Дифракция на одной щели и дифракционной решетке

Лабораторная работа

Теоретическое введение.

1. Если на пути лазерного пучка имеется одна щель в непрозрачном экране, то световой поток, прошедший через нее, перераспределяется по направлениям в пространстве так, что на удаленном экране наблюдения образуется дифракционная картина Фраунгофера в виде упорядоченной системы светлых пятен: центрального дифракционного максимума и симметрично расположенных относительно него боковых максимумов. Предполагается, что экран со щелью и экран наблюдения установлены перпендикулярно лазерному пучку.

Распределение интенсивности I₁(x) в одной дифракционной картине, полученной от одной щели, описывается формулой

; , (1)

Схема дифракции и график зависимости I₁(x) показаны на рис.1. Векторные диаграммы для характерных точек а, б, в, г (см. рис.1) приведены на рис.2.

Рис.2. Векторные диаграммы для характерных точек а, б, в, г распределения интенсивностей

Разобьем щель на большое число N полосок. В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля каждая такая полоска является источником вторичных волн (в данном случае вторичная волна от одной полоски - цилиндрическая волна).

Воспользуемся векторным методом сложения когерентных волн. В центре картины (точка а, x =0, q=0, рис. 2 а) все элементарные волны, исходящие от переизлучающих полосок, складываются в фазе (d₁=0).

В результате сложения получаем отрезок, длина которого равна А (0). Интенсивность в центре .

Когда N очень велико, сдвиг фаз мал, то стороны многоугольника на векторной диаграмме рис.2, б также малы и укладываются на дуге окружности. Радиус окружности уменьшается с увеличением , но длина дуги остается постоянной. Длина хорды дает суммарную амплитуду

.

Возводя амплитуду в квадрат, снова получим формулу (1) для интенсивности.

При векторная диаграмма (см. рис.2, в) превращается в окружность, длина которой равна A (0), а суммарная амплитуда A = 0. Волны, исходящие от крайних элементарных полосок (от первой и N -й), находятся в фазе, так как . Как видно из диа­граммы, для каждой элементарной волны, исходящей от полоски q в одной половине щели, найдется волна в противофазе с ней, исходящая от полоски в другой половине щели. Складываясь, элементарные волны попарно гасят друг друга. В результате получается дифракционный минимум интенсивности в направлении и соответственно в точке с координатой . Если , длина A (0) в 3/2 раза больше длины окружности, диаметр которой равен суммарной амплитуде A ' (см. диа­грамму рис.2, г). Из соотношения между диаметром и длиной окружности по­лучим

 

Отличительные черты дифракционной картины следующие:

1. Распределение интенсивности в дифракционной картине описывается выражением (1). Картина при нормальном падении света на щель симметрична относительно центрального максимума: .

2. Положение минимумов в картине определяется условием

.

3. Максимально возможное количество минимумов по одну сторону от центра картины .

Расстояние между этими минимумами .

Ширина центрального максимума в 2 раза больше ширины боковых максимумов.

4. Относительная интенсивность в максимумах подчиняется закономерности

,

где - интенсивности в первом, втором, третьем максимумах.

Для определения отношения целесообразно измерять расстояние l_m между m -м и (– m)-м минимумами. Тогда

. (2)

 

2.Пусть на пути лазерного пучка имеется две щели. Расстояние между ними равно d, а ширина щелей b остается прежней. В этом случае два дифрагированных пучка перекрываются и интерферируют. Суммарную картину называют также дифракционной. Распределение интенсивности в ней описывается известным выражением

;

I ₂(x) = 2I ₁(x)(1+ cosd), (3)

где - разность фаз между дифрагированными волнами, исходящими от щелей в направлении q; D l = d sinq - разность хода между ними. Множитель I₁ (x) содержит информацию о дифракции на одной щели. Множитель (1+cosd) содержит информацию об интерференции. Кроме дифракционного перераспределения происходит дополнительное интерференционное перераспределение светового потока по направлениям.

В направлениях q _n, для которых выполняется условие

d sinq = n l, n = 0, ±1, ±2,...,

интенсивность

I₂(x_n) = 4I₁(x_n) (4)

На экране наблюдения в точках P (x_n), координаты которых

,

наблюдаются яркие пятна (главные максимумы). Расстояние между максимумами равно . Координаты x_n получены в приближении малых углов (sinq _n @ tgq _n =xn/L). В пределах центрального дифракционного максимума (центрального пятна при дифракции на одной щели) шириной (m = ±1) наблюдается примерно Q главных максимумов, где .

Если координаты x_n некоторых главных максимумов совпадут с координатами дифракционных минимумов, то соответствующие главные максимумы "разрежутся" этими минимумами на две части.

Для определения отношения lL/d в эксперименте целесообразно измерять расстояние S_n между n -м и (– n)-м главными максимумами. Тогда

(5)

Из (2) и (5) следует, что

. (6)

Таким образом, измерения расстояний l_m и S_n позволяют определить расстояние между главными максимумами расстояние от центра картины до дифракционных минимумов отношение d/b.

Измерения интенсивностей главных максимумов дают возможность восстановить график распределения интенсивности при дифракции на одной щели (по огибающей, см. формулу (1)).

Рис. 3 Распределение интенсивности при дифракции   Фраунгофера на дифракционной решетке.

3. При дифракции на N щелях с такими же значениями d и b, как и в предыдущем случае, главные максимумы будут наблюдаться при тех же координатах x_n. Угол падения света на решетку равен нулю (нормальное падение света).

При дифракции на каждой щели происходит перераспределение интенсивности по углу в соответствии с выражением (1).

Зависимость интенсивности от x при дифракции на одной щели показана на рис.1.

В направлениях , когда

, m = ±1, ±2, ±3, …,

наблюдаются дифракционные минимумы.

Вследствие дифракции световые пучки, исходящие от N щелей и имею­щие распределение интенсивности , перекрываются и интерферируют. В результате интерференции происходит дополнительное перераспределение интенсивности по углу q в соответствии с выражением.

(7)

В главных направлениях , когда

, n = 0, ±1, ±2, ±3, …,

интенсивность света, исходящего от одной щели, равна , а резуль­тирующая интенсивность при интерференции N пучков увеличивается в раз:

.

Зависимость результирующей интенсивности от показана на рис. 3 для случая, когда падающий узкий световой пучок засвечивает только N =4 щели в решетке, у которой . Дифракционная картина состоит из серии главных максимумов в тех направлениях , для которых выполняется условие

.

Огибающая главных максимумов (пунктирная кривая на рис.3, пред­ставляет собой дифракционное распределение интенсивности (при дифракции на одной щели), увеличенное в раз. В силу соотношения направления на главные максимумы с номерами n =±3, ±6, ±9, … точно совпадают с направлениями на дифракционные минимумы, поэтому указанные главные максимумы в дифракционной картине отсутствуют. Теоретически между главными максимумами имеется N –2 побочных интерференционных максимумов, но на опыте из-за ма­лой интенсивности они обычно не наблюдаются.

Интенсивности главных максимумов в раз больше, чем интенсивность при дифракции на одной щели в тех же точках

.

Ширина главных максимумов D x ~ 1/ N и уменьшается с увеличением N. Интенсивность тех главных максимумов, координаты которых близки к координатам x_m дифракционных минимумов, резко уменьшается. Максимумы, для которых x_n @ x_m, полностью исчезают. Для относительных интенсивностей справедливо соотношение

.

По результатам измерения интенсивностей, например, и можно оценить количество освещенных щелей (попадающих под лазерный пучок):

.

Индексы 1, 2, N указывают на количество щелей, участвующих в дифракции.

Зная расстояние S_n, можно оценить полуширину главных максимумов (расстояние от центра до ближайшего дополнительного минимума):

.

Контрольные вопросы для подготовки к работе.

1. Дифракция Фраунгофера наблюдается:

A. На любом расстоянии от щели, когда падающая волна является плоской.

B. Если падающая волна – сферическая, а экран расположен на большом расстоянии от щели, таком, что .

C. Когда на щель падает параллельный пучок света, за щелью расположена длиннофокусная линза, и картина наблюдается в ее фокальной плоскости.

D. Если на щель падает плоская волна, а картина наблюдается на экране, удаленном от щели на расстояние (линза отсутствует).

2. В выражении для интенсивности света, дифрагированного на щели,

,

величина равна:

A.

B. .

C. .

D. .

E. .

3. В направлениях под углами от нормали к щели интенсивность света равна нулю, если выполняется условие:

A. , .

B. , .

C. , .

D. , .

4. Величина имеет следующий смысл:

A. Разность хода волн, приходящих в некоторую точку экрана наблюдения, исходящих в направлении от крайних вторичных источников в виде узких полосок.

B. Разность хода волн, приходящих в некоторую точку экрана наблюдения, исходящих в направлении от середин щели и от одного из краев щели.

C. Эффективная ширина щели, видимая из точки экрана.

5. Интенсивность в центре дифракционной картины:

A. Равна интенсивности падающего на щель света

B. В 4 раза больше, чем интенсивность света, падающего на щель

C. Меньше, чем интенсивность падающего света, и зависит только от расстояния от щели до экрана

D. Меньше, чем интенсивность падающего света, и пропорциональна множителю

6. Распределение интенсивности по углам дифракции на решетке из N щелей шириной определяется формулой

,

где - интенсивность от одной щели в направлении , а величина равна:

A.

B. .

C. .

D. .

7. Какая из приведенных ниже векторных диаграмм соответствует главному максимуму:

8. Для решетки с и реализуется полное количество главных максимумов, равное:

E. 5.

F. 6.

G. 7.

H. 8.

I. 9.

9. На дифракционную картину падает свет одинаковой интенсивности с длинами волн и . Укажите рисунок, иллюстрирующий положение главных максимумов, создаваемых дифракционной решеткой ( - угол дифракции).

 

 

10. Монохроматический свет с длиной волны дифрагирует на решетке из щелей (). На рисунках представлены векторные диаграммы, соответствующие минимумам интенсивности , которые наблюдаются между главными максимумами с и . Чему равна разность и разность хода волн, идущих в указанных направлениях от соседних щелей?

 

рисунок	А	В	С

 

 

Схема вывода формулы для распределения интенсивности

На щель в непрозрачной преграде падает плоская волна нормально к плоскости щели. Условно разобьем щель на узких полосок, которые являются вторичными источниками согласно принципу Гюйненса-Френеля. На рис. показаны векторные диаграммы для центра дифракционной картины (a) и для некоторого угла дифракции .

 

1) Изобразите на рисунке схему дифракции Фраунгофера на щели.

2) Чему равна разность фаз в направлении угла дифракции ?

.

3) Получите формулу для суммарной амплитуды , если в центре картины амплитуда дифрагированной волны равна .

4) Запишите формулу для интенсивности .

5) Найдите значения для тех углов дифракции , когда (считая и известными).

6) Нарисуйте график зависимости от . Как изменится график, если ширину щели увеличить в 2 раза?

Задание

1. Сформулируйте Принцип Гюйгенса-Френеля и объясните его использование для расчета дифракции Фраунгофера.

2. Определите предельную ширину щели, при которой еще будут наблюдаться минимумы интенсивности при нормальном падении света.

3. Ширина щели мкм., длина волны мкм. Определите количество минимумов, теоретически образующихся в дифракционной картине.

На рис. 1-4 показаны векторные диаграммы для дифракции Фраунгофера на щели при различных углах дифракции. Длина векторной «цепочки» на всех рисунках одинакова

 

 

Заполните таблицу, считая длину волны и ширину щели известными.

 

Рис. №

 

Литература

1. Савельев И.В. Курс физики. - М.: Наука, 1989. - Т. 2. - §§ 90, 93, 94.

2. Лосев В.В. Оптические явления. Теория и эксперимент. - М.: МИЭТ, 2002, гл.3.,п.3.1-3.4.