Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ћатематический аппарат в модел€х разных иерархических уровней




 

 математическому обеспечению (ћќ) —јѕ– относ€тс€:

Ј математические модели,

Ј численные методы,

Ј алгоритмы выполнени€ проектных процедур.

 омпоненты ћќ определ€ютс€ базовым математическим аппаратом, специфичным дл€ каждого из иерархических уровней проектировани€.

Ќа микроуровне типичные математические модели представлены дифференциальными уравнени€ми в частных производных вместе с краевыми услови€ми.  этим модел€м, называемым распределенными, относ€тс€ многие уравнени€ математической физики. ќбъектами исследовани€ здесь €вл€ютс€ пол€ физических величин, что требуетс€ при анализе прочности строительных сооружений или машиностроительных деталей, исследовании процессов в жидких средах, моделировании концентраций и потоков частиц в электронных приборах и т. п.

„исло совместно исследуемых различных сред (число деталей, слоев материала, фаз агрегатного состо€ни€) в практически используемых модел€х микроуровн€ не может быть большим ввиду сложностей вычислительногохарактера. –езко снизить вычислительные затраты в многокомпонентных средах можно, толькоприменивиной подходк моделированию,основанныйна прин€тии определенных допущений.

ƒопущение, выражаемое дискретизацией пространства, позвол€ет перейти к модел€м макроуровн€. ћодел€мимакроуровн€,называемымитакже сосредоточенными, €вл€ютс€ системы алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений,посколькунезависимойпеременнойздесь остаетс€ только врем€ t. ”прощение описани€ отдельных компонентов (деталей) позвол€ет исследовать модели процессов в устройствах, приборах, механических узлах, число компонентов в которых может доходить до нескольких тыс€ч.

¬ тех случа€х, когда число компонентов в исследуемойсистеме превышает некоторый порог, сложность модели системы на макроуровне вновь становитс€ чрезмерной. ѕоэтому, принима€ соответствующиедопущени€,переход€тна функционально-логический уровень. Ќа этом уровне используют аппарат передаточных функций дл€ исследовани€ аналоговых (непрерывных) процессов или аппарат математической логики и конечных автоматов, если объектом исследовани€ €вл€етс€ дискретный процесс, т. е. процессс дискретным множеством состо€ний.

Ќаконец, дл€ исследовани€ еще более сложных объектов, примерами которых могут служить производственные предпри€ти€ и их объединени€, вычислительные системы и сети, социальные системы и другие подобные объекты, примен€ют аппарат теории массового обслуживани€,возможно использованиеи некоторых других подходов, например сетей ѕетри. Ёти моделиотнос€тс€ к системному уровню моделировани€.

 

“ребовани€ к математическим модел€м и численным методам в —јѕ–

ќсновнымитребовани€ми кћќ€вл€ютс€требовани€ адекватности, устойчивости, экономичности. ћодельвсегда лишь приближенно отражаетнекоторые свойства объекта.

јдекватность имеет место, если модель отражает заданные свойства объекта сприемлемойточностью.“очность математической модели заключаетс€ в максимальном учете всех факторов, присутствующих в реальном физическом процессе, чтобы математическа€ модель позвол€ла моделировать этот процесс. јдекватность ћќ относительна, так как оценить ее мы можем только с позиций современного состо€ни€ средств измерени€. Ќапример в 16 веке √аллилео √аллилей открыл закон свободного падени€, в котором описал вли€ние на падающее тело прит€жени€ «емли. ¬ 17 веке »саак Ќьютон сформулировал закон всемирного т€готени€, где учел взамное вли€ние двух тел как силу пр€мопропорциональную их массам и обратнопропорциональную квадрату рассто€ни€ между ними. Ётот закон уточн€л результат √алиле€ как частный случай но носил качественный характер и опиралс€ь на результаты экспериментов, выполненных на тогдашней лабораторной базе. “олько в 19 веке эксперименты  авендиша и ѕуассона дали возможность вычислить в формуле Ќьютона гравитационную посто€нную G = 6,67428 10-11 м3с-2кг-1 или Ќ м2 кг-2. Ќа этом примере мы видим как со временем мен€лась и уточн€лась математическа€ модель (формула), описывающа€ реально существующий физический процесс, так как совершенствовались средства измерени€ при проведении экспериментов. —оответственно мен€лось наше представление об этом физическом процессе, сам же процесс все врем€ оставалс€ одним и тем же и не зависит от точности его описани€.

јдекватностьоцениваетс€перечнемотражаемыхсвойствиобласт€ми адекватности. ќбласть адекватности Ч область в пространствепараметров, впределахкоторой погрешностимоделиостаютс€ в допустимыхпределах. Ќапример, область адекватности линеаризованной модели поверхности детали определ€етс€системойнеравенств

 

max|ε0 | ≤ εдоп,

 

где εij и εдоп Ч допущенна€ и предельно допустима€ относительные погрешностимоделировани€ поверхности,максимумберетс€повсемкоординатам и контролируемым точкам;

εij= (x ijист Ц xijмод)/ x ijист

xijист, xijмод Ч i -€ координата j -той точки поверхности в объекте и моделисоответственно.

ќтметим, что в большинстве случаев области адекватности стро€тс€ в пространствевнешнихпеременных.“ак,областьадекватностимодели электронного радиоэлементаобычно выражаетдопустимыедл€ применени€ модели диапазоны изменени€ моделируемых температур, внешних напр€жений, частот.

— областью адекватности тесно св€зана еще одна характеристика ћќ Ц чувствительность к изменению данных. ѕри этом различают устойчивые и неустойчивые ћќ. ƒл€ устойчивых моделей можно гарантировать, что погрешность будет находитьс€ в некоторых заданных пределах, если изменени€ параметров ћќ тоже будут происходить в ограниченном диапазоне значений. ћатематически устойчивость описываетс€ как отношение изменени€ результата Df к изменению конкретного параметра Dx:

ƒл€ нескольких параметров x1, x2, Е xn устойчивость будет определ€тьс€ как сумма устойчивостей по каждому параметру:

|ґf /ґx1| + |ґf /ґx2| + |ґf /ґx3| +... + |ґf /ґxn|.

ƒл€ устойчивых ћќ это отношение меньше 1, дл€ неустойчивых Ц больше 1. ѕримером устойчивой ћќ в механике €вл€етс€ игрушка-невал€шка, а неустойчивой Ц спичечный коробок, поставленный на ребро. ¬ первом случае небольшое изменение положени€ центра т€жести вызовет возврат к положению поко€, а во втором к нарастанию этого смещени€. ¬ радиотехнике устойчивость работы усилительных каскадов приемника обеспечиваетс€ отрицательной обратной св€зью, в противном случае в этих каскадах возникает возбуждение (резкий свист). Ќаоборот дл€ генератора нужно, чтобы состо€ние было неустойчивым. » электронна€ схема переключалась поочередно из одного полл€рного состо€ни€ в другое.

–ассмотрим еще один пример ћќ, описываемой уравнением

x3 Ц 3x2 + 3x Ц a = 0

где a Ц некоторый параметр.

»сследуем вли€ние этого параметра на результат Ц корень уравнени€.

ƒл€ этого несколько преобразуем уравнение к виду:

 

(x-1)3 + (1-a) = 0

“еперь определим корень при а=1. Ќесложно видеть, что xk = 1.

»зменим a на 0,001 (0,1% от первоначального значени€) до величины a = 1,001. “еперь корень уравнени€ также изменитс€ и будет вычислен как xk = 1,1. (изменитс€ на 10% от первоначального значени€). Ќалицо неустойчива€ ћќ, так как ґxk /ґa = 10% / 0,01% = 1000.

Ёкономичность (вычислительна€ эффективность ) определ€етс€затратами ресурсов, требуемыхдл€ реализации модели. ѕоскольку в —јѕ– используютс€ математические модели, далее речь пойдет о характеристиках именно математическихмоделей, и экономичность будет характеризоватьс€ затрата ми машинных времени и пам€ти.

јналогичные требовани€ по точности и экономичности фигурируют при выборе численных методов решени€ уравнений модели.

ѕоскольку численные методы примен€ютс€ дл€ решени€ ћќ с помощью компьютера, то дл€ нас важным становитс€ фактор существовани€ и единственности решени€. ƒействительно, отсутствие решени€ ротведет к "зависанию" и зацикливанию программы, то есть напрасной трате вычислительных ресурсов компьютера, а наличие нескольких решений приводит к неопределенности и отсутствию воспроизводимости результата при серии эспериментов с одними и теми же данными. ѕоэтому важно еще до начала запуска компьютерной программы моделировани€ оценить эти факторы и уточнить диапазон возможных изменений параметров.

ѕример. Ќайти решение системы уравнений:

≈сли рассматривать каждое уравнение системы, как отдельную функцию, то решением будут координаты общей точки на графиках обеих функций. ≈сли с первой функцией все более или менее €сно Ц это убывающа€ функци€ в области положительных значений x, размещенна€ в первой четверти. “о положение пр€мой, описываемой вторым уравнением будет существенно зависеть от параметров a и b.

¬ зависимости от них точка пересечени€ (решение) может быть одна, две или вообще отсутствовать.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-11-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 596 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

ѕобеда - это еще не все, все - это посто€нное желание побеждать. © ¬инс Ћомбарди
==> читать все изречени€...

1360 - | 1304 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.011 с.