Абсолютные и относительные

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

 

Статистическая совокупность может быть охарактеризована многими показателями, каждый из которых отражает определенное ее свойство. По статистической структуре показатели можно условно разделить на три группы: абсолютные (объемные) величины, относительные величины и средние величины.

Абсолютные статистические величины характеризуют объемы и уровни массовых явлений и всегда представляют собой именованные числа. Размеры явлений могут быть выражены либо в виде численности единиц совокупности, либо в виде величины признака. В зависимости от задач исследования и характера явления абсолютные величины могут быть измерены в натуральных, условно-натуральных, трудовых и денежных единицах. Следует различать содержание и размер абсолютной величины.

Относительные величины представляют собой результат сравнения двух статистических величин. При этом различают сравниваемую величину (числитель) и основание или базу сравнения (знаменатель).

Если сравниваются одноименные величины, то относительные величины могут выражаться либо коэффициентами (база сравнения принимается за 1), либо в процентах (база принимается за 100), либо промиллях (база принимается за 1000). При сравнении разноименных величин относительные величины выражаются в виде именованных чисел (имеют размерность сопоставляемых величин).

Следует помнить, что за каждой относительной величиной скрываются абсолютные цифры. Часто небольшая относительная величина выражает значительные абсолютные размеры изучаемого явления и наоборот.

Относительные величины как результат сравнения одноименных величин подразделяются на следующие виды: сравнения, изменения явления во времени, структуры изучаемых явлений, выполнения плана, координации.

Относительные величины сравнения показывают, во сколько раз одна величина больше (или меньше) другой; при этом та величина, с которой сравнивают, выступает в качестве делителя.

Относительные величины изменения явления во времени (динамики) вычисляются делением абсолютной величины показателя в рассматриваемом периоде на величину этого показателя в периоде, принятом за базу, и выражаются в виде коэффициента или в процентах.

Относительные величины структуры характеризуют состав изучаемого явления, т.е. долю (удельный вес в процентах или коэффициентах) отдельных частей явления по отношению ко всему явлению (принятому за 100% или за 1).

Относительные величины выполнения плана исчисляются делением фактически достигнутого уровня на уровень, предусмотренный планом, и выражаются в процентах. Однако если прогрессивное развитие явления состоит в снижении его уровня, то наоборот, плановый уровень делится на фактический и выражается в процентах.

Относительные величины координации отражают соотношение частей целого между собой. Например, соотношение численности рабочих и специалистов, соотношение числа родившихся мальчиков и девочек и т.д.

Относительные величины исчисляются также сопоставлением двух разноименных статистических величин, характеризующих различные, но связанные между собой явления. Они являются именованными числами и имеют размерность тех абсолютных величин, соотношение которых они выражают. Относительные величины интенсивности (другое название этих относительных величин) характеризуют степень распространения или развития какого-либо явления в определенной среде. Например, экономические показатели фондоотдачи, производительности труда, себестоимости и др.

 

Задача № 1. Планом предусмотрено повысить производительность труда по предприятию на 3,5%. Фактически она повысилась на 4,7% по отношению к уровню прошлого года.

Определите степень выполнения предприятием планового задания по повышению производительности труда.

 

Задача № 2. Среднегодовая численность населения района в прошлом году составила 35460 человек. Площадь района равна 850 кв. км. ЗАГС зарегистрировал за прошлый год 486 случаев рождения детей.

Определите: а) плотность населения района; б) коэффициент рождаемости.

К какому виду относительных величин принадлежат эти показатели?

 

Задача № 3. Определить динамику и структуру изменения объема продукции в квартальном разрезе по следующим исходным данным:

 

Предприятие	Всего за год, млрд. руб.	В том числе и по кварталам
№1 №2

 

Задача № 4. Определить отдельно число телефонов и трансляционных радиоточек, приходящихся на 100 жителей района, а также динамику полученных показателей на основании следующих данных:

 

Годы	Число на конец года, ед.	Население на конец года, тыс. чел.
телефонных аппаратов	радиотрансляционных точек
Базисный Отчетный			82,5 97,5

 

Задача № 5. По данным нижеследующей таблицы рассчитать относительные величины интенсивности, характеризующие эффективность работы предприятия за базисный и отчетный периоды, и сделать вывод о повышении (снижении) эффективности производства на данном предприятии на основании следующих показателей:

а) производительность труда (объем продукции, выработанный одним работником за год);

б) фондовооруженность труда (производительные фонды, приходящиеся на одного работника);

в) фондоотдача (объем продукции, получаемой с 1 руб. производственных фондов);

г) уровень рентабельности производства (отношение прибыли к сумме производственных фондов и нормируемых оборотных средств, выраженное в процентах).

Исходные данные

Показатели	Базисный период	Отчетный период
Объем продукции, млрд. руб. Численность работников, чел. Производительные фонды, млрд. руб. Нормируемые оборотные средства, млрд. руб. Прибыль, млрд. руб.		1240,8

 

Задача № 6. Предприятию планом на отчетный год предусматривалось увеличение выпуска изделия “А” на 10%, изделия “Б” – на 8%, изделия “В” – на 5% по сравнению с предыдущим годом. Фактический объем производства изделия “А” в отчетном году был в 1,2 раза больше, чем в предыдущем году, изделия “Б” – на 2%, а изделия “В” – в 2 раза. Определите показатели степени выполнения плана по выпуску изделий “А”, “Б”, “В”.

 

Задача № 7. По данным нижеследующей таблицы сравнить состав занятого населения двух областей, вычислив относительный показатель, характеризующий соотношение между численностью работников производственной деятельности и работников других сфер деятельности.

 

Исходные данные

 

Категория деятельности	Количество работников
в I области	во II области
Сфера производства Аппарат управления Прочие виды деятельности

 

Задача № 8. Выполнение плана производства продукции предприятием составило 103%. По сравнению с прошлым годом прирост выпущенной продукции составил 5%. Определите, какой рост продукции по сравнению с прошлым годом был предусмотрен планом.

 

Задача № 9. Производство автомобилей всех видов увеличилось в 1990 г. по сравнению с 1980 г. в 2,4 раза, а грузовых – на 50%. Определите долю грузовых автомобилей в 1980 г., если известно, что в 1990 г. она составила 5%.

 

Задача № 10. На начало 1990 г. сельских жителей в области было в 1,7 раза меньше, чем горожан. По сравнению с 1950 г. численность населения области увеличилась за этот период на 36,2%, в том числе численность городского населения возросла в 2,6 раза, а численность сельского – сократилась на 25%. Определите структуру населения в 1950 г.

 

Задача № 11. Определите по следующим данным степень выполнения плана по выпуску продукции цехом, используя метод условно-натурального измерения.

Исходные данные

 

Вид продукции	Количество продукции, шт.	Трудоемкость единицы, нормо-ч.
План	Отчет
“А” “Б” “В”

 

За условную единицу измерения примите продукцию, имеющую наименьшую трудоемкость.

 

Контрольные вопросы

 

1. Как Вы понимаете термин «статистический показатель»?

2. Что такое абсолютная величина и как она получается?

3. Какими свойствами обладает абсолютная величина?

4. Какие единицы измерения абсолютных величин Вы знаете? Раскройте их содержание.

5. Что такое относительная величина и какова ее роль в статистических исследованиях?

6. Назовите виды относительных величин и как они вычисляются?

7. Почему важно анализировать абсолютные и относительные величины во взаимосвязи?

8. Каково значение относительных величин интенсивности?

 

 

РЯДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

 

Материалы статистического наблюдения и результаты группировки и сводки могут быть представлены в виде статистических рядов распределения.

Статистические ряды распределения представляют собой упорядоченное расположение единиц совокупности по возрастанию или убыванию значений изучаемого признака.

Элементами ряда распределения являются значения того или иного признака (абсолютные, относительные или средние статистические величины), которые принято называть вариантами, и численности единиц совокупности с данными вариантами. Численности единиц называются частотами (если выражены абсолютными величинами) или частостями (если выражены относительными величинами) ряда распределения.

Ряды распределения характеризуют состав (структуру) изучаемого явления, позволяют судить об однородности совокупности, границах ее изменения, закономерностях развития наблюдаемого объекта.

В зависимости от характера и задач статистического исследования различаются три вида рядов: 1) типологические ряды (нередко именно они понимаются под рядами распределения); 2) ряды динамики (сравнение во времени); 3) ряды территориального сравнения.

В зависимости от характера признака различаются ряды атрибутивные и вариационные.

Атрибутивный ряд характеризует распределение единиц изучаемой совокупности по описательному (атрибутивному) признаку; например: распределение численности работников по полу, по категориям, по квалификации и т.д.

Вариационный ряд характеризует распределение единиц изучаемой совокупности по числовому (количественному) признаку, например, распределение предприятий по уровню себестоимости продукции, распределение работников по возрасту, стажу работы, получаемой заработной плате и т.д. Вариация количественных признаков может быть дискретной (прерывной) или непрерывной. Интервальные вариационные ряды строятся и для признаков с дискретной вариацией. Если построен ряд с равными интервалами, то частоты (частости) дают представление о структуре совокупности. В рядах с неравными интервалами эта задача решается с применением плотности распределения.

Любое распределение можно охарактеризовать также с помощью накопленных частот. Накопленная частота (частость) для данного дискретного значения или для верхней границы данного интервала получается суммированием частот (частостей) всех предшествующих групп (интервалов), включая данную (S_i).

График дискретного ряда распределения (полигон) строится в следующем порядке: а) на оси абсцисс в выбранном масштабе откладываются значения признака; б) по оси ординат наносится шкала для выражения величины частот; в) из отмеченных точек оси абсцисс восстанавливаются перпендикуляры, равные соответствующим частотам; г) вершины перпендикуляров соединяются в последовательном порядке с отрезками прямой.

График интервального ряда распределения (гистограмма) строится в следующем порядке: а) открытые интервалы следует закрыть; б) на оси абсцисс в выбранном масштабе откладывается минимальное значение признака первой группы и максимальные значения в каждой группе; в) на оси ординат наносится шкала для выражения величин частот (или плотности распределения при неравных интервалах); г) частоты (или плотности распределения) изображаются прямоугольниками, построенными на интервалах групп.

Рис. 1. График дискретного (а) и интервального (б и в) ряда распределения

 

Плотность распределения определяется по формуле

 

,

где f – частота в группе;

i – величина интервала по группе (разность между максимальным и минимальным значениями признака на графике или в таблице).

Простейший показатель асимметрии основан на соотношении показателей центра распределения: а) если выполняется соотношение М₀< М_Е < , то имеет место правосторонняя асимметрия; б) если М₀ >М_Е > , то левосторонняя асимметрия.

График накопленных частот (кумулята) строится в следующей последовательности: 1) на оси абсцисс в выбранном масштабе откладываются максимальные значения признака по каждой группе (X_max,i); 2) на оси ординат наносится шкала для накопленных частот; 3) в поле графика наносятся точки с координатами (X_max,i; S_i); 4) точки последовательно соединяются отрезками прямой.

Для более четкого выявления взаимосвязи между изменением значений изучаемого признака и распределением единиц совокупности (частотами) нередко применяется вторичная группировка. В зависимости от вида графика ряда распределения можно обосновать тип (или закон) распределения: одновершинные (симметричные или ассиметричные), многовершинные. Для этой цели более содержательным является полигон. Полигон для интервального ряда распределения строится или на гистограмме, или по исходным данным этого ряда.

В качестве теоретического распределения частот в статистических исследованиях используются: нормальные распределения, распределение Пуассона, биномиальное и другие типы (законы) распределения.

Нормальное распределение является одновершинным, симметричным. Имеет два основных параметра: среднюю величину () и среднеквадрическое отклонение (σ). В интервале (‎‎‎ − σ, + σ) размещается 68,3% всех единиц совокупности, а в интервале ( − 2σ, + 2σ) – 95,4%.

 

Задача 1. Постройте дискретный ряд распределения рабочих цеха № 3 по уровню квалификации (тарифным разрядам) на основании следующих данных (по алфавитному списку рабочих выписаны их тарифные разряды):

 

3 2 3 4 5 2 6 5 4 2 3 3 5 7 8 7 2 3

4 2 3 6 7 8 5 4 3 6 5 4 3 3 2 2 4 5

5 6 8 8 7 7 6 7 3 5 7 2 2 7 4 5 5 5

 

Задача 2. По данным нижеприведенной таблицы построить вариационный ряд распределения рабочих мест цеха № 1 по проценту выполнения норм выработки, выделив группы до 100%, от 100 до 105, от 105 до 110, от 110 до 115, от 115% и выше.

 

Выполнение норм выработки рабочими цеха № 1

 

Разряд рабочего	Выполнение нормы, %	Разряд рабочего	Выполнение нормы, %	Разряд рабочего	Выполнение нормы, %	Разряд рабочего	Выполнение нормы, %

 

На основе данных группировки сделать вывод о необходимости пересмотра норм выработки.

 

Задача 3. Постройте интервальный ряд по следующим данным, имеющимся в отделении национального банка, об остатках на текущих счетах отдельных организаций на конец месяца (млн. руб.).

 

 

Ряд распределения постройте с равными интервалами, при этом образуйте 5 групп.

 

Задача 4. На основании нижеприведенной таблицы произвести группировку и построить вариационный ряд распределения предприятий по объему продукции. Выделить следующие типовые группы: от 15 до 30, от 30 до 80, свыше 80 млрд. руб.

 

Определить объем продукции, приходящейся в среднем на одно предприятие в группе.

Объем продукции по предприятиям

 

Номер предприятия	Объем продукции, млрд. руб.	Номер предприятия	Объем продукции, млрд. руб.

 

Задача 5. Распределение рабочих участка № 2 по квалификации характеризуется следующими данными:

 

Тарифный разряд рабочего х
Число рабочих, имеющих этот разряд f

 

Постройте для данного ряда полигон и кумуляту распределения и оцените форму распределения.

Задача 6. Построить ряд распределения 80 рабочих по стажу работы. Исходные данные: ранжированный ряд рабочих по возрастанию стажа работы (в годах с десятичным знаком).

 

0,6	3,0	5,2	6,8	7,4	8,5	9,2	10,6	11,8	13,4
0,8	3,1	5,6	6,9	8,2	8,6	9,4	11,2	12,6	13,9
1,2	3,2	5,8	7,1	8,2	8,8	9,6	11,3	12,8	14,6
1,5	4,2	6,1	7,1	8,4	8,8	9,8	11,5	12,8	14,8
2,1	4,5	6,2	7,2	8,5	9,1	10,3	11,6	13,2	15,1
2,5	4,8	6,5	7,2	8,5	9,2	10,4	11,8	13,2	15,5

 

Примечание: Можно воспользоваться группировкой, принятой в задаче № 6, темы 2.

 

Задача 7. Имеется следующее распределение предприятий по стоимости основных фондов:

 

Стоимость основных фондов, млрд. руб.	1-3	3-5	5-10	10-30	30-50	Всего
Распределение предприятий, %

 

Используя метод вторичной группировки, образуйте следующие группы предприятий по стоимости основных фондов:

1-5, 5-10, 10-20, 20-30, 30-40, свыше 40.

По исходным данным и результатам вторичной группировки постройте гистограмму и кумуляту распределения.

 

Задача 8. Построить полигон и кумуляту распределения рабочих по тарифным разрядам.

Исходные данные

Тарифные разряды	Численность рабочих
абсолютная	% к итогу
		5,0
		8,3
		16,7
		25,0
		25,0
		6,7
		8,3
		5,0
Итого

 

Задача 9. Построить гистограмму, полигон и кумуляту распределения 60 рабочих по стажу работы.

Исходные данные

 

Стаж работы	Численность рабочих	Накопленная численность рабочих
абсолютная	% к итогу
До 2 лет		6,65
2-4		8,35
4-6		10,0
6-8		16,7
8-10		25,0
10-12		15,0
12-14		11,65
14 и более лет		6,65
Итого			-

 

Задача 10. Имеется следующая группировка предприятий по объему произведенной продукции и распределение трех показателей по промышленности региона в соответствии с этой группировкой:

 

Группы предприятий по годовому объему валовой продукции, млрд. руб.	Показатели, % к итогу
Число предприятий	Валовая продукция	Численность персонала
До 1	6,0	0,0	0,2
1,1 – 5	13,1	0,3	1,3
5,1 – 10	12,5	0,9	2,3
10,1 – 50	36,8	8,6	14,6
50,1 – 100	12,9	8,6	11,5
100,1 – 500	14,5	29,4	31,1
500,1 – 1000	2,3	15,2	13,8
1000,1 и выше	1,9	37,0	25,2
ВСЕГО	100,0	100,0	100,0

 

Постройте кривую концентрации производства продукции и численности персонала в промышленности данного региона.

Примечание: Ось абсцисс принять за кумулятивные итоги распределения предприятий, а ось ординат – соответственно за кумулятивные итоги изучаемых признаков.

Контрольные вопросы

 

1. Что такое статистические ряды распределения?

2. В чем состоят различия в построении рядов распределения с дискретным и непрерывным характером изменения признака?

3. Какие статистические показатели используются для характеристики особенностей рядов распределения?

4. Как стоится график дискретного ряда распределения?

5. В чем состоят особенности построения графика интервального ряда распределения?

6. Как можно перейти от гистограммы к полигону?

7. Как стоится график накопленных частот кумулята)?

8. Изобразите график нормального распределения и опишите основные его свойства.

9. Как обосновывается наиболее вероятный тип теоретического распределения?