Глава 4
Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой и его исследование
Общее уравнение прямой на плоскости
Определение 29.1: Под прямой линией будем понимать геометрическое место точек l такое, что для любых двух точек M 
и M из данного множества вектор 
коллинеарен заданному ненулевому вектору 
.
(29.5)
и 
(29.6)
ЗАДАЧА. Доказать, что если векторы 
и 
ортогональны некоторому вектору 
, то 
и 
коллинеарные.
Определение 29.2: Уравнение (29.5) с условием (29.6) называется общим уравнением прямой линии на плоскости.
Определение 29.3: А вектор 
называется нормальным вектором (или нормалью) к прямой l, заданной уравнением (29.5).
Как уже было показано, вектор 
, то есть 
Исследование общего уравнения прямой на плоскости
(29.9)
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
(29.10)
Определение 29.4: Поэтому уравнение (29.10) называется уравнение прямой с угловым коэффициентом (а множитель k- её угловым коэффициентом).
К уравнению 29.10 можно свести всякую прямую, не коллинеарную оси ординат (если 
OY, то есть l 
OX, то 
и 
).
Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых
Случай уравнения прямых с угловыми коэффициентами
 |
|
(30.4)
То есть угол между прямыми 
и 
можно найти по формуле (30.4).
|
и .
1. Условие параллельности: 
(см. черт. 30.2) 
(30.5)
(и 
, иначе 
)
2. Условие перпендикулярности: 
(см. чертеж 30.1) 
(см. равенство(30.4)) 
(30.6)
3. Точка пересечения прямых и .
Абсциссу точки пересечения прямых можно найти приравняв, правые части уравнений (30.1) и (30.2):
Решая уравнение (30.7), получим
А подставив полученную в (30.8) абсциссу точки пересечения прямых в уравнение (30.1) (или в (30.2)), найдем и ординату их точки пересечения:
= 
Случай общего уравнения прямых линий
| |||
 | |||
l1
Пусть прямые и заданы уравнениями:
|
|
(30.12)
Координаты точки пересечения прямых и можно найти, решая систему из двух линейных уравнений (30.10) и (30.11). По формулам Крамера (см. §8) имеем:
|
x= 
y= 
Для взаимного расположения прямых и рассмотрим матрицы:
и 
1. 
= 
(30.14).
2. || 
(30.15)
3. и пересекаются в одной точке 
(30.16)
Условие перпендикулярности прямых и :
= 
(30.14)
(
– нормаль к прямой , а 
– нормаль к прямой (см. чертёж 30.3))
§31. Уравнение прямой на плоскости по двум точкам и «в отрезках»
31.1 Уравнение прямой проходящей через точку 
и коллинеарной заданному вектору 
Её уравнение имеет вид 
,
или 
(см. уравнение (29.4))
31.2 Уравнение прямой проходящей через заданную точку и ортогональной заданному вектору 
(см. уравнение (29.8)).
31.3 Уравнение прямой проходящей через две заданные точки 
и 
Это уравнение имеет вид:
(31.1)
В случае 
в (31.1) у можно выразить через x:
(31.2)
А для и 
уравнение (31.1) можно записать следующим образом:
31.4 Уравнение прямой «в отрезках»
 | |||
| |||
(29.9)
Определение 31.1: Поэтому уравнение (29.9) называется уравнением прямой «в отрезках».
