Формули скороченого множення

 

Дидактична мета: виробити вміння застосовувати формулу (a+b)(a-b)=a²-b² для скороченого множення різниці виразів на суму і розкладу на множники різниці квадратів.

Знання та вміння: Знати виведення і словесне формулювання тотожності (a+b)(a-b)=a²-b². Уміти застосовувати цю тотожність при умові, що а і b – будь-які одночлени з числовими показниками. Уміти застосовувати цю тотожність для раціоналізації обчислень, тотожних перетворень цілих виразів, скорочення дробів, розв’язування рівнянь.

Методичні рекомендації.

Під час вивчення цієї тотожності доцільно підкреслити, що а і b – змінні, замість яких можна підставляти будь-який вираз.

При вивчені теми “формули скороченого множення” особливу увагу слід звернути на читання виразів, оскільки учням постійно треба переходити від формул до їх словесного вираження і навпаки.

Виводиться формула на конкретних прикладах. Пропонується перемножити многочлени: (х+m)(x-m)=x²-mx+mx-m²= x²-m²

(5+a)(5-a)=5²-5a+5a-a²=25-a²

(x+z)(x-z)=x²-zx+zx-z²=x²-z²

(a+b)(a-b)=a²-ab+ab-b²=a²-b²

Аналізуючи розв’язані вправи робимо висновок, що добуток суми двох виразів на їх різницю дорівнює різниці квадратів цих виразів.

Записується (a+b)(a-b)=a²-b² ця рівність є тотожна. Ліву і праву частини можна поміняти. Вона правильна при будь-яких значеннях a і b.

Після виведення пропонуємо учням прочитати словесне формулювання тотожності у підручнику і виконати вправи на закріплення. Доцільно вимагати від учнів словесного коментування умови і одержаного результату.

Після того як учні навчились застосовувати тотожність можна переходити до складніших випадків використання формули, що пов’язані із застосуванням переставного закону додавання і винесення спільного множника за дужки.

5 Форми роботи з учнями з формування необхідних навичок.Типові помилки учнів і шляхи їх подолання

У тотожних перетвореннях цілих виразів розповсюджені такі помилки:

- Учні додають коефіцієнти, а змінні множать,
наприклад: 9а+3а-12а²

- Додають окремо коефіцієнти і окремо буквені вирази, наприклад: 8у+5у=13+2у

- Віднімають коефіцієнти, а про буквені вирази “забувають”, наприклад: 6х+2х=4

Помилки такого типу пов’язані з нерозумінням розподільного закону множення відносно додавання і віднімання.

Під час додавання (віднімання) степенів учні додають (віднімають) і коефіцієнти, і показники степенів.

Аналогічна помилка спостерігається і при множені (діленні) степенів. наприклад: 3а²+7а²=12а²;а⁶-а³=а³; х⁴х³=х¹²; m⁸:m⁴=m²

Для подолання цих помилок, слід підібрати завдання в яких вимагається довести правильність висновків, які зробили самі учні. Наприклад:

1. доведіть, що в рівностях b^m+bⁿ=b^m+n; 2а³·3а=18а²; 3х+5х+2х=10+3х допущені помилки. Знайдіть ці помилки

2. Порівняйте значення виразів 3а²+5а², 8а⁴, 8а², якщо Поясніть, між якими двома із двох даних виразів можна поставити знак дорівнює і чому?

3. Дано рівність 2а+ =8а; ·3а². Замість квадратиків поставити такі числа або вираз, щоб рівності були правильними.

4. Серед виразів 17+2х, 7х+10х, 20х-3х, 17х, знайдіть такі, які набувають рівні значення при будь-яких значеннях х.

Для попередження помилок час від часу слід пропонувати учням вказувати правило, властивість на які спирається виконання перетворення. Слід звернути увагу на закономірності, які можна використати для самоконтролю.

Наприклад: при винесенні за дужки одночленного множника, у дужках одержуємо многочлен, що містить стільки ж членів що й вихідний.

При множені многочлен який має m членів на многочлен, що має к членів, одержимо многочлен, що має кm членів. При зміні знаку чисельника (знаменника) дробу знак дробу зміниться на протилежний і т.д.

Звертаємо увагу на записи. Наприклад: запис є джерелом грубих помилок.

Помилки, які допускають учні під час розкладу многочленів на множники.

1. Виносячи за дужки спільний множник, який співпадає з одним із членів многочлена, забувають писати 1 на місці цього числа. Наприклад:

2ах+3ху+х=х(2а+3у)

2. Якщо спільний множник – многочлен, то учні часто записують його двічі. Наприклад: m²(m+a)-b(m+a)=(m+a)(m+a)(m²-b)

3. Якщо спільний множник – різниця, то учні не враховують з яким знаками входять у вихідний вираз компоненти цієї різниці.
Наприклад: х⁴- 3у-у³+ху²=х³(х-у)-у²(х+у)

х³(х-у)-у²(у-х)=(х-у)(х³-у³).

Для подолання таких помилок можна використовувати вправи

1. Дано одночлен 18х⁴у⁶. подайте його у вигляді добутку двох одночленів так, щоб у першому з них коефіцієнт був 3, а в другому множник у³. Скільки таких добутків можна записати.

2. Дано одночлени 5х²у², 25х³у⁴, 15х⁴у⁵. Вкажіть декілька їх їх спільних множників.

3. Дано рівності

b²(x+a)-b³(...)=b²(x+a)(1-b);

m⁵(1-n)-m³(n-1)=m³(...)(m²+1)

Замість трьох поставте такі вирази, щоб рівість була провильною.

4. Виконайте множення: а) 2ах²(3у+1). Винесіть за дужки спільний множник:

б) 6ах²у+2ах

Чи можна поставити знак “=” між виразами а) і б)?

Під час множення многочленів часто зустрічається такі помилки:

(а+b) (а+b)=а²+b²; (2a+3b)(4c+5a)=8ac+15ab;

(3ab+1)(3ab-1)=9a²b²+3ab

Більшість помилок є наслідком поспішності вчителя. Не сформувавши міцних навичок множення многочлена, вчитель переходить до формул скороченого множення. Корисним є завдання у яких треба піднести до квадрата двочлен або до куба безпосередньо користуючись означенням степеня і означенням множення.

Література

1. Слепкань З.І. ”Методика навчання математики.” 2000 р.

2. Бевз Г.П. Методика викладання математики. К.-1981 р.