Математическое моделирование получило широкое развитие в практике решения эксплуатационных задач. Построение математических моделей (ММ) различной степени полноты, сложности и универсальности применяют при решении задач летной эксплуатации и расследовании авиационных происшествий (АП) с использованием моделирования полета на ЭВМ.
Моделирование на ЭВМ позволяет оценить влияние различных факторов на динамику полета, расходы топлива и методику пилотирования (рис.1.1). Эксплуатационная математическая модель (ММ) полета необходима для решения практических задач динамики полета и экономики. Оптимальные расчетные режимы полета находятся по критериям, характеризующим дальность и продолжительность полета, километровые и часовые расходы топлива и т.д. Реальная эксплуатационная модель учитывает балансировочные потери, индивидуальные особенности самолета, наработку планера, двигателей и систем. Аэродинамически оптимальные режимы полета не всегда выгодны экономически для различных условий полета и не соответствуют минимуму стоимости полетного времени.
Рис. 1.1 – Эксплуатационная математическая модель:
H – высота полета; V – скорость полета; T – температура воздуха; p– давление; 
а – отклонение аэродинамических органов управления; 
с.с – отклонение органов систем стабилизации; n – частота вращения ротора двигателя; C x бал – балансировочный коэффициент сопротивления; αбал – балансировочный угол атаки; С у бал – балансировочный коэффициент подъемной силы; t– текущее время полета; tпл. tдв. tс.с – время наработки планера, двигателя систем стабилизации; mT – масса топлива;m – взлетная масса самолета; qкм, qч - километровый и часовой расходы топлива;хТ – положение центра масс;Qiопт – критерийэксплуатационной экономичности.
Задачи экономической оптимизации эксплуатации самолета решаются по критериям, которые определяют максимальную прибыльность эксплуатации самолета. Экономические ММ эксплуатации самолетов неразрывно связаны с моделью реальной динамики полета.
Математическое моделирование полета позволяет анализировать экстремальные ситуации, которые не могут быть реализованы в летных испытаниях либо по условиям безопасности, либо из-за крайне редкой их повторяемости в природных условиях. Оно позволяет имитировать любые отказные ситуации, ошибки пилотирования, внешние воздействия.
Доказательство адекватности ММ реальному объекту представляет собой актуальную научную задачу. Полная ММ включает всю аэродинамику, описание тяговых характеристик двигательных установок, режимов работы систем автоматического управления, взаимодействия ВС со взлетно-посадочной полосой (ВПП). При анализе экстремальных ситуаций необходимо учитывать эффекты статической и динамической аэроупругости, а также нестационарного обтекания ВС. Математическая модель полета должна рассматриваться как динамический аналог конкретного ВС, дополняемый изменением его характеристик по мере эксплуатации.
Работа по созданию и внедрению в практику эксплуатации ММ является необходимым условием ускорения решения задач повышения экономичности и безопасности полетов, уровня достоверности полученных характеристик полета, уровня достоверности выводов и согласованности результатов, полученных в летных испытаниях, в процессе летной эксплуатации и при расследовании АП. Математическая модель полета реализуется в виде пакетов программ для ЭВМ. Хорошо развитое сервисное программное обеспечение позволяет использовать ММ инженерным составом эксплуатационных подразделений ГА.
Моделирование является наиболее перспективным методом предварительного определения характеристик самолета до начала летных испытаний, в процессе их проведения и по окончании испытаний для распространения полученных в результате испытаний данных на весь объем ожидаемых условий эксплуатации. В зависимости от типа решаемых задач (траекторные задачи или задачи устойчивости и управляемости) принимаются различные упрощения, облегчающие проведение моделирования.
При решении траекторных задач предполагается, что самолет является абсолютно жестким телом и на него действуют:
Ra – аэродинамическая сила планера, которая в скоростной системе координат представляется в виде трех составляющих:
Ya – аэродинамической подъемной силы,
Ха – силы лобового сопротивления,
Za – аэродинамической боковой силы;
Р – тяга двигателей,
mg – сила тяжести самолета (произведение массы самолета на ускорение свободного падения).
Аэродинамические силы уточняются эксплуатационными поправками.
Предполагается также, что все указанные силы приложены в центре масс (ц.м.) самолета и поэтому при выводе уравнений движения и их анализе самолет рассматривается как материальная точка постоянной массы в абсолютно спокойной атмосфере. Подобная модель позволяет использовать теорему об изменении количества движения материальной точки:
(1.1)
где 
– вектор скорости движения центра масс самолета относительно воздушной среды, не возмущенной самолетом в инерциальной системе отсчета; 
– суммарный вектор внешних сил, действующих на самолет.
Учитывая, что реальная система сил, действующих на самолет, имеет пространственный характер, при решении задач устойчивости и управляемости уравнение движения ц.м. самолета (1.1) – уравнение сил, необходимо дополнить уравнением движения относительно ц.м. – уравнением моментов.
Из курса теоретической механики известно (теорема Пуансо), что систему сил, действующих на твердое тело, можно привести к главному вектору и к главному моменту относительно произвольного центра. Главный вектор системы сил – вектор, равный векторной сумме всех сил.
Главный момент М относительно точки О твердого тела – сумма векторных моментов всех сил систем относительно этой точки. Производная по времени от вектора момента количества движения летательного аппарата (ЛА) в его движении относительно ц.м. равна главному моменту внешних сил относительно ц.м., то есть:
, где 
суммарный вектор момента количества движения; 
– вектор, определяющий положение элементарной массы mi относительно выбранного начала отсчета.
Таким образом, при допущении, что самолет – абсолютно твердое тело постоянной массы, уравнения движения самолета в векторной форме запишутся в виде:
; 
(1.2)
Положение самолета в пространстве определяется интегрированием этой системы дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях и внешних силах. Для изучения движения самолета обычно систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1.2) представляют в скалярной форме, то есть рассматривают ее в проекциях на оси той или иной системы координат. Вид скалярных дифференциальных уравнений во многом зависит от системы координат. Любой заданный в пространстве вектор не зависит от выбора систем координат (является инвариантным к ним), поэтому векторные уравнения можно представить в скалярном виде в проекциях на оси любой системы координат. В зависимости от характера решаемой задачи производится выбор системы координат с таким расчетом, чтобы облегчить процесс исследования поведения самолета в полете. При исследовании траекторных задач чаще пользуются скоростной системой координат, при исследовании движения самолета относительно ц.м. удобнее пользоваться связанной системой координат.
В связанной системе координат вектор скорости движения ц.м. представляется в виде:
;
где 
– единичные векторы (орты), определяющие направления соответственно продольной ОХ, нормальной ОY и поперечной OZ осей.
Производная от вектора скорости 
по времени имеет вид
Единичные векторы вращаются с угловой скоростью, поэтому их производные по времени соответственно равны:
; 
; 
;
Первые три слагаемые характеризуют быстроту изменения вектора скорости V, воспринимаемую вместе с системой координат. Они определяют так называемую локальную производную
Исходя из свойства произведения двух векторов, последние три слагаемые можно записать так:
Таким образом, получим известную из векторного анализа формулу полной производной вектора, определенную через производную относительно подвижной связанной системы координат и вектор угловой скорости вращения подвижных осей ω:
(1.3)
Аналогично определим зависимость между абсолютной и локальной производными от вектора момента количества движения по времени:
(1.4)
В развернутом виде уравнения (1.3) и (1.4) записываются так:
;
.
Теперь уравнения движения самолета в векторной форме запишутся в виде:
m 
;
.
Проектируя в уравнениях векторные величины на оси связанной системы координат, получим следующую систему дифференциальных уравнений движения самолета в скалярной форме:
;
;
;
;
;
.
(1.5)
где Fх,Fy,Fz – проекции суммарного вектора внешних сил на продольную, нормальную и поперечную оси; Mх, My,Mz – проекции суммарного вектора момента внешних сил относительно начала связанной системы координат на продольную, нормальную и поперечную оси; Kх,Ky,Kz – проекции суммарного вектора момента количества движения относительно начала связанной системы координат на продольную, нормальную и поперечную оси, определяемые следующими соотношениями:
;
;
Здесь Iх,Iу,Iz – моменты инерции относительно осей связанной системы координат; Ixy,Ixz,Izy – центробежные моменты инерции:
; 
;
;
; 
; 
.
Важно заметить, что связанные оси координат занимают постоянное положение относительно самолета, поэтому названные моменты инерции не зависят от положения самолета в пространстве, их значения постоянны, тогда
;
;
.
(1.6)
Для самолета, имеющего плоскость симметрии:
; 
С учетом (1.2) производные от проекций момента количества движения по времени приобретают вид:
;
;
;
(1.7)
Подставив выражение (1.7) в систему (1.5) и добавив к этой системе уравнения кинематических связей, получим систему дифференциальных уравнений, описывающую движение самолета в соответствии с принятым допущением, что самолет — абсолютно твердое тело постоянной массы:
;
;
(1.8)
Для учета изменения массы самолета в полете, влияния упругости конструкции, деформаций различных частей самолета к системе (1.8) необходимо добавить уравнения, описывающие изменения массы и моментов инерции самолета в зависимости от продолжительности полета и уравнения упругих деформаций крыла, фюзеляжа и оперения. Анализ таких, более сложных, задач выходит за рамки данного курса.
На первом этапе развития работ по моделированию полета разрабатываются чисто математические аналоговые, цифровые или более универсальные аналого-цифровые модели полета, которые позволяют решать определенный круг задач. Однако уже полет в штурвальных режимах моделируется при существенных допущениях, так как отсутствуют достаточно надежные ММ действий экипажа. Математические модели учитывают модели функционирования ряда бортовых систем. Для некоторых ВС адекватное математическое описание работы функциональных систем отсутствует. При создании ВС, а также в эксплуатации, целесообразно использовать полунатурные имитаторы полета, в которых сочетаются моделирование динамики полета на универсальных ЭВМ с имитацией функционирования основных бортовых систем на стенде, управляемом ЭВМ. Такие имитаторы обычно включают подвижную кабину, что позволяет вводить действия пилота в контур системы штурвального управления.
Математическое моделирование полета позволяет широко использовать статистический подход в процессе сертификации ВС при решении различных задач летной эксплуатации и анализа АП.
В документах ИКАО и Нормах летной годности самолетов (НЛГС) определены величины статистических критериев возникновения тех или иных полетных ситуаций, достоверности принимаемых решений. В летных испытаниях практически невозможно получить достаточный объем выборок и трудно обеспечить их однородность. Комбинирование летных испытаний с опережающим или сопутствующим статистическим моделированием полетных ситуаций позволяет, с одной стороны, более обоснованно принимать решения о вероятностях возникновения полетных ситуаций, с другой — обоснованно планировать летные испытания. При этом летные испытания можно рассматривать как проверку и уточнение выводов, получаемых на этапе моделирования.
Решение системы дифференциальных уравнений (1.1-1.8), несмотря на наличие ЭВМ и современных персональных компьютеров, вызывает большие трудности. Для решения этой системы часто пользуются рядом допущений. Основное из них заключается в том, что наличие у самолета продольной плоскости симметрии позволяет общее движение самолета разбить на продольное (движение вдоль осей ОХ и ОY и вращение вокруг оси OZ) и боковое (движение вдоль оси OZ и вращение вокруг осей ОХ и ОY).
Основанием для такого важного допущения служит то обстоятельство, что в пределах безотрывного обтекания небольшие изменения параметров бокового движения не вызывают изменения параметров продольного движения, и наоборот.
