МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
В квантовой механике каждой динамической переменной (координате, импульсу, энергии и т.д.) ставится в соответствие линейный самосопряженный оператор. Оператором 
наз. правило или закон, согласно которому функции 
, из некоторого класса функций, ставится в соответствие другая функция φ.
Операторы обозначаются символом ^, например, , 
, 
и т.д. Говорят, что оператор действует на функцию f или оператор переводит функцию
f в φ:
(1)
Например, = 
; 
.
Действуя оператором на функцию, получим:
, 
.
Оператор определен на некотором классе функций. Оператор считается заданным, если указано не только правило, с помощью которого он преобразует одну функцию в другую, но и то множество функций, на которые действует этот оператор. Например, оператор дифференцирования определен на классе дифференцируемых функций.
Сумма или разность операторов означает
В общем случае 
, но если последовательность действия операторов не имеет значения, т.е. 
, то говорят, что эти операторы коммутируют или эти операторы коммутативны. Если операторы не коммутативны. Кроме коммутативных и некоммутативных операторов существуют антикоммутативные операторы: 
.
Произведение 2-х одинаковых операторов: 
, n раз: 
.
В квантовой механике большую роль играют линейные самосопряженные (эрмитовы) операторы. Свойство линейности означает, что
Здесь 
и 
– постоянные
и 
функции, на которых определен оператор 
.
Условие линейности операторов можно записать так:
Операторы могут иметь векторный характер. В квантовой механике часто встречается оператор набла:
- орт-векторы (единичные).
Произведение 2-х векторных операторов строится как скалярное произведение векторов:
= 
Оператор 
, для которого выполняется следующее равенство, наз. самосопряженным или эрмитовым:
От функций и требуется, чтобы оператор 
был определен на них и интегралы, входящие в это выражение, существовали.
Знак * означает комплексное сопряжение. Например, для выражения
Для получения комплексной сопряженности числа, содержащего мнимую единицу, нужно заменить 
на - : 
. Вещественный оператор при комплексном сопряжении остается неизменным.
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ
Когда в результате действия оператора на функцию, она не меняется или изменяется лишь на некоторый множитель, например, 
, то говорят, что 
– это собственное значение оператора 
, а функция 
- собственная функция оператора 
.
Условие, при котором оператор 
оставляет функцию f неизменной, с точностью до постоянного множителя, можно записать в виде: 
(1).
Здесь 
– постоянная, зависящая от вида оператора и функции. Очевидно, что не всякая функция f будет удовлетворять условию (1) и не при всяких значениях . Значения , при которых уравнение (1) имеет отличные от нуля решения, называются собственными значениями оператора . Набор собственных значений называется спектром собственных значений оператора 
. Спектр может быть непрерывным и дискретным. Он является непрерывным, если уравнение (1) имеет решение при всех значениях в некотором промежутке. Спектр собственных значений может быть смешанным, т.е. состоять из непрерывных и дискретных значений. Каждому собственному значению оператора 
соответствует собственная функция 
. В этом случае, говорят, что собственная функция принадлежит собственному значению . Если каждому собственному значению оператора принадлежит несколько различных функций 
, то говорят, что этот спектр 
-кратно вырожден. Рассмотрим несколько важных свойств собственных значений и собственных функций.
Теорема 1: Если оператор самосопряженный, то его собственные значения вещественны.
Теорема 2: Собственные функции и 
самосопряженного оператора , принадлежащие разным собственным значениям и 
,ортогональны между собой:
. (2)
В случае дискретного спектра интеграл имеет конечное значение.
Если вместо функции выберем функцию 
, то имеем 
. Замена функции на 
таким способом называется нормированием функции , а коэффициент 
- коэффициентом нормировки.
Функция называется нормированной. Собственные функции дискретного спектра всегда можно считать нормированными.
Условие ортогональности и нормировки вместе можно записать следующим образом:
(4)
- символ Кронекера.
Возможны случаи, когда разные собственные функции принадлежат одинаковым собственным значениям, т.е. имеет место вырождение. Вырожденные функции вообще говорят не ортогональны.
Теорема 3: Если несколько собственных функций принадлежат одинаковым собственным значениям, то любая линейная комбинация из этих функций является решением того же операторного уравнения и с тем же собственным значением.
Теорема 4: Если 2 оператора 
и 
имеют общую полную систему собственных функций, они коммутируют.
Теорема 5: Если 2 оператора и коммутируют, то они имеют общие собственные функции.
Теорема 6: Система собственных функций операторного уравнения полна. Это значит, что любую функцию 
, определенную в той же области переменных и подчиненную тем же граничным условиям, что и собственные функции дискретного спектра 
оператора , можно представить в виде ряда из этих собственных функций:
