Задачи для самостоятельного решения. Выяснить, являются ли следующие бинарные отношения отображениями:

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача1.

Выяснить, являются ли следующие бинарные отношения отображениями:

a. . является отображением из в . Чтобы в этом убедиться, перепишем иначе: . Из этой записи видно, что и для если и , тогда .

b. . не является отображением из в . Действительно, для нет натурального числа такого, что ().

Задача 2.

Какими свойствами (инъективность, сюръективность, биективность) обладает следующее отображение:

A= “множество слов русского языка (длина слова не менее трех букв)”, B= “множество букв алфавита русского языка”.

- отображение, которое каждому слову ставит в соответствие его первую букву.

Отображение не является инъективным. Действительно, рассмотрим два различных слова: «студент» и «стипендия». Оба эти слова отображаются в одну букву «с», что противоречит условию инъективности.

Отображение также не является сюръективным, так как, например, в букву «ъ» ничего не отображается - нет слов русского языка, которые начинались бы с данной буквы. Таким образом, отображение не является биективным.

 

Задача 3.

Для отображения найти:

.

График данной функции выглядит следующим образом:

Образом числа 1 является число . Образом подмножества является подмножество , так как если , то .

Как видно из рисунка, образом подмножества является множество .

 

 

Далее, для получения образа подмножества необходимо из образа выбросить образ элемента , т.е. . В этом случае получим множество . Образ подмножества - множество , так как , и число «-3» входит в искомый образ дважды, а исключаем мы только образ числа 3.

Аналогично получим: .

 

Полным прообразом числа «-4» является подмножество , так как, по определению, . Аналогично получаем, что , и

Найдем полный прообраз подмножества . . Таким образом, . Тот же ответ можно было бы получить из графика:

 

Аналогично доказывается, что .

Задача 4.

 

Дано отображение . Известно, что . Доказать, что

Необходимо доказать равенство множеств. Запишем его следующим образом: . Пусть , по определению полного прообраза это равносильно следующему: (по определению пересечения множеств) (по определению полного прообраза) (по определению пересечения множеств) , что и требовалось доказать.

 

Задача 5.

Даны отображения ; ; . Найти следующие отображения: , , , .

По определению, , так как . , так как .

Далее, так как .

Аналогично получим: , .

 

Задача 6.

Для отображения

1) определить, является ли инъективным.

2) Если нет, найти наибольшее по включению подмножество такое, что отображение будет инъективным.

3) Является ли отображение сюръективным?

4) Если нет, найти такое наибольшее по включению подмножество , что отображение будет сюръективным.

5) Является ли отображение биективным?

6) Если нет, найти такое подмножество , что отображение будет биективным.

7) Является ли отображение обратимым? Если да, найти .

 

График данной функции выглядит следующим образом:

1. Отображение не является инъективным, так как, например, и отображаются в одно и то же число 5 (, но ).

2. Отображение инъективно на промежутках, где функция строго возрастает или строго убывает. Таким образом, в качестве можно взять промежуток или . Действительно, на промежутке функция строго убывает, т.е. . В таком случае, .

3. Отображение не является сюръективным, так как, например, .

4. Из графика видно, что для того, чтобы отображение было сюръективным, необходимо, чтобы , т.е. .

5. Из пунктов 1 и 2 следует, что отображение биективным не является.

6. Если в отображении вместо множества взять , то получим сюръективное отображение. Для инъективности достаточно множество заменить на . Получим: .

7. Так как - биекция, то отображение обратимое. Найдем .

Если , то . Осталось выяснить, как действует обратное отображение на каждый элемент. Известно, что . Тогда . Так как , то . Таким образом, . Убедимся, что это отображение действительно является обратным к . Для этого должно выполняться условие: . Действительно, , так как и .

 

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Выяснить, являются ли следующие бинарные отношения отображениями:

a. ;

b. ;

c. , ; ;

d. , ; ;

e. ;

f. ;

g. .

2. Пусть X =“множество окружностей на координатной плоскости”, Y = “множество квадратов на координатной плоскости”. Выяснить, является ли отображением.

a. , в окружность вписан квадрат .

b. , в квадрат вписана окружность .

c. , в окружность вписан квадрат , сторона которого параллельна оси .

d. , число равно площади квадрата .

3. Какими свойствами (инъективность, сюръективность, биективность) обладают следующие отображения:

a. A= “множество слов русского языка (длина слова не менее трех букв)”, B= “множество букв алфавита русского языка”.

1) - отображение, которое каждому слову ставит в соответствие его первую букву.

2) - отображение, которое каждому слову ставит в соответствие его третью букву.

b. ;

c. ;

d. ;

e. ;

f. ;

g. .

4. Для отображения найти:

a. .

Отображение .

b. .

Отображение .

c. .

Отображение .

d. .

Отображение .

5. Для отображения

8) определить, является ли инъективным.

9) Если нет, найти наибольшее по включению подмножество такое, что отображение будет инъективным.

10) Является ли отображение сюръективным?

11) Если нет, найти такое подмножество , что отображение будет сюръективным.

12) Является ли отображение биективным?

13) Если нет, найти такое подмножество , что отображение будет биективным.

a. ;

b. ;

c. ;

d. ;

e. ;

f. ;

g. .

6. Дано отображение . Известно, что . Доказать, что:

a. ;

b. ;

c. ;

d. .

7. Дано отображение . Известно, что . Доказать, что .

8. Дано отображение . Известно, что . Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы для любого подмножества выполнялось равенство: .

9. Дано отображение . Известно, что . Доказать, что:

a. ;

b. .

10. Дано отображение . Известно, что . Доказать, что:

c. . Привести пример, когда .

d. . Привести пример, когда .

11. Дано отображение . Известно, что . Может ли быть, что и , но ?

12. Дано отображение . Известно, что . Доказать, что . Верно ли, что ?

13. Дано отображение . Известно, что . Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы для любого выполнялось равенство: .

14. Дано отображение . Доказать:

a. – сюръективное .

b. – инъективное содержит не более одного элемента.

c. – инъективное ().

15. Дано отображение , где - конечные множества, состоящие из и элементов соответственно. Доказать, что:

a. Если – инъективное, то .

b. Если – сюръективное, то .

c. Если – биективное, то .

16. Дано отображение , где - конечные множества, состоящие из элементов каждое. Доказать, что:

– инъективное – сюръективное – биективное.

Доказать, что если отображение - инъективное, то для любых и имеет место равенство: .

17. Даны отображения . Найти, если они существуют, композиции , , , .

a. Пусть X – множество треугольников; Y – множество окружностей.

: треугольнику ставится в соответствие вписанная в него окружность.

: окружности ставится в соответствие ее площадь.

b. ; ;

c. ; .

18. Даны отображения . Найти следующие отображения: , , , , .

a. ; ; .

b. ; ; .

c. ; ; .

19. Запишите все возможные композиции отображений вида , , где .

a. ; ; ;

b. ; ; ;

c. ; ; .

20. Дано отображение . Доказать, что – инъективное тогда и только тогда, когда для любых отображений и , из того, что следует, что .

21. Дано отображение . Доказать, что – сюръективное тогда и только тогда, когда для любых отображений и , из того, что следует, что .

22. Даны отображения , . Известно, что - инъективное отображение. Что можно сказать об отображениях ?

23. Даны отображения , . Известно, что - сюръективное отображение. Что можно сказать об отображениях ?

24. Даны отображения , . Известно, что - биективное отображение. Что можно сказать об отображениях ? Будут ли они также биективними? Ответ обоснуйте.

25. Выяснить, для каких из следующих отображений существуют обратные:

a. ;

b. ;

c. ;

d. ;

e. .

26. Показать, что для каждого из следующих отображений существует обратное и найти его.

a. ;

b. ;

c. ;

d. ;

e. ;

f. .

27. Показать, что данное отображение не является обратимым. Найти такое наибольшее по включению множество , и множество , что отображение будет обратимым и найти .

a. ;

b. ;

c. ;

d. ;

e. .

28. Пусть дано отображение . Доказать, что если такое, что , то - биективное отображение.