согласование вплоть до членов степени h2, потребуется еще два параметра, так как необходимо учитывать члены h2f_x и h2ff_y. Так как у нас имеется всего четыре параметра, три из которых потребуются для создания согласования с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h2, то самое лучшее, на что здесь можно рассчитывать - это метод второго порядка.

 

В разложении f(x,y) в ряд 1.5 в окрестности точки x_m,y_m положим x=x_m+b₁h,

y=y_m+b₂hf.

Тогда f(x_m+b₁h,y_m+b₂hf)=f+b₁hf_x+b₂hff_y+O(h2), где функция и производные в правой части равенства вычислены в точке x_m,y_m.

Тогда 1.9 можно переписать в виде y_m+1=y_m+h[a₁f+a₂f+h(a₂b₁f_x+a₂b₂ff_y)]+O(h3).

 

Сравнив эту формулу с разложением в ряд Тейлора, можно переписать в виде

 

y_m+1=y_m+h[a₁f+a₂f+h(a₂b₁f_x+a₂b₂ff_y)]+O(h3).

 

Если потребовать совпадения членов hf, то a₁+a₂=1.

Сравнивая члены, содержащие h2f_x, получаем a₂b₁=1/2.

Сравнивая члены, содержащие h2ff_y, получаем a₂b₂=1/2.

 

Так как мы пришли к трем уравнениям для определения четырех неизвестных, то одно из этих неизвестных можно задать произвольно, исключая, может быть, нуль, в зависимости от того, какой параметр взять в качестве произвольного.

 

Положим, например, a₂=w¹0. тогда a₁=1-w, b₁=b₂=1/2w и соотношения 1.9, 1.10, 1.11 сведутся к

y_m+1=y_m+h[(1-w)f(x_m,y_m)+wf(x_m+h/2w,y_m+h/2wf(x_m,y_m))]+O(h3) 1.12

 

 

Это наиболее общая форма записи метода Рунге-Кутта второго порядка. При w=1/2 мы получаем исправленный метод Эйлера, при w=1 получаем модификационный метод Эйлера. Для всех w, отличных от нуля, ошибка ограничения равна

e_t=kh3 1.13

 

Методы Рунге-Кутта третьего и четвертого порядков можно вывести совершенно аналогично тому, как это делалось при выводе методов первого и второго порядков. Мы не будем воспроизводить выкладки, а ограничимся тем, что приведем формулы, описывающие метод четвертого порядка, один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений. Этот классический метод Рунге-Кутта описывается системой следующих пяти соотношений

y_m+1=y_m+h/6(R₁+2R₂+2R₃+R₄) 1.14

где R₁=f(x_m,y_m), 1.15

R₂=f(x_m+h/2,y_m+hR₁/2), 1.16

R₃=f(x_m+h/2,y_m+hR₂/2), 1.17

R₄=f(x_m+h/2,y_m+hR₃/2). 1.18

 

Ошибка ограничения для этого метода равна e_t=kh5

так что формулы 1.14-1.18 описывают метод четвертого порядка. Заметим, что при использовании этого метода функцию необходимо вычислять четыре раза.