Исследование функции и построение её графика

Функция называется монотонно возрастающей в интервале хÎ(а,b), если для любых двух точек х₁ и х₂ этого интервала из неравенства х₂>х₁ следует неравенство > , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.

Функция называется монотонно убывающей на интервале хÎ(а,b), если для любых двух точек х₁ и х₂ этого интервала из неравенства х₂>х₁ следует неравенство < , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции.

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции.

Достаточный признак монотонности дифференцируемой функции: если на интервале хÎ(а, b) производная сохраняет знак, то функция сохраняет монотонность на этом интервале, а именно:

если , то монотонно возрастает;

если , то монотонно убывает.

Точка х₀ называется точкой максимума функции , если существует такая двухсторонняя окрестность точки х₀, что для всякой точки х¹х₀ этой окрестности выполняется неравенство . При этом число называется максимумом функции .

Аналогично, если для всякой точки х¹х₀ из некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство , то х₀ называется точкой минимума, а число – минимумом функции .

Экстремумами функции называются ее максимумы и минимумы. Точками экстремума функции называются её точки максимума и минимума.

Понятие экстремума связано с наличием окрестности точки х₀ из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точках области определения.

Необходимое условие экстремума: если непрерывная функция имеет экстремум в точке х₀, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками функции .

Необходимое условие экстремума не является достаточным, т.е. точки, в которых или же не существует, необязательно являются точками экстремумов функции.

Достаточные условия экстремума: если при переходе через критическую точку х₀ (слева направо) производная изменяет свой знак, то в точке х₀ есть экстремум причем, это максимум, если знак меняется с плюса на минус, и это минимум, если знак меняется с минуса на плюс. Если при переходе через критическую точку х₀ производная не изменяет свой знак, то в точке х₀ нет экстремума функции .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Исследование функции и построение её графика. Стр.1

График функции называется выпуклым (или выпуклым вверх) на интервале xÎ(a;b), если он расположен ниже любой касательной, проведенной к графику на этом интервале.

График функции называется вогнутым (или выпуклым вниз) на интервале x Î(a; b), если он расположен выше любой касательной, проведенной к графику на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

В простейших случаях область определения функции можно разбить на конечное число интервалов с постоянным направлением выпуклости.

Например, при x Î(a; х ₀) график выпуклый, при x Î(х ₀; b) вогнутый, М ₀(х ₀; y ₀) – точка перегиба.

В точке перегиба касательная пересекает график (конечно, при условии, что касательная существует в этой точке).

Достаточное условие выпуклости, вогнутости: если функция является дважды дифференцируемой и ее сохраняет знак при всех xÎ(a;b), то график функции имеет постоянное направление выпуклости на этом интервале:

при <0 – выпуклость вверх,

при >0 – вогнутость (выпуклость вниз).

Необходимое условие для точки перегиба: если x₀ – абсцисса точки перегиба графика функции , то или не существует.

Необходимое условие для точки перегиба не является достаточным. Точки, принадлежащие графику функции , в которых или не существует, называются подозрительными на перегиб или критическими точками функции по её второй производной.

Достаточное условие для точек перегиба: если вторая производная при переходе через точку х₀, подозрительную на перегиб, изменяет знак, то точка графика с абсциссой х₀ является точкой перегиба. Если не изменяет знак при переходе через точку х₀, то перегиба нет.

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Для кривой, которая является графиком функции , различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Исследование функции и построение её графика. Стр.2

Прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции , если выполняется хотя бы одно из условий: или , т.е. если значение х=а является точкой разрыва второго рода функции или границей ее области определения.

Прямая является наклонной (при k=0 горизонтальной) асимптотой графика функции , если существуют конечные пределы

и . (1)

Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то кривая наклонной асимптоты не имеет.

При практическом вычислении пределы (1) могут быть различными при х®+¥ и при х®–¥.

Полное исследование функций и построение их графиков удобно выполнять по следующей схеме:

1) найти область определения функции, точки разрыва;

2) выяснить, не является ли функция чётной или нечётной, периодической;

3) найти точки пересечения с осями координат и промежутки знакопостоянства;

4) найти асимптоты графика функции;

5) исследовать монотонность функции и найти ее экстремумы;

6) найти точки перегиба, установить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;

7) используя результаты исследования, построить график функции.