Графы и способы их представления
Основные определения
Граф задается множеством точек или вершин х1, х2,..., хn и множеством линий или ребер a1, a2,..., am, соединяющих между собой все или часть точек. Формальное определение графа может быть дано следующим образом.
Графом называется двойка вида
G = (X, A),
где X = {xi}, i = 1, 2,..., n – множество вершин графа, A = {ai}, i = 1, 2,..., m – множество ребер графа.
Графы могут быть ориентированными, неориентированными и смешанными (рис. 1.2). Если ребра у множества Aориентированы, что обычно показывается стрелкой, то они называются дугами, и граф с такими ребрами называется ориентированным графом или орграфом (рис. 1.2,а).
Рис. 1.2.
Если ребра не имеют ориентации, то граф называется неориентированным (рис. 1.2,б). Граф, в котором присутствуют и ребра, и дуги называется смешанным (рис. 1.2,в). В случае, когда G = (X, A) является орграфом, и мы хотим пренебречь направленностью дуг из множества A, то неориентированный граф, соответствующий G, будет обозначаться и называться неориентированным дубликатом или неориентированным двойником (рис. 1.2,г).
Дуга ai может быть представлена упорядоченной парой вершин (хn, хk), состоящей из начальной хn и конечнойхk вершин. Например, для графа G1 (рис. 1.2,а) дуга a1 задается парой вершин (x2, x1), а дуга а3 парой (x2, x3). Если хn, хk – концевые вершины дуги ai, то говорят, что вершины хn и хk инцидентны дуге ai или дуга aiинцидентна вершинам хn и хk.
Дуга, у которой начальная и конечная вершины совпадают, называется петлей. В графе G3 (рис. 1.2,в) дуга a7является петлей.
Каждая вершина орграфа хi может характеризоваться полустепенью исхода d0(хi) и полустепенью захода dt(хi).
Полустепенью исхода вершины хi — d0(хi) называется количество дуг, исходящих из этой вершины. Например, для орграфа G1 (рис. 1.2,а) характеристики полустепеней исхода следующие: d0(х1)=1, d0(х2)=2, d0(х3)=2, d0(х4)=1.
Полустепенью захода вершины хi — dt(хi) называется количество дуг, входящих в эту вершину. Например, для орграфа G1: dt(х1)=2, dt(х2)=1, dt(х3)=2, dt(х4)=1.
Очевидно, что сумма полустепеней исхода всех вершин графа, а также сумма полустепеней захода всех вершин графа равна общему числу дуг графа, т. е.
где n – число вершин графа, m – число дуг.
Каждая вершина неориентированного графа хi может характеризоваться степенью вершины d(хi).
Степенью вершины хi – d(хi) называется количество ребер, инцидентных этой вершине. Например, для орграфа G1(рис. 1.2,б) характеристики степеней следующие: d(х1)=2, d(х2)=3, d(х3)=3, d(х4)=2.
Способы описания графов
Теоретико-множественное представление графов
Граф описывается перечислением множества вершин и дуг. Примеры описания приведены для орграфов на рис. 1.3 и рис. 1.4.
G4 = (Х, А),
где Х = {хi}, i = 1, 2, 3, 4 – множество вершин; А = {ai }, i = 1, 2,..., 6 – множество дуг, причем А = {(х1, х2), (х4, х2), (х2, х4), (х2, х3), (х3, х3), (х4, х1)}.
Рис. 1.3.
G5 = (X, A),
где X = {B, C, D, E, F} – множество вершин графа, A = {ai}, i = 1, 2,..., 5 – множество дуг графа, причем a1 = (F, B), a2 = (B, E), a3 = (F, D), a4 = (E, C), a5 = (C, D).
Рис. 1.4.
Задание графов соответствием
Описание графов состоит в задании множества вершин Х и соответствия Г, которое показывает, как между собой связаны вершины.
Соответствием Г называется отображение множества Х в Х, а граф в этом случае обозначается парой G = (X, Г).
Отображением вершины хi — Г(хi) является множество вершин, в которые существуют дуги из вершины хi, т. е. 
.
Так для орграфа на рис. 1.3 описание заданием множества вершин и соответствия выглядит следующим образом:
G4=(X, Г),
где X = {хi}, I = 1, 2,..., 4 – множество вершин, Г(х1) = { х2 }, Г(х2) = { х3, х4 }, Г(х3) = { х3 },Г(х4) = { х1, х2 } – отображения.
Для неориентированного или смешанного графов предполагается, что соответствие Г задает такой эквивалентный ориентированный граф, который получается из исходного графа заменой каждого неориентированного ребра двумя противоположно направленными дугами, соединяющими те же самые вершины. Например, для графа на рис. 1.2,бГ(х2) = { х1, х3, х5 }, Г(х4) ={ х3, х5} и т. д.
