Теоретические модели, реальность и истинность математики

Один из действенных способов изучения природы заключается в сравнительном анализе экспериментальных данных, характеризующих явление и теоретически рассчитанных величин, описывающих это явление в рамках некоторой теоретической модели. Теоретические модели рассчитываются с помощью того или иного математического аппарата, обладающего невероятной силой при описании природы.

Теоретический уровень познания можно характеризовать двумя подуровнями: а) частные теоретические модели, относящиеся к ограниченной области явлений; б) развитые научные теории, включающие частные законы в качестве следствий.

В структуре теории выделяются теоретические модели и теоретические законы и принципы, описывающие модели.

В развитых в теоретическом отношении дисциплинах законы теории формулируются на языке математики. Признаки абстрактных объектов, образующих модель, выражаются в форме физических величин, а отношение между этими признаками – в форме математических соотношений (дифференциальные, интегральные, линейные уравнения, и т.д.). Наиболее успешно математические методы использовались при создании естественнонаучных теорий. Сами математические методы совершенствовались и развивались наряду с развитием физических теорий.

В наши дни естествознание имеет дело с динамической реальностью, которая непрерывно изменяясь по определенным известным и еще неизвестным, не открытым законам природы, заставляет изменять наше понимание реальности. Зачастую мы вынуждены признавать реальность объектов и явлений, недоступных непосредственному чувственному восприятию. В современной теории элементарных частиц своеобразными "кирпичиками", из которых складываются тяжелые частицы – адроны – являются кварки. Несмотря на то, что в свободном состоянии кварки существовать не могут, реальное, объективное существование кварков в связанном состоянии признается современной теоретической физикой. Природа богаче, чем говорят о ней наши органы чувств.

Реальный мир есть не то, о чем говорят наши органы чувств, ограниченные воспроизводством реальности на основе макроскопического опыта. Реальный мир (с точки зрения ученого-естест­венника) это то, что говорят нам созданные человеком физические теории, которые с помощью математического аппарата описывают широкий круг явлений в природе. В евклидовой геометрии основные элементы – точка, линия и плоскость – абстрактные, мысленные объекты являются идеализацией реальных объектов. Например, линия – это абстрактное представление луча света. В современной математике невозможно проследить связь ее элементов и понятий с реальностью. Тем не менее мы практически абсолютно верим в истинность математического описания реальности.

Почему у математики такая сила? На этот вопрос нельзя дать сейчас исчерпывающего ответа и вряд ли будет возможность это сделать в ближайшем будущем. Но на вопрос, насколько истинным является математическое описание реальности можно попытаться дать ответ. Прежде всего, полное описание реальности невозможно, если учесть многообразие и сложность всех элементов и процессов в природе. Только в рамках определенной теоретической модели мы в состоянии описывать реальность.

Рассмотрим такой пример. Первый закон Кеплера утверждает, что планеты солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Опыт показывает, что этот закон практически точен. В модели, в которой учитывается взаимодействие по закону всемирного тяготения только Солнца и одной планеты, действительно точным решением уравнения движения планеты вокруг Солнца является эллипс.

В рамках математической модели, в которой учитывается взаимодействие между планетами, траектории движения планет немного отличаются от эллиптических, что также соответствует эксперименту.

Но отмеченные выше математические модели в рамках фундаментальной теории – классической механики Ньютона так же недостаточны для полного соответствия с экспериментом. В частности, смещение перигелия Меркурия, рассчитанное в классической механике, не совпадает с экспериментально измеренным смещением. Объяснение реального смещения перигелия Меркурия дается уже другой фундаментальной теорией – теорией относительности Эйнштейна. Следовательно, математика говорит нам о реальности с какой-то степенью точности. Созданная человеком математическая теория физического мира – это не описание явлений в том виде, в каком мы их воспринимаем, а некая символическая конструкция.

До середины XIX в. считалось, что математический порядок и гармония положены в план, описывающий мироздание и задача математиков заключается не в создании, а в открытии математических законов, лежащих в основе плана мироздания. Еще ранее Блез Паскаль был убежден в истинности математических законов природы.

Следует различать два рассуждения: а) в какой степени математика отражает и представляет истину о реальном физическом мире; б) в какой степени истинной является сама математика и имеет ли она объективную реальность. Например, в существовании математики Платон видел доказательство существования бессмертной души, то есть природа в своей основе имеет некий математический план. Другая точка зрения на математику, как на изобретение человеческого разума нашла поддержку многих математиков в XIX в. Артур Кэли, известный английский математик XIX в. заявил: "Мы... обладаем априорными познаниями, не зависящими не только от того или иного опыта, но абсолютно от всякого опыта... Эти познания составляют вклад нашего разума в интерпретацию опыта". Такие знаменитые математики как Рихард Дедекинд и Карл Вейерштрасс считали математику творением человека. В письме к Веберу Дедекинд писал: "По-моему то, что мы понимаем под числом... есть нечто новое... созданное нашим разумом. Мы божественная раса и обладаем способностью творить". И. Кант видел источник математики в организационной силе человеческого разума. Современные философы утверждают, что математика является примером того, как творческая активность разума рождает новые формы мысли, создает новые понятия, которые как могут отражать объективную реальность, так и могут существовать в виде непротиворечивого продукта разума, который может быть востребован для описания реальности в далеком будущем.

Две точки зрения на истинность математики, тем не менее не противоречат тому, что современная физика всецело полагается на математический аппарат. Новейшие области физики очень далеки от понимания с точки зрения "здравого смысла". Понять их можно только с помощью математики. Вот как выразил значение математики в познании реальности Эйнштейн: "...я убежден, что посредством чисто математических конструкций мы можем найти те понятия и закономерные связи между ними, которые дадут ключ к пониманию законов природы... Поэтому я считаю в известном смысле оправданной веру древних в то, что чистое мышление в состоянии постигнуть реальность".

Полного соответствия между математикой и физической реальностью не существует. Тем не менее существует какое-то "божественное" доверие к математике и при описании природных (и не только природных) явлений). Из философов, убежденных в том, что математика – верный путь к реальности, наиболее влиятельным был Р. Декарт. По его мнению, природа основана на математических принципах. А великий Ньютон считал, что Бог сотворил мир на основе математических принципов. Суть того, во что непоколебимо верили Декарт, Кеплер, Галилей, Ньютон и Лейбницу сводится к следующему: природе внутренне присуща некая скрытая гармония, которая отражается в наших умах в виде простых математических законов. Именно в силу этой гармонии математической моделирование природных процессов способно описывать и предсказывать явления природы.

Возникновение неевклидовой геометрии в XIX в., которой сначала не находилось места в физических теориях для описания реального пространства, увеличило число сторонников точки зрения на математику, как на продукт чистого разума. Но в 1915 г. А. Эйнштейн создает великую теорию – общую теорию относительности, в которой использует риманову геометрию. Неевклидова геометрия, явившаяся в свое время продуктом математического творчества, посредством общей теории относительности в настоящее время находит подтверждение в природе ("черные дыры", кривизна пространства-времени и др. следствия общей теории относительности).

Сила математического аппарата блестяще демонстрировалась, несмотря на разные точки зрения на объективное и субъективное существование математики, в разные годы и разных физических теориях. К таким теориям следует отнести классическую механику Ньютона, электромагнитную теорию Максвелла, специальную и общую теорию относительности Эйнштейна, квантовую механику Шредингера и Гейзенберга. Рассматривая общефилософские вопросы естествознания А. Эйнштейн писал: "...Почему возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами, если сама она является произведением только человеческой мысли, не связанной ни с каким опытом? Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем одного только размышления понять свойства реальных вещей?"

Если в этой связи обратиться к Канту, то он задавался тем же вопросом. Вывод его состоял в том, что мы не знаем и не можем знать природу. Например, наш разум наделен врожденными структурами, способными воспринимать пространство только согласно законам евклидовой геометрии, следовательно, законами пространства могут быть лишь законы евклидовой геометрии.

Знаменитый философ и астроном ХХ в. А. Эддингтон вполне разделял идею Канта. Большинству ученых Эддингтон известен как основоположник теории внутреннего строения звезд и специалист по релятивистской космологии. Наряду с этими астрофизическими исследованиями Эддингтон считается создателем философской теории – новой эпистемологии. Эддингтон дает анализ понятия физической величины. "Чистый математик имеет дело с идеальными величинами, обладающими по определению теми свой­ствами, которые он сам произвольно приписывает... Физическая величина есть прежде всего результат измерений и вычислений – она будет, так сказать, сфабрикованной вещью, созданной нашими операциями". С точки зрения Эддингтона нельзя считать, что сконструированная физиком величина существует в общей картине мира как нечто, что могло бы быть воспринято высшим разумом без всякой связи с операциями с измерительными приборами. Эддингтон категорически утверждает: "Физические величины определяемы не измерительными процессами... и образуют настоящий исходный пункт для нового теоретического построения".

При использовании различных теоретических моделей для объяснения природных явлений математический аппарат доказывал и доказывает свою непостижимую эффективность. И все же роль математики в современной физике шире, чем просто удобный инструмент исследования. Конечно, несомненна роль математики в обобщении и систематизации с помощью собственного (математи­ческого) аппарата физических экспериментов. Но, вероятно, математика составляет сущность естественно-научных теорий. Максвелл, создавший математическую теорию электромагнитного поля, тщетно попытался изобрести механическую модель эфира для объяснения существования электромагнитных волн. Поразительно то, что только математической теории (дифференциальных уравнений для электрической и магнитной составляющих поля) вполне достаточно и для объяснения наблюдаемых электромагнитных явлений и для предсказания результатов опыта.

Хотя математика и является человеческим творением, она помогла раскрыть тайны физического мира, существующего независимо от нас. Стоит только удивляться, что природа проявляет столь высокую степень соответствия математическим формулам.