Тангенс угла наклона прямой Ĺ и прямой L равен
Ф(xm,ym,h)=½[f(xm,ym)+f(xm+h,ym+y¢mh)] 1.2
где y¢m=f(xm,ym) 1.3
Уравнение линии L при этом записывается в виде
y=ym+(x-xm)Ф(xm,ym,h),
так что
ym+1=ym+hФ(xm,ym,h). 1.4
Соотношения 1.2, 1.3, 1.4 описывают исправленный метод Эйлера.
 |
Чтобы выяснить, насколько хорошо этот метод согласуется с разложением в ряд Тейлора, вспомним, что разложение в ряд функции f(x,y) можно записать следующим образом:
f(x,y)=f(xm,ym)+(x-xm)¶f/¶x+(y-ym)¶f/¶x+¼ 1.5
где частные производные вычисляются при x=xm и y=ym.
Подставляя в формулу 1.5 x=xm+h и y=ym+hy¢m и используя выражение 1.3 для y¢m, получаем
f(xm+h,ym+hy¢m)=f+hfx+hffy+O(h2),
где снова функция f и ее производные вычисляются в точке xm,ym. Подставляя результат в 1.2 и производя необходимые преобразования, получаем
Ф(xm,ym,h)=f+h/2(fx+ffy)+O(h2).
Подставим полученное выражение в 1.4 и сравним с рядом Тейлора
ym+1=ym+hf+h2/2(fx+ffy)+O(h3).
Как видим, исправленный метод Эйлера согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени h2, являясь, таким образом, методом Рунге-Кутты второго порядка.
Рассмотрим модификационный метод Эйлера. Рассмотрим рис.3 где первоначальное построение сделано так же, как и на рис.2. Но на этот раз мы берем точку, лежащую на пересечении этой прямой и ординатой x=x+h/2. На рисунке эта точка образована через Р, а ее ордината равна y=ym+(h/2)y¢m. Вычислим тангенс угла наклона касательной в этой точке
 |
Ф(xm,ym,h)=f+(xm+h/2,ym+h/2*y¢m), 1.6
где y¢m=f(xm,ym) 1.7
Прямая с таким наклоном, проходящая через Р, обозначена через L*. Вслед за тем, мы проводим через точку xm,ym прямую параллельную L*, и обозначаем ее через L0. Пересечение этой прямой с ординатой x=xm+h и даст искомую точку xm+1,ym+1. Уравнение прямой можно записать в виде y=ym+(x-xm)Ф(xm,ym,h),
где Ф задается формулой 1.6. Поэтому
 | |||
|
ym+1=ym+hФ(xm,ym,h) 1.8
Соотношения 1.6, 1.7, 1.8 описывают так называемый модификационный метод Эйлера и является еще одним методом Рунге-Кутта второго порядка. Обобщим оба метода. Заметим, что оба метода описываются формулами вида
ym+1=ym+hФ(xm,ym,h) 1.9
и в обоих случаях Ф имеет вид
Ф(xm,ym,h)=a1f(xm,ym)+a2f(xm+b1h,ym+b2hy¢m), 1.10
где y¢m=f(xm,ym) 1.11
В частности, для исправленного метода Эйлера
a1=a2=1/2;
b1=b2=1.
nbsp; В то время как для модификационного метода Эйлера
a1=0, a2=1,
b1=b2=1/2.
Формулы 1.9, 1.10, 1.11 описывают некоторый метод типа Рунге-Кутты. Посмотрим, какого порядка метод можно рассчитывать получить в лучшем случае и каковы допустимые значения параметров a1, a2, b1 и b2.
Чтобы получить соответствие ряду Тейлора вплоть до членов степени h, в общем случае достаточно одного параметра. Чтобы получить согласование вплоть до членов степени h2, потребуется еще два параметра, так как необходимо учитывать члены h2fx и h2ffy. Так как у нас имеется всего четыре параметра, три из которых потребуются для создания согласования с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h2, то самое лучшее, на что здесь можно рассчитывать - это метод второго порядка.
В разложении f(x,y) в ряд 1.5 в окрестности точки xm,ym положим x=xm+b1h,
y=ym+b2hf.
Тогда f(xm+b1h,ym+b2hf)=f+b1hfx+b2hffy+O(h2), где функция и производные в правой части равенства вычислены в точке xm,ym.
Тогда 1.9 можно переписать в виде ym+1=ym+h[a1f+a2f+h(a2b1fx+a2b2ffy)]+O(h3).
Сравнив эту формулу с разложением в ряд Тейлора, можно переписать в виде
ym+1=ym+h[a1f+a2f+h(a2b1fx+a2b2ffy)]+O(h3).
Если потребовать совпадения членов hf, то a1+a2=1.
Сравнивая члены, содержащие h2fx, получаем a2b1=1/2.
Сравнивая члены, содержащие h2ffy, получаем a2b2=1/2.
Так как мы пришли к трем уравнениям для определения четырех неизвестных, то одно из этих неизвестных можно задать произвольно, исключая, может быть, нуль, в зависимости от того, какой параметр взять в качестве произвольного.
Положим, например, a2=w¹0. тогда a1=1-w, b1=b2=1/2w и соотношения 1.9, 1.10, 1.11 сведутся к
 |
ym+1=ym+h[(1-w)f(xm,ym)+wf(xm+h/2w,ym+h/2wf(xm,ym))]+O(h3) 1.12
Это наиболее общая форма записи метода Рунге-Кутта второго порядка. При w=1/2 мы получаем исправленный метод Эйлера, при w=1 получаем модификационный метод Эйлера. Для всех w, отличных от нуля, ошибка ограничения равна
 |
et=kh3 1.13
Методы Рунге-Кутта третьего и четвертого порядков можно вывести совершенно аналогично тому, как это делалось при выводе методов первого и второго порядков. Мы не будем воспроизводить выкладки, а ограничимся тем, что приведем формулы, описывающие метод четвертого порядка, один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений. Этот классический метод Рунге-Кутта описывается системой следующих пяти соотношений
 |
ym+1=ym+h/6(R1+2R2+2R3+R4) 1.14
где R1=f(xm,ym), 1.15
R2=f(xm+h/2,ym+hR1/2), 1.16
R3=f(xm+h/2,ym+hR2/2), 1.17
R4=f(xm+h/2,ym+hR3/2). 1.18
Ошибка ограничения для этого метода равна et=kh5
так что формулы 1.14-1.18 описывают метод четвертого порядка. Заметим, что при использовании этого метода функцию необходимо вычислять четыре раза.
