Пусть 
- выборка объема 
, представляющая собой результат независимых наблюдений над случайной величиной 
, относительно распределения которой выдвинута простая гипотеза 
(
- теоретическая функция распределения, соответствующая гипотезе 
). Наиболее распространенным критерием проверки этой гипотезы является критерии 
Пирсона.
Чтобы воспользоваться критерием Пирсона, выборочные данные следует предварительно сгруппировать, представив их в виде интервального статистического ряда. Пусть 
-интервалы группировки; 
- частоты попадания выборочных значений в интервалы 
соответственно (
).
Обозначим 
теоретическую (соответствующую ) вероятность попадания случайной величины в интервал 
.
Статистикой критерия является величина:
,
которая характеризует отклонение эмпирической функции распределения 
от теоретической функции распределения (значение 
является приращением эмпирической функции на интервале 
, а - приращением теоретической функции на том же интервале). Поскольку относительные частоты сближаются с вероятностями при 
, то в случае справедливости гипотезы значение величины 
не должно существенно отличаться от нуля. Поэтому критическая область критерия задается в виде 
, где 
– значение величины , полученное для заданной выборки, а порог 
определяется по заданному уровню значимости 
так, чтобы 
. Нахождение основано на том факте (известном как теорема Пирсона), что случайная величина имеет при 
предельное распределение хи - квадрат 
с 
степенью свободы.
На практике предельное распределение можно использовать с хорошим приближением при 
и 
. При выполнении этих условий для заданного уровня значимости можно положить 
, где 
является (1— )-квантилью распределения .
Таким образом, критерий согласия Пирсона состоит в следующем:
1. По заданному уровню значимости находится по табл. П4 порог
.
2. По заданной выборке объема определяется число 
интервалов группировки так, чтобы . Вычисляется значение статистики 
.
3. Если 
, то гипотезу отвергают.
4. Если 
, то гипотезу принимают.
Если случайная величина дискретная, 
- различные выборочные значения, а 
в случае справедливости , то всегда можно определить интервалов, содержащих ровно по одному выборочному значению. Поэтому в данном случае можно сразу считать, что 
, где 
– частота выборочного значения 
.
На практике теоретическое распределение полностью бывает определено редко. Чаще известен предположительно только тип распределения, но неизвестны параметры его определяющие. В этом случае гипотеза о виде распределения, подлежащая проверке, имеет вид 
и является сложной параметрической гипотезой.
Критерий согласия Пирсона применим для проверки такой гипотезы со следующими изменениями:
а) вероятности 
, 
вычисляют, заменяя неизвестные параметры 
их оценками максимального правдоподобия 
: 
;
б) число степеней свободы предельного распределения хи - квадрат должно быть уменьшено на число неизвестных параметров и считаться равным 
.
