Случай общего уравнения прямых линий

Глава 4

Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой и его исследование

Общее уравнение прямой на плоскости

Определение 29.1: Под прямой линией будем понимать геометрическое место точек l такое, что для любых двух точек M и M из данного множества вектор коллинеарен заданному ненулевому вектору .

 

(29.5)

и (29.6)

 

ЗАДАЧА. Доказать, что если векторы и ортогональны некоторому вектору , то и коллинеарные.

 

Определение 29.2: Уравнение (29.5) с условием (29.6) называется общим уравнением прямой линии на плоскости.

Определение 29.3: А вектор называется нормальным вектором (или нормалью) к прямой l, заданной уравнением (29.5).

Как уже было показано, вектор , то есть

 

Исследование общего уравнения прямой на плоскости

 

(29.9)

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

 

(29.10)

Определение 29.4: Поэтому уравнение (29.10) называется уравнение прямой с угловым коэффициентом (а множитель k- её угловым коэффициентом).

К уравнению 29.10 можно свести всякую прямую, не коллинеарную оси ординат (если OY, то есть l OX, то и ).

 

Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых

 

Случай уравнения прямых с угловыми коэффициентами

a2

 

 

(30.4)

То есть угол между прямыми и можно найти по формуле (30.4).

рис.30.2

Рассмотрим взаимное расположение прямых и .

 

 

1. Условие параллельности: (см. черт. 30.2) (30.5)

(и , иначе )

2. Условие перпендикулярности: (см. чертеж 30.1) (см. равенство(30.4)) (30.6)

3. Точка пересечения прямых и .

Абсциссу точки пересечения прямых можно найти приравняв, правые части уравнений (30.1) и (30.2):

Решая уравнение (30.7), получим

А подставив полученную в (30.8) абсциссу точки пересечения прямых в уравнение (30.1) (или в (30.2)), найдем и ординату их точки пересечения:

=

 

 

Случай общего уравнения прямых линий

		l1

Пусть прямые и заданы уравнениями:

рис.30.3

Нормали к ним:

 

 

(30.12)

 

Координаты точки пересечения прямых и можно найти, решая систему из двух линейных уравнений (30.10) и (30.11). По формулам Крамера (см. §8) имеем:

 

(30.13)

x=

y=

Для взаимного расположения прямых и рассмотрим матрицы:

и

 

1. = (30.14).

2. || (30.15)

3. и пересекаются в одной точке (30.16)

 

Условие перпендикулярности прямых и :

= (30.14)

( – нормаль к прямой , а – нормаль к прямой (см. чертёж 30.3))

§31. Уравнение прямой на плоскости по двум точкам и «в отрезках»

31.1 Уравнение прямой проходящей через точку и коллинеарной заданному вектору

Её уравнение имеет вид ,

или (см. уравнение (29.4))

 

 

31.2 Уравнение прямой проходящей через заданную точку и ортогональной заданному вектору

(см. уравнение (29.8)).

 

31.3 Уравнение прямой проходящей через две заданные точки и

 

Это уравнение имеет вид:

(31.1)

В случае в (31.1) у можно выразить через x:

(31.2)

А для и уравнение (31.1) можно записать следующим образом:

 

31.4 Уравнение прямой «в отрезках»

		x

(29.9)

Определение 31.1: Поэтому уравнение (29.9) называется уравнением прямой «в отрезках».