Тема: Щільні, всюди щільні, ніде не щільні множини. Сепарабельні простори. Приклади

Нехай та – дві множини в метричному просторі .

Означення: Множина називається щільною в , якщо .

Означення: Множина називається всюди щільною у просторі , якщо її замикання .

Приклад: множина раціональних чисел всюди щільна на числовій прямій (у просторі ).

Означення: Множина називається ніде не щільною, якщо вона не щільна в жодній кулі, тобто якщо в кожній кулі міститься інша куля , що не має з жодної спільної точки:

.

Означення: Простори, в яких міститься зліченна всюди щільна множина, називаються сепарабельними.

Приклади:

1) Дискретний простір, що містить зліченне число елементів – сепарабельний.

2) Всі простори, окрім m, - сепарабельні:

а) В просторі : (множина раціональних чисел)-зліченна, всюди щільна множина;

б) В просторах : множина всіх векторів з раціональними координатами – злічена, всюди щільна множина;

в) В просторі : множина всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами – злічена, всюди щільна множина.

Доведення.Об’єднання скінченного числа та зліченого числа злічених множин,тому множина – злічена. Ця множина буде всюди щільною, тому що за теоремою Вєйєрштрасса існує многочлен с дійсними коефіцієнтами, такий що , тоді за теоремою Вєйєрштрасса існує многочлен с раціональними коефіцієнтами, такий що ,отже

г) Простір з послідовностями:

,

дійсних чисел, які сумуються з 2-ой степінню

,

 

з відстанню

,

 

це сепарабельний простір.

Зліченна, всюди щільна множина – це множина всіх послідовностей раціональних чисел, в якій лише скінчене число членів не дорівнюється нулю, та у кожній послідовності число таких членів різне,

.

Доведення:

- всюди щільне -?

Для кожного , при довильному,

знайдемо n таке, що:

.

Тоді наша послідовність матиме вигляд:

.

Візьмемо такі ,що:

.

Наприклад:

.

Доведемо, що .

Отже, , та – всюди щільне. ■

д) Простір – сепарабельний, множина всіх многочленів з раціональними координатами – злічена, всюди щільна множина у ньому.

е) Простір – множина всіх обмежених послідовностей дійсних чисел,

,

таких що ,

не сепарабельний простір.

Доведення.Розглянемо множину всіх послідовностей з , які складаються з нулів та одиниць. Потужність цієї множини континуум, тому що між цими послідовностями и множиною всіх підмножин множини натуральних чисел можна встановити взаємно однозначну відповідність. Відстань між будь-якими елементами дорівнює одиниці.

Нехай існує зліченна всюди щільна множина . Побудуємо біля кожного з елементів множини кулі радіуса . Тоді в одну з таких куль з центром в потрапить хоч би два елемента з множини та

.

Таке протиріччя спростовує існування множини , отже простір не сепарабельний.

ж) Простір з послідовностями дійсних чисел:

,

що сумуються з р – степінню:

,

 

це сепарабельних простір.

Злічена, всюди щільна множина - це множина всіх послідовностей раціональних чисел, в якій лише скінчене число членів не дорівнюється нулю, та у кожній послідовності число таких членів різне,

 

.