При большом числе наблюдений или при большом числовом значении вариант применяют
упрощенный способ вычисления средней арифметической- способ моментов.
М = А+ iSар
п
где М - средняя арифметическая; А - условная средняя; i - интервал между группами вариант;
S - знак суммирования.; а- условное отклонение каждой варианты от условной средней;
р - частота встречаемости вариант; n - число наблюдений.
Пример вычисления средней арифметической по способу моментов (средней массы тела
юношей в возрасте 18 лет)
| V(n в кг) | Р | а (V-А) | а . Р |
| +2 | +4 | ||
| +1 | +3 | ||
| Мо=62 | |||
| -1 | -6 | ||
| -2 | -8 | ||
| -3 | -3 | ||
| п = 25 | Sар = - 10кг |
Этапы расчета средней по способу моментов:
1) за условную среднюю А рекомендуется принять Моду или Медиану, например А = 62кг, так как 62 кг было у 9 юношей из 25;
2) определяем "а" - условное отклонение варианты от условной средней, для этого из каждой варианты вычитаем условную среднюю: а = V - А, (например, а = 64 - 62 = +2 и т.д.).
3) умножаем условное отклонение "а" на частоту "р" каждой варианты и получаем произведение а р;
4) находим сумму Sа. р = - 10кг
5) рассчитываем среднюю арифметическую по способу моментов:
М = А + i SаР = 62 - 1×0,4 = 61,6кг
п
Таким образом, можно сделать вывод, что в изучаемой нами группе юношей средняя масса тела
61,6 кг.
Средняя арифметическая сама по себе ничего не говорит о том вариационном ряде, из которого
она была вычислена. На ее типичность (достоверность) влияет однородность рассматриваемого
материала и колеблемость ряда.
Пример: даны два одинаковых по числу наблюдений вариационных ряда, в которых
представлены данные измерений окружности головы детей в возрасте от 1 года до 2-х лет
| Ряд 1 | Ряд 2 | |
| Окружность головы(в см) Частота | 41, 45, 46, 47, 48 7, 8, 25, 6, 2 | 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 1, 2, 4, 6, 14, 10, 3, 0, 2 |
Имея одинаковое число наблюдений и одинаковые средние арифметические (М= 46 см), ряды
имеют различия в распределении внутри. Так варианты первого ряда отклоняются в целом от
средней арифметической с меньшим значением, чем варианты второго ряда, что дает
возможность предположить, что средняя арифметическая (46 см) более типична для первого
ряда, чем для второго.
В статистике для характеристики разнообразия вариационного ряда употребляют среднее
квадратическое отклонение (s)
Существует два способа расчета среднего квадратического отклонения: среднеарифметический
способ и способ моментов. При среднеарифметическом способе расчета применяют формулу:
где d истинное отклонение каждой варианты от истиной средней М. Формула используется при
небольшом числе наблюдений (п <30)
Формула для определения s по способу моментов:
где а - условное отклонение варианты от условной средней 
;
момент второй степени, а 
момент первой степени, возведенный в квадрат.
Теоретически и практически доказано, что если при большом числе наблюдений к средней
арифметической прибавить и отнять от нее 1s (М ± 1s), то в пределах полученных величин
будет находится 68,3% всех вариант вариационного ряда. Если к средней арифметической
прибавить и отнять 2s (М± 2s), то в пределах полученных величин будет находиться 95,5%
всех вариант. М ±3s включает в себя 99,7% всех вариант вариационного ряда.
Исходя из этого положения можно проверить типичность средней арифметической для
вариационного ряда, из которого она была вычислена. Для этого надо к средней
арифметической прибавить и от нее отнять утроенную s (М± 3s). Если в полученные пределы
данный вариационный ряд укладывается, то средняя арифметическая типична, т.е. она
выражает основную закономерность ряда и ей можно пользоваться.
Указанное положение широко применяется при выработке различных стандартов (одежды,
обуви, школьной мебели и т.д).
