Результаты измерений и расчетов для определения модуля продольной упругости проволоки

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

 

«Изучение упругих свойств твердых тел»

Цель работы:

Определить характеристики упругости стали и дерева по их деформации на растяжение и изгиб;

Определить зависимости прогиба прямоугольных конструкций от геометрических размеров образца.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

 

Все реальные тела под действием внешних сил деформируются, т.е. изменяют свою форму и размеры. Различаются деформации растяжения (сжатия), сдвига, изгиба, кручения и более сложные виды деформации, которые всегда можно свести к двум: растяжение (сжатие) и сдвиг.

Если деформации исчезают после прекращения действия приложенных сил, то они называются упругими. Деформации, частично сохраняющиеся после снятия нагрузки, называются неупругими или пластическими. В настоящей работе рассматриваются только процессы, протекающие в материале при упругих деформациях.

Рассмотрим деформацию растяжения однородного круглого стержня AB длиной l₀, один конец которого жестко закреплен. Если к другому концу стержня приложить силу (рис. 1), его длина станет l. В качестве меры деформации растяжения служит абсолютное удлинение

x = Dl = l – l₀ (1)

и относительное удлинение

. (2)

Опыт показывает, что при деформации растяжения или сжатия изменяются также и поперечные размеры стержня. Пусть d₀ и d – диаметры стержня до и после деформации растяжения. При деформации растяжения диаметр стержня уменьшается, т.е. d < d₀. Величина

(3)

называется относительным поперечным сжатием стержня. Относительное изменение объема стержня

, (4)

так как e и d много меньше единицы, и их произведениями можно пренебречь.

Величина, равная отношению относительного поперечного сжатия к соответствующему относительному продольному удлинению называется коэффициентом Пуассона:

. (5)

Коэффициент Пуассона m зависит только от материала тела и является одной из важных характеристик его упругих свойств.

Выделим мысленно в стержне некоторое поперечное сечение C площадью S. Часть BC стержня находится в равновесии. Следовательно, в выделенном сечении со стороны другой части стержня AC действует упругая сила , равная по модулю внешней силе. Поскольку положение сечения С выбрано произвольно, то это значит, что упругая сила, действующая в любом поперечном сечении стержня равна по модулю внешней силе.

Для характеристики деформированного состояния стержня вводят понятие нормального напряжения, которое численно равно упругой силе, действующей на единицу площади сечения, перпендикулярного силе.

, (6)

где dF_у – упругая сила, перпендикулярная элементарной площадке dS, в пределах которой деформацию можно считать однородной.

Отметим, что сила упругости направлена противоположно направлению абсолютного удлинения. При однородной деформации нормальное напряжение одинаково в любой точке поперечного сечения стержня.

Как показывает опыт, при малых деформациях между нормальным напряжением и относительным удлинением существует прямая пропорциональная зависимость

s = Ee. (7)

Коэффициент пропорциональности E характеризует упругие свойства вещества и называется модулем продольной упругости или модулем Юнга. Модуль продольной упругости численно равен нормальному напряжению, которое возникает в теле при его относительном удлинении, равном единице, т.е. при увеличении длины стержня в два раза. Формула (7) выражает закон Гука, который формулируется следующим образом: в пределах упругости напряжение, возникающее в теле, прямо пропорционально относительной деформации.

Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона m полностью характеризуют упругие свойства изотропного вещества. Все остальные упругие постоянные могут быть выражены через Е и m.

Из (2), (6) и (7) следует, что при однородной деформации растяжения модуль силы упругости

или

, (8)

где k– коэффициент упругости стержня, определяемый как

(9)

Следует отметить, что закон Гука выполняется только на начальных стадиях деформации. Для каждого материала существует критическое нормальное напряжение, называемое пределом пропорциональности [ ], превышение которого приводит к тому, что деформация еще может считаться упругой (остаточная деформация образцов не превышает 5%), но закон Гука уже не выполняется.

Рассмотрим возможности расчетов характеристик упругих свойств материалов на примере двух наиболее часто встречающихся на практике типов деформации: деформации растяжения и деформации изгиба.

1. Деформация растяжения. Пусть проволока диаметром поперечного сечения d, начальной длины l_{0 ,} изготовленная из исследуемого материала, растягивается под действием груза массой m. При этом в материале возникают силы упругости, определяемые по закону Гука (рис.2).

 

Согласно условию статического равновесия

Учитывая (9), получим

(10)

Поперечное сечение стержня на практике удобно рассчитывать по измеренному микрометром диаметру проволоки d

Равенство (10)в этом случае можно представить в виде

,

откуда

(11)

где коэффициент пропорциональности a – практически постоянная для данного образца величина.

Если, изменяя массу груза m, каждый раз измерять абсолютное удлинение проволоки Dl и построить график Dl = f(m), то можно убедиться в справедливости закона Гука. По наклону графика D(Dl)/Dm легко определить коэффициент пропорциональности a в (11) и рассчитать модуль продольной упругости (модуль Юнга) проволоки:

(12)

Для уменьшения погрешности интервал нагрузок Dm и соответствующий ему интервал абсолютных удлинений D(Dl) на графике следует выбирать по возможности большими (но в пределах пропорциональности).

 

Деформация изгиба.

Если прямоугольный брусок свободно положить на две опоры А и В и на его середину подействовать силой F = mg, то брусок изогнется (рис. 9). Деформация изгиба характеризуется стрелой прогиба h.

В силу объемности вывод формулы, позволяющей определить стрелу прогиба балки в настоящих указаниях не приводится, но, согласно расчетам авторов [ ], итоговая формула имеет вид:

 

(13)

где L - расстояние между опорами; a - ширина бруска; b - его высота; Е – модуль продольной упругости (модуль Юнга) материала бруска, m – масса груза, создающего добавочную силу давления F (рис. 3) на середину бруска. Коэффициент пропорциональности b для данного образца - практически постоянная величина.

Если изменять массу груза m, то изменяется и стрела прогиба h. Построив график h = h(m), можно убедиться в справедливости закона Гука. По наклону графика Dh/Dm легко определить коэффициент пропорциональности b в (13) и рассчитать модуль продольной упругости прямоугольного бруска:

(14)

Для уменьшения погрешности интервал нагрузок Dm и соответствующий ему интервал стрелы прогиба Dh на графике следует выбирать по возможности большим (но в пределах пропорциональности).

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

 

Общий вид установки для изучения упругих свойств проволоки при деформации растяжения показан на рисунке 4. Стальная проволока АВ растягивается под действием переменных грузов Р. Первоначальная длина проволоки l₀ измеряется линейкой D, ее диаметр d - микрометром, абсолютное удлинение Dl – индикатором С.

В работе используется индикатор часового типа (рис. 5) модель ИЧ 10, класс точности 1, с ценой деления 0,01 мм. Он имеет абсолютную погрешность D(Dl)_и = 0,020 мм.

 

 

 

 

Общий вид установки для определения упругих свойств материалов при деформации изгиба показан на рисунке 6, ее рабочая часть крупным планом – на рисунке 7. Основание 1 оснащено регулируемыми ножками 2, которые позволяют производить выравнивание прибора. В основании закреплена колонка 3, вдоль которой можно перемещать верхний кронштейн 4 со стержнем 5 и нижний кронштейн 6 с индикатором часового типа 7. Кронштейны зафиксированы на колонке с помощью винтов 8 и 9. Исследуемый образец (деревянный брусок) 10 располагается на опорах 11. На нижнем конце стержня 5 закреплена треугольная призма 12, а сверху – платформа 13, на которую помещают грузы 14. Положение стержня в кронштейне 4 регулируется винтом 15.

Прогиб бруска осуществляется с помощью призмы 12, добавочная сила давления которой на брусок равна силе тяжести грузов, положенных на платформу. Расстояние между опорами можно изменять. Каждая из них может быть установлена на основании в одном из трех гнезд 16

Перемещая кронштейны 4 и 6 необходимо установить их так, чтобы призма 12 и измерительный штифт индикатора часового типа касались бруска. Установив нулевое значение шкалы индикатора и помещая на платформу 13 грузы, измеряют стрелу прогиба бруска с помощью индикатора часового типа.

В работе используется индикатор часового типа (рис. 5) модель ИЧ 10, класс точности 1, с ценой деления 0,01 мм. Он имеет абсолютную погрешность D(Dl)_и = 0,020 мм.

 

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Задание 1.. Определение модуля Юнга проволоки по деформации растяжения.

Оборудование и принадлежности: установка для проведения измерений, набор грузов, линейка, микрометр. Получить вариант задания у преподавателя.

1. Измерить начальную длину свободной проволоки L₀ и ее диаметр d.

2. Подготовить к измерениям прибор. Установив стрелку часового индикатора С (рис. 5) на 0.

3. Установить первый перегрузок массой m на платформу Р (рис.4).

4. По индикатору С измерить приращение длины ΔL и записать показания в таблицу 1 в графу «При увеличении нагрузки».

5. Повторить измерения согласно пунктам 2-4, добавляя последовательно все имеющиеся перегрузки.

6. Последовательно убирая перегрузки повторить измерения пп. 2 и 4, записывая показания в таблицу 1 в графу «При уменьшении нагрузки»

7. Построить графики зависимостей ΔL = f(m) для двух случаев на одной координатной сетке.

8. По углу наклона графика определить для обеих ветвей константу α, учитывая, что

(15)

9. Рассчитать по (12) модуль Юнга продольной упругости проволоки и заполнить таблицу 1.

10. Рассчитать среднее значение модуля Юнга и занести данные в таблицу 1.

11. Определить погрешности произведенных прямых и косвенных измерений согласно приложения 1.

12. Сделать заключение о соответствии полученных результатов справочным табличным значениям модуля Юнга и пояснить причину возможных расхождений.

Таблица 1

Результаты измерений и расчетов для определения модуля продольной упругости проволоки.

 

L0 = _________м d = _______________ м α1_____________ м / кг α2_____________ м / кг
№ п/п	m, кг	ΔL·103,м	E, Па	Eср, Па	Етабл, Па
При увеличении нагрузки	При уменьшении нагрузки
E↑	Е↓
1.
2.	m1
3.	m2
…	…	…

Задание 2. Определение модуля продольной упругости образца по деформации изгиба.

Оборудование и принадлежности: установка для проведения измерений, набор брусков и грузов, линейка.

1. Получить вариант задания у преподавателя.

2. Установить опоры на максимальное расстояние друг от друга.

3. Провести измерения размеров a и b образца, указанного преподавателем, расстояния между опорными призмами L и стрелы прогиба h₀ при минимальной массе груза m.

4. Установить образец № 1 на опоры.

5. Подготовить к измерениям прибор. Установив стрелку часового индикатора С (рис. 5) на 0.

6. Установить на платформу 13 (рис.6) первый перегрузок массой m.

7. Записать значения стрелы прогиба h по индикатору 7 (рис.6) в таблицу 2 (графа «При увеличении нагрузки»).

8. Постепенно увеличивая количество перегрузков на платформе, провести измерения стрелы прогиба, записывая показания в таблицу 2.

9. Провести измерения аналогично п.7 при постепенном уменьшении нагрузки на платформе и записать показания в соответствующую графу таблицы 2.

10. По данным таблицы 2 построить графики зависимости h = f(m) для двух случаев на одной координатной сетке.

11. По углу наклона графиков оценить для обеих ветвей константу α, учитывая, что

(16)

12. Рассчитать модуль Юнга по формуле (14), используя данные, полученые при расчете по (16).

13. Рассчитать среднее значение модуля Юнга и занести данные в таблицу 2.

14. Определить погрешности произведенных прямых и косвенных измерений согласно приложения 1.

15. Сделать заключение о соответствии полученных результатов справочным табличным значениям модуля Юнга и пояснить причину возможных расхождений.

Таблица 2