Нечеткие отношения и их свойства

Определение 30. Нечетким отношением на множествах называется нечеткоеподмножество декартова произведения . Степень принадлежности показывает степеньвыполнения отношения между элементами , , .

В дальнейшем будем рассматривать только бинарныенечеткие отношения, которые задаются на декартовом произведении двух множеств.Обозначим эти множества через и . Тогда задание бинарного нечеткогоотношения на состоит вуказании всех троек , где , , или, что тоже самое, .

Пример 5. Задать нечеткое отношение (" приблизительно равно ").

Пусть . Тогда нечеткое отношение удобнозадавать матрицей вида:

.

Длянепрерывных множеств и нечеткое отношение можно задатьследующей функцией принадлежности: . Нечеткие отношения на дискретных инепрерывных множествах изображены на рис. 10.

Пример 6. Задать нечеткое отношение " намного меньше, чем ".

Пусть . Тогда нечеткое отношение можно задатьматрицей вида:

.

Длянепрерывных множеств и нечеткое отношение " намного меньше, чем " можноопределить такой функцией принадлежности: . Нечеткие отношения " намного меньше, чем " надискретных и непрерывных множествах изображены на рис. 11.

Как видно из примеров, нечеткие отношения являютсяболее гибкими по сравнению с традиционными отношениями. Они позволяют задать нетолько сам факт выполнения отношения, но и указывать степень его выполнения,что является очень важным для многих практических задач.

Рисунок10 - Нечеткое отношение " приблизительно равно "

Рисунок11 - Нечеткое отношение " намного меньше, чем "

Пример 7. Задать отношение "схожий менталитет" для следующих национальностей {Украинцы(У), Чехи (Ч), Австрийцы (А), Немцы (Н)}.

Использование обычного, не нечеткого отношенияпозволяет выделить только одну пару наций со схожими менталитетами -немцев и австрийцев. Этим отношением не отражаться тот факт, что по менталитетучехи более близки к немцам, чем украинцы. Нечеткое отношение позволяет легкопредставить такую информацию: .

Определение 31. Носителем нечеткого отношения на множествах и называетсяподмножество декартова произведения вида: .

Носитель нечеткого отношения можно рассматривать какобычное отношение, связывающего все пары , для которых степень выполнениянечеткого отношения не равна нулю. Более полезным являетсяиспользование -сеченийнечеткого отношения, определения которых аналогично определениям множеств -уровня (см. раздел1.2).

Определение 32. -сечением нечеткого отношения на называется обычноеотношение, связывающее все пары , для которых степень выполнениянечеткого отношения не меньше : .

Определение 33. Нечеткое отношение на называется рефлексивным, еслидля любого выполняетсяравенство .В случае конечного множества все элементы главной диагонали матрицы равны 1. Примеромрефлексивного нечеткого отношения может быть отношение "приблизительно равны".

Определение 34. Нечеткое отношение на называется антирефлексивным, еслидля любого выполняетсяравенство .В случае конечного множества все элементы главной диагонали матрицы равны 0.Примером антирефлексивного нечеткого отношения может быть отношение"значительно больше".

Определение 35. Нечеткое отношение на называется симметричным, еслидля любой пары выполняетсяравенство .Матрица симметричного нечеткого отношения, заданного на конечном множестве,симметричная.

Определение 36. Нечеткое отношение на называется асимметричным, есливыражение справедливодля любой пары .Примером асимметричного нечеткого отношения может служить отношение "намногобольше".

Определение 37. Нечеткое отношения и на называется обратными, если длялюбой пары выполняетсяравенство .Примером обратных нечетких отношений может служить пара "намного больше" ‑"намного меньше".