Ширина интерференционных полос

Обычно экран для наблюдения интерференционной картины располагают так, чтобы оба луча и нормаль к экрану находились в одной плоскости. В этом случае ширина интерференционных полос полностью определяется углами падения световых волн на экран и длиной световой волны и не зависит от оптической схемы формирования интерферирующих волн.

Пусть две плоские световые волны падают на экран под углами и (рис. 19), точки и - середины двух соседних светлых полос на экране, - поверхность равной фазы первой волны, - поверхность равной фазы второй волны. Поверхность имеет ту же фазу, что и поверхность , так как в точке фазы двух волн одинаковые (светлая полоса). Поэтому можно считать, что это одна и та же поверхность равной фазы волны, идущей от одного точечного источника разными путями. Следовательно, оптическую разность хода, например для точки экрана , можно отсчитывать от пары точек и как бы общей поверхности равной фазы.

Из рис. 19 видно, что поверхность равной фазы первой волны еще не дошла до точки на отрезок , а поверхность второй волны уже зашла за точку на отрезок . Тогда оптическая разность хода для точки равна

Точки и - середины соседних светлых полос, тогда оптическая разность хода равна длине волны , так как при переходе по экрану на одну полосу разность хода меняется на . Выражая из этого равенства ширину полосы , и обозначая ее через , получаем

где знак '+' соответствует положительным углам падения и отсчитанным в разные стороны от нормали к экрану, как на рис. 19.

В большинстве задач углы падения малы, тогда и выражение для ширины полос упрощается

где - угол между лучами сходящимися на экране.

Эта формула сводит оптическую задачу к геометрической. Для определения ширины интерференционных полос нужно построить два луча, выходящие из одной точки источника света и попадающие в одну точку экрана. Ширина полос - это отношение длины волны света к углу между лучами, сходящимися в одну точку.

Если ширины соседних полос заметно различаются, то термина "ширина полос" избегают. Такая ситуация возникает при интерференции плоской и сферической волн, например при наблюдении колец Ньютона. Кольца Ньютона наблюдаются при интерференции волны, отраженной от сферической поверхности выпуклой линзы, и волны, отраженной от плоской поверхности, соприкасающейся со сферической поверхностью линзы. В этой задаче вместо ширины полос ищут радиус светлого (или темного) кольца с произвольным номером .

ВОПРОС 17

Применение интерференции света

Явление интерференции волн находит разнообразное применение. Рассмотрим лишь некоторые примеры применения интерференции. · Тот факт, что расположение интерференционных полос зависит от длины волны и разности хода лучей, позволяет по виду интерференционной картины (или их смещению) проводить точные измерения расстояний при известной длине волны или, наоборот, определять спектр интерферирующих волн (интерференционная спектроскопия). Для осуществления таких измерений разработаны различные схемы высокоточных измерительных приборов, называемых интерферометрами (двух- и многолучевые) (рис. 8.9). Незначительное перемещение одного из зеркал интерферометра приводит к смещению интерференционной картины, что можно использовать для измерения длин с точностью до. Измерения с помощью интерферометра Майкельсона привели к фундаментальным изменениям представлений о пространстве и времени. Доказали отсутствие эфира. Послужили основой специальной теории относительности. · По интерференционной картине можно выявлятьи измерять неоднородности среды (в т.ч. фазовые), в которой распространяются волны, или отклонения формы поверхности от заданной. · Явление интерференции волн, рассеянных от некоторого объекта (или прошедших через него) с «опорной» волной, лежит в основе голографии (в т.ч. оптической, акустической или СВЧ-голографии). · Интерференционные волны от отдельных «элементарных» излучателей используются при создании сложных излучающих систем (антенн) для электромагнитных и акустических волн. · Просветление оптики и получение высокопрозрачных покрытий и селективных оптических фильтров. Одной из важных задач, возникающих при построении различных оптических и антенных устройств СВЧ-диапазона, является уменьшение потерь () интенсивности света, мощности потока электромагнитной энергии при отражении от поверхностей линз, обтекателей антенн и пр. приборов, используемых для преобразований световых и радиоволн в разнообразных приборах фотоники, оптоэлектроники и радиоэлектроники. Для уменьшения потерь на отражение используется покрытие оптических деталей (линз) 3 пленкой 2 со специальным образом подобранными толщиной δ и показателем преломления n (рис. 8.14).

Рис. 8.14 Рис. 8.15 Идея уменьшения интенсивности отраженного света от поверхности оптических деталей состоит в интерференционном гашении волны, отраженной от внешней поверхности детали 1, волной отражённой от внутренней 2. Для осуществления этого амплитуды обеих волн должны быть равны, а фазы отличаться на 180°. В этом случае обеспечивается гашение отражённой волны. Необходимоесоотношение между фазами отражённых волн обеспечивается выбором толщины плёнки δ, кратной нечётному числу четвертей длины волны проходящего через рассматриваемую деталь света: .

(8.6.1) Таким образом, если выполняется условие (8.6.1), то в результате интерференции наблюдается гашение отраженных лучей. Так как добиться одновременного гашения для всех длин волн невозможно, то его делают для

. Поэтому объективы с просветленной оптикой кажутся голубыми. · Получение высокоотражающих диэлектрических зеркал Значительно повысить коэффициент отражения R зеркал можно, используя последовательность чередующихся диэлектрических слоев с высоким и низким показателями преломления (рис. 8.15). Если оптическая толщина всех слоев одинакова и равна (), то отраженные их границами волны находятся, как легко заметить, в одинаковой фазе и в результате интерференции усиливают друг друга. Такие многослойные диэлектрические покрытия дают высокую отражательную способность только в ограниченной области длин волн вблизи значения , для которого оптическая толщина слоев равна . Обычно наносят от 5 до 15 слоев сульфида цинка () и криолита (). С семью слоями легко добиться в спектральной области шириной порядка 50 нм. Для получения коэффициента отражения надо нанести 11–13 слоев. Такие зеркала используются в лазерных резонаторах (Рис.8.16)

ВОПРОС 18

Дифра́кция во́лн (лат. diffractus — буквально разломанный, переломанный, огибание препятствия волнами) — явление, которое проявляет себя как отклонение от законов геометрической оптики при распространенииволн. Она представляет собой универсальное волновое явление и характеризуется одними и теми же законами при наблюдении волновых полей разной природы.

Дифракция неразрывно связана с явлением интерференции. Более того, само явление дифракции зачастую трактуют как случай интерференции ограниченных в пространстве волн (интерференция вторичных волн). Общим свойством всех эффектов дифракции является зависимость степени её проявления от соотношения между длиной волны λ и размером ширины волнового фронта d, либо непрозрачного экрана на пути его распространения, либо неоднородностей структуры самой волны.

Поскольку в большинстве случаев, имеющих практическое значение, это ограничение ширины волнового фронта имеет место всегда, постольку явление дифракции всегда сопровождает любой процесс распространения волн.

Так, именно явлением дифракции задаётся предел разрешающей способности любого оптического прибора, создающего изображение, который невозможно преступить принципиально при заданной ширине спектра используемого для построения изображения излучения^[1].

В ряде случаев, в особенности при изготовлении сложных оптических систем, разрешающая способность ограничивается не дифракцией, а аберрациями, как правило, возрастающими при увеличении диаметра объектива. Отсюда происходит известное фотографам явление увеличения до определённых пределов качества изображения при диафрагмировании объектива.

При распространении излучения в оптически неоднородных средах дифракционные эффекты заметно проявляются при размерах неоднородностей, сравнимых с длиной волны. При размерах неоднородностей, существенно превышающих длину волны (на 3—4 порядка и более), явлением дифракции, как правило, можно пренебречь. В последнем случае распространение волн с высокой степенью точности описывается законамигеометрической оптики. С другой стороны, если размер неоднородностей среды сравним с длиной волны, в таком случае дифракция проявляет себя в виде эффекта рассеяния волн.^[2]

Изначально явление дифракции трактовалось как огибание волной препятствия, то есть проникновение волны в область геометрической тени. С точки зрения современной науки определение дифракции как огибания светом препятствия признается недостаточным (слишком узким) и не вполне адекватным. Так, с дифракцией связывают весьма широкий круг явлений, возникающих при распространении волн (в случае учёта их пространственного ограничения) в неоднородных средах.

Дифракция волн может проявляться:

· в преобразовании пространственной структуры волн. В одних случаях такое преобразование можно рассматривать как «огибание» волнами препятствий, в других случаях — как расширение угла распространения волновых пучков или их отклонение в определённом направлении;

· в разложении волн по их частотному спектру;

· в преобразовании поляризации волн;

· в изменении фазовой структуры волн.

Наиболее хорошо изучена дифракция электромагнитных (в частности, оптических) и акустических волн, а также гравитационно-капиллярных волн (волны на поверхности жидкости).

ВОПРОС 19

Каждый элемент волнового фронта можно рассматривать как центр вторичного возмущения, порождающего вторичные сферические волны, а результирующее световое поле в каждой точке пространства будет определяться интерференцией этих волн.

Принцип Гюйгенса–Френеля

В XVIII столетии Христиан Гюйгенс на основе опытов с волнами на поверхности воды предложил метод построения волнового фронта. Если плоская волна падает на экран с отверстием, размер которого много меньше длины волны, то за экраном распространяется сферическая волна.

Рис. 3.5

На этом основании Гюйгенс предложил каждый элемент волнового фронта рассматривать как источник элементарных сферических волн – вторичных волн. Поскольку волновой фронт представляет совокупность точек среды, до которой дошла волна в момент времени t, то принцип Гюйгенса утверждает, что каждая точка среды, до которой доходит волновое движение, может рассматриваться как источник вторичных волн. Вторичные волны являются сферическими (рис. 3.5).

Во всех применениях вторичные волны Гюйгенса выступают не как реальные волны, а как вспомогательные сферы, используемые для такого построения. Эти сферы, построенные из точек волнового фронта как из центров, проявляют свое действие только на огибающей, которая дает новое положение волнового фронта. При этом остается необъясненным, почему при распространении волны не возникает обратная волна. Принцип Гюйгенса не дает никаких указаний об интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях. Этот недостаток был устранен Френелем.

Френель предположил, что вторичные волны когерентны и поэтому при наложении интерферируют друг с другом. Свет должен наблюдаться во всех местах пространства, где при интерференции вторичные волны усиливаются; где они взаимно гасят друг друга, должна наблюдаться темнота. К огибающей все вторичные волны приходят в одинаковых фазах, и их интерференция приводит к большой интенсивности света. Качественно становится понятным и отсутствие обратной волны. Вторичные волны, идущие назад, вступают в пространство, где уже есть волновое возмущение – прямая волна. При интерференции вторичные волны гасят прямую волну, так что после прохождения волны пространство за ней оказывается невозмущенным.

Расчет волнового поля в любой точке наблюдения Р на основе принципа Гюйгенса–Френеля делается следующим образом. Выделим поверхность S, все точки которой колеблются в одной фазе. Поверхность ограничивает объем с источниками света и т.д. (рис. 3.6). Все точки такой поверхности можно рассматривать как когерентные источники вторичных волн, распространяющихся во всех направлениях. Для того чтобы определить колебания в некоторой точке P, вызванные волной, нужно сначала определить колебания, вызываемые в этой точке отдельными вторичными волнами, приходящими в нее от всех элементов поверхности S. Световое поле, возникающее в результате их интерференции, в пространстве вне поверхности S совпадает с полем реальных источников света.

Амплитуда вторичной волны пропорциональна площади элемента поверхности и зависит от угла j между нормалью к площадке и направлением от площадки к точке наблюдения Р. Так как вторичные волны являются сферическими, то их амплитуда убывает с расстоянием по закону , где – расстояние от площадки до точки Р. От каждого участка в точку наблюдения Р, лежащую перед поверхностью S, приходит колебание:

(3.1)

Здесь – фаза колебаний на поверхности , – волновое число, – амплитуда светового колебания в том месте, где находится площадка . Коэффициент зависит от угла . При этот коэффициент максимален, при – обращается в нуль.

Результирующее колебание в точке Р представляет собой суперпозицию колебаний (3.1), приходящих от всей волновой поверхности S:

(3.2)

Эта формула является аналитическим выражением принципа Гюйгенса–Френеля. Для качественного рассмотрения простейших случаев дифракции света с помощью принципа Гюйгенса–Френеля может быть применено построение зон Френеля.

ВОПРОС 20

Принцип Гюйгенса-Френеля позволяет анализировать некоторые симметричные задачи дифракции, где не учитывается векторный характер электромагнитных волн, а также особенности их взаимодействия с материалом препятствий на пути распространения. Рассмотрим применение принципа Гюйгенса-Френеля к решению осесимметричных задач дифракции. В этом случае скалярное волновое поле не меняется, то есть инвариантно, при повороте на произвольный угол вокруг некоторой прямой. Если такой осью симметрии является ось Z, то волновое поле имеет вид

, (6.2)

где .

В качестве примера осесимметричной задачи дифракции рассмотрим падение сферической монохроматической скалярной волны на плоский круглый непрозрачный диск. Центр сферической волны S, точка наблюдения P и центр диска O лежат на одной прямой, перпендикулярной к плоскости диска (рис. 6.4). В данном случае осью симметрии случит прямая SOP.

Рис. 6.4

Для решения такого рода задач дифракции удобно использовать метод зон Френеля, где осуществляется группировка вспомогательных источников вторичных волн в кольцевые зоны в соответствии с осевой симметрией волнового поля (рис. 6.2). Вторичные волновые поля суммируются в точке наблюдения P с помощью метода векторных диаграмм.

Свободное распространение сферической монохроматической волны в свободном пространстве можно также считать осесимметричной задачей дифракции и на этом простейшем примере пояснить метод зон Френеля. Ось симметрии есть прямая, проходящая через источник S сферической волны и точку наблюдения P. Выберем волновую поверхность F, радиус которой 0 < < OP (рис. 6.5). На этой поверхности волновое поле считается известным, что позволяет с помощью принципа Гюйгенса-Френеля найти волновое поле в точке наблюдения P.

Рис. 6.5

Для разбиения волновой поверхности F на зоны Френеля из точки наблюдения P проведем сферические поверхности, радиусы которых образуют арифметическую прогрессию,

, , , , (6.3)

где λ – длина волны. Эти сферические поверхности рассекают волновую поверхность F на кольцевые зоны Френеля. Полученные зоны Френеля нумеруются таким образом, что n -я зона Френеля заключена между сферическими поверхностями с радиусами +1 и , где n =1,2,3….

Все вспомогательные источники в пределах каждой зоны Френеля образуют единый источник вторичной волны. Разность фаз вторичных волн, приходящих в точку наблюдения P от соседних зон Френеля, определяется их разностью хода -:

, (6.4)

то есть эти волны приходят в точку P в противофазе и ослабляют друг друга.

Для достаточно большого расстояния OP площади зон Френеля можно приближенно считать одинаковыми, поэтому с увеличением номера зоны амплитуда вторичной волны монотонно уменьшается благодаря росту угла α и расстояния p до точки наблюдения. Таким образом, наибольший вклад в волновое поле Ψ дает центральная первая зона Френеля. Вклад последней зоны Френеля, для которой α = π и ƒ(π) = 0, равен нулю (центр последней зоны Френеля находится в точке O’).

Векторную сумму, описывающую вклады вторичных волн в точке наблюдения P, можно изобразить графически следующим образом

Рис. 6.6

где результирующее волновое поле

. (6.5)

Здесь приближенно считается, что

и приближенно равно 0, . Следовательно, суммарный вклад большого числа зон Френеля в полное волновое поле равен половине вклада центральной первой зоны.

На основе этого результата можно более точно определить световой луч, идущий из источника S в точку наблюдения P. Площадь поперечного сечения этого луча принимается равной площади

(6.6)

первой зоны Френеля, где, – расстояние между точками O и P на рис. 6.5 и

– радиус первой зоны Френеля (рис. 6.7). Иными словами, излучение от

Рис. 6.7

источника S к точке наблюдения P в основном распространяется в пределах первой зоны Френеля переменного радиуса ().

Понятие зон Френеля основано на принципе Гюйгенса, согласно которому каждая точка среды до которой доходит возмущение, сама становится источником вторичных волн, и поле излучения может рассматриваться как суперпозиция всех вторичных волн. На основе этого принципа можно показать, что объекты лежащие внутри концентрических окружностей, проведенных вокруг линии прямой видимости двух трансиверов, могут влиять на качество как положительно, так и отрицательно. Все препятствия, попадающие внутрь первой окружности, первой зоны Френеля, оказывают наиболее негативное влияние.

Рассмотрим точку, находящуюся на прямом тракте между передатчиком и приемником, причем расстояние от точки до передатчика равно S, а расстояние от точки до приемника равно D, т.е. расстояние между передатчиком и приемником равно S + D.

Вычислим радиус первой зоны Френеля в этой точке:

где R, S и D измеряются в одних и тех же единицах, а? обозначает длину волны сигнала вдоль тракта. Для удобства формулу можно переписать следующим образом:

где R выражается в метрах, два остальных расстояния - в километрах, а частота сигнала - в гигагерцах.

Пример. Пусть расстояние между двумя трансиверами равно 10 км, а частота несущей - 2,4 ГГц. Тогда радиус первой зоны Френеля в точке, расположенной посередине между трансиверам, равен 17,66 м.

Было установлено, что если внутри окружности, радиус которой составляет примерно 0,6 радиуса первой зоны Френеля, проведенной вокруг любой точки между двумя трансиверами, нет никаких преград, то затуханием сигнала, обусловленным наличием преград, можно пренебречь. Одной из таких преград является земля. Следовательно, высота двух антенн должна быть такой, чтобы вдоль тракта не было ни одной точки, расстояние от которой до земли было бы меньше, чем 0,6 первой зоны Френеля.