В.И. Ратушный, А.Е.Христенко, Н. В. Литвин, В. Г. Пашкова

Н. В. Литвин, В. Г. Пашкова

 

 

Методические указания

к выполнению курсового проекта «Расчет магнитного захвата (держателя) с управляемыми постоянными магнитами»

По дисциплине

«Физика твердого тела»

 

 

Новочеркасск 2004

УДК 539.2 (076.5)

ББК

М 54

 

 

Рецензент: канд. техн. наук А.М. Семенцев

 

 

В.И. Ратушный, А.Е.Христенко, Н. В. Литвин, В. Г. Пашкова

М 54 Расчет магнитного захвата (держателя) с управляемыми постоянными магнитами: Методические указания к выполнению курсового проекта по дисциплине «ФТТ» / Волгодонский ин-т Юж.-Рос. гос. техн. ун-та (НПИ). – Новочеркасск: УПЦ «Набла» ЮРГТУ (НПИ), 2004 – 55 с.

 

 

Даны методические указания к выполнению курсового проекта по курсу «Физика твердого тела». Приводятся необходимые теоретические пояснения, порядок и последовательность выполнения работы. Методические указания предназначены для студентов специальности 200100 «Микроэлектроника и твердотельная электроника»

 

УДК 539.2 (076.5)

ББК

 

© Волгодонский институт Южно-Российского

государственного технического университета

(Новочеркасского политехнического

института), 2004

© В.И. Ратушный, А.Е.Христенко,

Н. В. Литвин, В. Г. Пашкова, 2004

1. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ.

1.1. КЛАССИФИКАЦИЯ МАГНЕТИКОВ

Термин «магнетики» применяется ко всем веществам при рассмотрении их магнитных свойств. Одной из основных характеристик любого магнетика является намагниченность , представляющая собой магнитный момент единичного объема:

. (1.1)

Намагниченность является величиной векторной. Она возрастает с увеличением индукции (или напряженности ) маг­нитного поля:

. (1.2)

Здесь Гн/м — магнитная постоянная. Величина , получившая название относительной магнитной проницаемости среды, показывает, во сколько раз магнитная индукция поля в данной среде больше, чем магнитная индукция в вакууме. Ве­личину называют магнитной восприимчивостью. Для многих веществ и , являются скалярами.

 

Рис. 1.1. Зависи­мость от для па­рамагнетиков (1) и диамагнетиков (2)

 

Магнитная восприимчивость может быть как положительной, так и отрицательной. Если , то вектор антипараллелен вектору . Магнетики, обладающие таким свойством, называют диамагнетиками. При вектор параллелен вектору . Магнетики, обладающие таким свойством, называют парамагнетиками. В большинстве случаев по модулю магнит­ные восприимчивости парамагнетиков превышают магнитные восприимчивости диамагнетиков. Зависимость намагниченности этих двух типов магнетиков от напряженности поля является линейной (рис. 1.1). Следует отметить, однако, что линейная зависимость для парамагнетиков наблюдается только в области слабых полей и при высоких температурах. В сильных полях и при низких температурах постепенно выходит на «насыщение». Как в диамагнетиках, так и в парамагнетиках в отсутствие магнитного поля намагниченность равна нулю.

Кроме диа- и парамагнетиков существует большая группа веществ, обладающих спонтанной намагниченностью, т. е. имею­щих не равную нулю намагниченность даже в отсутствие маг­нитного поля. Эта группа магнетиков получила название фер­ромагнетиков. Для них зависимость является нелинейной функцией, и полный цикл перемагничивания описывается пет­лей гистерезиса (рис. 1.2). В этих веществах магнитная восприимчивость сама зависит от .

Магнитная индукция связана с напряженностью магнитного поля соотношением

. (1.3)

Рис. 1.2. Зависи­мость от для ферромагнетика при перемагничивании

 

Заметим, что в ряде веществ направления и не совпадают. В этом случае . является тензором. Далее мы будем рас­сматривать только изотропные материалы, для которых , — простое число. Обратим внимание на то, что относительная маг­нитная проницаемость , магнетиков — аналог диэлектрической проницаемости диэлектриков.

Для магнитной индукции можно записать

. (1.2)

Отсюда с учетом (1.2) и (1.3)получаем

(1.3)

Это тоже аналогично соответствующему выражению в теории диэлектриков.

Перейдем теперь к обсуждению природы диа-, пара- и фер­ромагнетизма. При этом отметим еще раз тот факт, что маг­нитную активность проявляют все тела без исключения. Сле­довательно, за магнитные свойства вещества ответственны элементарные частицы, входящие в состав любого атома. Та­кими частицами являются протоны, нейтроны и электроны. Опыт показывает, что магнитный момент ядра, состоящего из протонов и нейтронов, примерно на три порядка меньше маг­нитного момента электрона. Поэтому при обсуждении магнит­ных свойств твердых тел магнитными моментами ядер обычно пренебрегают. Не следует думать, однако, что ядерный магне­тизм вообще не играет никакой роли. Имеется ряд явлений (на­пример, ядерный магнитный резонанс), в которых эта роль чрезвычайно существенна.

Из курса атомной физики известно, что в результирующий магнитный момент свободного атома вносят вклад: а) спино­вые магнитные моменты электронов; б) орбитальные магнит­ные моменты, связанные с движением электронов вокруг ядра. Спиновый и орбитальный магнитные моменты и связа­ны с соответствующими механическими моментами и гиромагнитными отношениями:

. (1.4)

Вследствие квантования механических моментов и кван­тованными оказываются и магнитные моменты. Квант магнит­ного момента равен магнетону Бора: . Полному механическому моменту атома, определяемому как векторная сумма , соответствует полный магнитный момент атома , проекции которого на направление поля определяются выражением . Здесь , — магнитное квантовое число; — фактор расщепле­ния Ланде, называемый также -фактором. Для чисто спино­вого магнетизма —2, для чисто орбитального =l. У всех атомов и ионов, имеющих полностью заполненные электронные оболочки, результирующие спиновые и орбитальные магнитные моменты равны нулю. Вследствие этого равен нулю и полный магнитный момент. Атомы и ионы, обладающие недостроенны­ми внутренними оболочками (переходные и редкоземельные элементы), а также содержащие нечетное число электронов в валентной оболочке, имеют отличный от нуля результирующий магнитный момент. Не равным нулю моментом обладает также атом кислорода, у которого имеется четное число электронов, но спиновые моменты двух из них не скомпенсированы.

1.2. ПРИРОДА ДИАМАГНЕТИЗМА

При классификации магнетиков мы отнесли к диамагнетикам вещества, в которых намагниченность направлена против магнитного поля и связана с линейной зависимостью, а ве­личина — постоянная, не зависящая от поля. Поскольку отрицательна, индукция в диамагнитном материале меньше, чем в вакууме. Всем перечисленным условиям удовлетворяют вещества, атомы и молекулы которых не имеют собственных магнитных моментов. Намагниченность в них индуцируется внешним магнитным полем.

Физическая природа диамагнетизма может быть понята на основе классической модели атома, в которой считается, что электроны движутся вокруг ядра по замкнутым орбитам. Каж­дая электронная орбита аналогична витку с током. Поведение витка с током в магнитном поле хорошо известно из теории электромагнетизма. Согласно закону Ленца, при изменении магнитного потока, пронизывающего контур с током, в контуре возникает э. д. с. индукции, в результате чего изменяется ток. Это приводит к появлению дополнительного магнитного момен­та, направленного так, чтобы противодействовать внешнему магнитному полю. Другими словами, индуцированный магнит­ный момент направлен против поля. В контуре, образуемом движущимся по орбите электроном, в отличие от обычного вит­ка с током, сопротивление равно нулю. Вследствие этого инду­цированный магнитным полем ток сохраняется до тех пор, пока существует поле. Магнитный момент, связанный с этим током, и есть диамагнитный момент.

Выражение для диамагнитной восприимчи­вости (для единичного объема)

. (1.7)

Из (1.7) следует, что диамагнитная восприимчивость не за­висит от температуры и возрастает пропорционально порядко­вому номеру элемента. Это хорошо согласуется с эксперимен­том. Полагая см^-3, см, получим . Поскольку диамагнетизм связан с орбитальным движением электронов в атомах, он присущ всем телам без исключения, т. е. является универсальным магнитным свойством. В любых веществах независимо от их агрегатного состояния или структуры, диамагнетизм присутствует. Однако часто он перекрыва­ется более сильными магнитными эффектами — парамагнетиз­мом или ферромагнетизмом.

При вычислении диамагнитной восприимчивости (1.7) предполагалось, что в твердом теле все электроны связаны со своими атомами. Это, очевидно, справедливо для диэлектриков. Однако в металлах, а также в полупроводниках при высоких температурах имеются электроны проводимости. Электронный газ также проявляет магнитную активность. Поэтому при вы­числении магнитной восприимчивости твердых тел, имеющих электроны проводимости, наряду с восприимчивостью атомных остовов, следует учесть магнитную восприимчивость электрон­ного газа. Вопрос о поведении электронов проводимости в маг­нитном поле мы обсудим позже, а сейчас перейдем к обсужде­нию природы парамагнетизма.

1.3. ПРИРОДА ПАРАМАГНЕТИЗМА

В отличие от диамагнетиков в парамагнетиках намагничен­ность направлена по полю, т. е. . Парамагнитная воспри­имчивость зависит от температуры:

. (1.8)

Эта зависимость впервые была установлена П. Кюри и носит название закона Кюри. Величина представляет собой неко­торую константу, получившую название постоянной Кюри. Парамагнетизмом обладают:

1) атомы и молекулы, имеющие нечетное число электронов (например, свободные атомы щелочных элементов, молекула окиси азота NO, некоторые свободные органические радикалы). У этих атомов и молекул имеется нескомпенсированный спи­новый магнитный момент;

2) свободные атомы и ионы, имеющие недостроенные внут­ренние оболочки (например, переходные элементы Fe, Co, Ni и т. д., а также редкоземельные элементы). В этом случае с каждым атомом или ионом связан магнитный момент, обус­ловленный нескомпенсированностью спинов одного или не­скольких электронов недостроенной - или -оболочки. В ряде случаев парамагнетизм обнаруживается и в твердых телах, со­стоящих из указанных атомов;

3) некоторые молекулы с четным числом электронов (напри­мер, О₂ и S₂)- В них тоже имеется магнитный момент, связан­ный с нескомпенсированностью спинов двух электронов;

4) дефекты кристаллической решетки с нечетным числом электронов. Примером могут служить -центры в щелочно-галоидных кристаллах, вакансии и ди-вакансии (в определенном зарядовом состоянии) в кремнии и т. д.;

5) металлы.

Впервые теория парамагнитной восприимчивости была создана П. Ланжевеном.

Выражение для парамагнитной восприимчивости

. (1.9)

Видим, что обратно пропорциональна температуре, что пол­ностью согласуется с опытом (закон Кюри). Постоянная Кюри .

Выражение (1.9) получено для условий: слабые поля и не очень низкие тем­пературы. Это условие почти всегда выполняется. Только при очень сильных полях и низких температурах намагниченность выходит постепенно на насыщение. При этом все магнитные моменты атомов ориентируются строго в направлении поля. Этот результат также согласуется с опытом.

Обсудим теперь более подробно вопрос о природе магнит­ных моментов, вносящих вклад в парамагнетизм. Магнитный момент свободного атома представ­ляет собой векторную сумму как орбитальных, так и спино­вых моментов всех электронов. Атомы с полностью заполнен­ными оболочками имеют результирующий магнитный момент, равный нулю. Такие атомы диамагнитны.

Парамагнетизм обнаруживают атомы, имеющие неспарен­ные спины или нескомпенсированный момент импульса, т. е. атомы с нечетным числом электронов или с частично заполнен­ной внутренней оболочкой. Характер заполнения электронных оболочек определяется правилами Хунда. Согласно этим пра­вилам, спины электронов в оболочке всегда складываются друг с другом так, чтобы дать максимально возможные значения момента импульса и магнитного момента.

1.4. ДИАМАГНЕТИЗМ И ПАРАМАГНЕТИЗМ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Разделим условно все твердые тела на неметаллы и метал­лы. Предположим, что кристаллическая решетка построена из атомов, не имеющих недостроенных внутренних оболочек. Как и в случае неметаллов, решетка проявляет диамагнетизм. На диамагнитный момент внутренних, заполненных оболочек ато­мов близость других атомов влияния не оказывает. Поэтому вклад этих оболочек в результирующий магнитный момент та­кой же, как и у изолированных атомов.

Если в неметаллическом кристалле имеются атомы с час­тично заполненными внутренними оболочками, то вещество представляет собой парамагнетик. Однако магнитный момент незаполненных оболочек в кристалле может отличаться от момента изолированного атома. Поэтому найти парамагнитный момент кристалла путем суммирования моментов всех входя­щих в него свободных атомов в большинстве случаев нельзя.

В металлах вклад в магнитную восприимчивость кроме атомных остовов, расположенных в узлах решетки, вносят кол­лективизированные электроны проводимости. Эксперименталь­ные данные свидетельствуют, например, о том, что все щелоч­ные металлы парамагнитны. При этом их парамагнитная вос­приимчивость не зависит от температуры. Поскольку решетка щелочных металлов диамагнитна, парамагнетизм может быть обусловлен только парамагнетизмом электронного газа. Из независимости парамагнетизма щелочных металлов от темпе­ратуры следует сделать вывод о независимости от температу­ры парамагнитной восприимчивости электронного газа.

Парамагнетизм электронного газа связан с наличием у электронов спинового магнитного момента, равного магнетону Бора. В магнитном поле спиновые магнитные моменты ориен­тируются преимущественно по полю, создавая результирующий магнитный момент. Если для вычисления этого магнитного мо­мента воспользоваться классическими представлениями, то по­лучим, что парамагнитная восприимчивость зависит от темпе­ратуры по закону Кюри. Правильный результат дает теория, разработанная Паули, учитывающая, что электроны в металле подчиняются статистике Ферми—Дирака.

В отсутствие внешнего магнитного поля результи­рующий магнитный момент электронного газа при К ра­вен нулю. Электроны занимают в зоне проводимости все уровни до уровня Ферми так, что на каждом уровне находится по два электрона с противоположно направленными спинами. Это ил­люстрирует рис. 1.3 а, где зона проводимости разделена на две полузоны, различающиеся направлением спинов.

Рис. 1.3. К расчету парамагнитной восприимчиво­сти электронов проводимости. По оси ординат от­ложена энергия электронов, по оси абсцисс — плотность состояний. Занятые состояния заштри­хованы. Стрелками указаны направления спиновых магнитных моментов

 

До включения магнитного поля функция плотности состоя­ний электронов со спинами вверх и функции для электронов со спинами вниз имеют вид одинаковых парабол. При этом

.

В магнитном поле полузона, в которой спиновые магнит­ные моменты направлены по полю, сместится вдоль оси вниз на , а полузона с противоположным направлением спино­вых магнитных моментов — вверх на . Таким образом, обе полузоны сместятся друг относительно друга на (рис. 1.3, б). Так как система стремится к минимуму энергии, то часть электронов из правой полузоны перетечет в левую, изменив при этом направление спина (рис. 1.3, в). В резуль­тате появится магнитный момент, направленный по полю:

, (1.10)

где — число мигрировавших электронов;

. (1.11)

Зная выражение для плотности состояний, легко получить па­рамагнитную восприимчивость электронного газа:

. (1.12)

Здесь — число электронов проводимости в единичном объ­еме металла; — температура вырождения электронного га­за. По определению,

. (1.13)

Так как (где — температура плавления металла), не зависит от температуры, поскольку

Значение парамагнитной восприимчивости, вычисленное по (1.12), лишь немного больше, чем диамагнитная восприимчи­вость внутренних заполненных оболочек атомов. Поэтому пол­ная магнитная восприимчивость нормальных (т. е. непереход­ных) металлов лишь немного больше нуля. Более того, имеется ряд металлов, которые, несмотря на парамагнитный вклад электронного газа, в целом диамагнитны. Это иллюстрируются табл. 1.2.

Одной из причин результирующего диамагнетизма некото­рых металлов является то, что в них из-за малой плотности со­стояний невелик парамагнетизм электронного газа. Такая ситуация имеет место, например, в бериллии. Атомы бе­риллия имеют по два валентных электрона. Таким образом, валентная зона в бериллии заполнена полностью. Если бы она не перекрывалась со следующей разрешенной зоной, то берил­лий был бы диэлектриком. Металлические свойства бериллия связаны с перекрытием зон. Такое перекрытие есть, но оно не­велико и плотность состояний на уровне Ферми также невели­ка. Поэтому парамагнитная восприимчивость электронного газа мала и бериллий обнаруживает диамагнетизм.

Другой причиной результирующего диамагнетизма метал­лов является большое число электронных орбит в атомах и большие радиусы этих орбит (Сu, Ag, Au, Zn, Ga и т. д.).

Таблица 1.2. Магнитная восприимчивость нормальных металлов

Металл	Атомный номер элемента		Металл	Атомный номер элемента
Li Na К Rb Cs Cu Ag Au Be Mg Ca Sr Ba Zn		+1,89 +0,68 +0,47 +0,33 +0,42 -0,76 -2,1 -29 -1,83 +0,95 +1,7 +2,65 +0,56 -1,24	Cd Hg Al Ga In -Tl Sn(белое) Sn(серое) Pb As Sb Te Bi		-1,52 -2,25 +1,67 -1,84 -0,8 -3,37 +0,276 -0,184 -1,36 -0,42 -5,9 -2,0 -13,0

Отметим, наконец, что электроны проводимости обладают не только парамагнетизмом, но и диамагнетизмом. Согласно классической теории, диамагнетизм электронного газа должен быть равен нулю. Это вытекает, например, из энергетических соображений. Магнитное поле искривляет траектории движе­ния электронов проводимости, не изменяя, однако, модуля их скорости. Поэтому при включении магнитного поля кинетиче­ская энергия электронов не изменяется.

Учет квантовых свойств электрона позволил Л. Д. Ландау открыть диамагнетизм электронного газа. Он показал, что диа­магнитная восприимчивость электронного газа

, (1.14)

т. е. составляет одну треть от его парамагнитной восприимчи­вости.

Следовательно, полная магнитная восприимчивость электрон­ного газа

. (1.15)

В заключение отметим, что у многих твердых парамагнети­ков температурная зависимость магнитной восприимчивости описывается не законом Кюри, а законом Кюри—Вейсса:

. (1.16)

Здесь — некоторая температура, положительная или отрица­тельная. Зависимость вида (1.16) связана с появлением в этих веществах при ферромагнетизма или антиферромагне­тизма.

 

1.5. ФЕРРОМАГНЕТИЗМ. МОЛЕКУЛЯРНОЕ ПОЛЕ ВЕЙССА

При классификации магнетиков мы отметили, что к ферро­магнетикам относят вещества, обладающие спонтанной намаг­ниченностью, т. е. имеющие отличную от нуля намагниченность даже в отсутствие внешнего магнитного поля. Ферромагнетизм обнаруживают кристаллы только девяти химических элемен­тов: это три -металла (Fe, Co, Ni) и шесть -металлов (Gd, Dy, Tb, Но, Er, Tm). Однако, имеется огромное число ферромагнитных сплавов и химических соединений. Все эти вещества имеют различную кристаллическую структуру, отли­чаются значениями намагниченности насыщения и другими свойствами. Единственным общим признаком для всех ферро­магнетиков является наличие атомов с недостроенными d- или -оболочками. Эти атомы, как отмечалось выше, имеют неском­пенсированный магнитный момент. Наличие спонтанной намагниченности свидетельствует о том, что магнитные моменты атомов ориенти­рованы не случайным образом, как в парамагнетике, а упорядоченно-параллельно друг другу.

При обсуждении природы магнит­ных моментов в парамагнитных солях переходных элементов мы отмечали, что орбитальные моменты электронов -оболочки «заморожены». Следует ожидать поэтому, что ферромагнетизм связан с упорядочением спиновых мо­ментов. Эта гипотеза, высказанная впервые русским ученым Б. Розингом в 1892 г., была подтверждена в экс­периментах Эйнштейна—де Гааза и Барнетта, выполненных в 1915 г. В опыте Эйнштейна—де Гааза, схема которого приведена на рис. 1.4, наблю­дали вращение ферромагнитного об­разца (т. е. возникновение механиче­ского момента) при изменении магнитного момента, обусловленного внешним магнитным полем. Изменение магнитного момента цилиндрического образца 4 осуществлялось за счет пропускания тока в соленоиде 3. При этом образец поворачи­вался и закручивал нить 1. По углу можно определить гиро­магнитное отношение. Оказалось, что

,

т. е. оно совпадает с гиромагнитным отношением для спиново­го механического и магнитного моментов электрона.

 

Рис. 1.4. Схема опыта Эйнштейна — де Гааза: 1— упругая нить под­веса, 2 — зеркальце, 3 — соленоид, 4 — фер­ромагнитный образец, — источник света.

 

Барнетт, наоборот, наблюдал намагничивание железного стержня при быстром его вращении. Найденное из этого опыта отношение также совпадало с гиромагнитным отношением спиновых моментов. Таким образом, ясно, что в ферромагнети­ках упорядочиваются нескомпенсированные спиновые магнит­ные моменты атомов с недостроенными внутренними оболочка­ми. Какова природа этого магнитного упорядочения?

Для того, чтобы объяснить существование спонтанного маг­нитного момента, П. Вейсс высказал предположение о существовании в ферромагнетике внутреннего молекулярного поля . Согласно Вейссу, это поле, подобно внешнему магнитному полю в парамагнетике, создает в кристалле ферромагнетика параллельную ориентацию магнитных моментов атомов при . Предполагается, что поле пропорционально намагниченно­сти, т. е.

. (1.17)

Величина получила название постоянной молекулярного поля.

Таким образом, полное поле, действующее на атом в фер­ромагнетике:

. (1.18)

Найти магнитную восприимчивость теперь не сложно. Нужно рассмотреть поведение магнитных моментов атомов в магнитном поле . Для слабых полей и не очень низких температур получим приближенно:

, (1.19)

где . Отсюда

(1.20)

или

. (1.21)

Здесь, как и ранее, а параметр , имеющий размерность температуры, называ­ется температурой Кюри. Выражение (1.21) представляет со­бой закон Кюри—Вейсса.

Проанализируем, что произойдет, если в формуле (1.21) положить . Казалось бы, что магнитная восприимчивость становится бесконечной (при ), а затем отрицательной. Для ответа на вопрос, что фактически происходит в этом слу­чае, необходимо решить уравнение

. (1.22)

 

Здесь предположено, что магнитный момент атома обусловлен только спином электрона.

Пусть . Для уравнение (1.22) имеет решение . Та­ким образом, при ферромагнетик ведет себя как обычный парамагнетик. При появляется еще одно решение . Этот второй корень уравне­ния (1.22) можно найти графически (рис. 1.5). Результирующий магнитный момент единичного объема, т. е. намаг­ниченность, стремится при К к значению

. (1.23)

Рис. 1.5. Зависимость самопроизвольной на­магниченности ферромаг­нетика от температуры

 

Это означает, что все спины ориентированы параллельно, т. е. имеет место ферромагнитное упорядочение (в отсутствие внешнего магнитного поля). С повышением температуры само­произвольная намагниченность уменьшается, а затем исчезает при температуре Кюри. Такое поведение хорошо согласуется с опытом. Введение Вейссом внутреннего молекулярного поля позволило объяснить многие свойства ферромагнетиков. Одна­ко природа самого поля долгое время оставалась неизвестной. Предположение о том, что силы, ориентирующие спиновые магнитные моменты в ферромагнетике, имеют чисто магнитное происхождение, было экспериментально опровергнуто в 1927 г. Я. Г. Дорфманом.

1.6. ОПЫТ ДОРФМАНА

Если поле Вейсса действительно имеет магнитную природу, то оно должно быть очень большим. Энергия взаимодействия этого поля с магнитным моментом атома примерно равна сред­ней тепловой энергии, приходящейся на один атом в точке Кю­ри (поскольку при магнитный порядок разрушается). Для многих ферромагнетиков температура Кюри составляет не­сколько сотен или даже превышает тысячи кельвин. Таким об­разом,

.

Поскольку ,

.

Я. Г. Дорфман предпринял попытку измерить . Схема опыта Дорфмана представлена в двух проекциях на рис. 1.6. От источника 1 узкий пучок электронов пропускали через тонкую ( мкм) фольгу никеля 2, помещенную между полюсами элект­ромагнита 4. На фото­пластинке 3 регистриро­вали след пучка. При постановке опыта пред­полагалось, что если фольга намагничена до насыщения параллельно ее поверхности, то молекулярное поле ориен­тировано во всем образце параллельно внешнему полю , т. е. перпендикулярно скорости электронов в пучке (рис. 1.6, а). Если это внутреннее поле , имеет магнитную природу, то пучок электронов при прохожде­нии через фольгу должен отклоняться под действием суммарного поля . Это должно привести к смещению следа электронов на фотоснимке. При выбранных Дорфманом усло­виях опыта ожидалось получить смещение мм (рис. 1.6, б). Однако оказалось, что отклонение пучка электронов зна­чительно меньше ( мм). Это отклонение соответствовало воздействию поля Тл, т. е. значению магнитной индукции в образце. Отсюда был сделан вывод о немагнитной природе молекулярного поля Вейсса. Выполненные впоследствии опыты по отклонению электронов и мезонов в образцах железа и же­лезо-кобальтового сплава полностью подтвердили результат, полученный Дорфманом.

Рис. 1.6. Схема опыта Дорфмана: 1 — источник электронов, 2 — тонкая фольга никеля, 3 — фотопластинка, 4 — полюса электромагнита

 

Таким образом, оставалось предположить, что поле имеет электрическую природу. Однако в рамках классической теории объяснить такое, казалось бы, чисто магнитное явление, как ферроманетизм, какими-либо электрическими взаимодействия­ми не удалось. Только квантовая механика смогла решить эту задачу.

 

1.7. ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И ЕГО РОЛЬ В ВОЗНИКНОВЕНИИ ФЕРРОМАГНЕТИЗМА

Гиромагнитные опыты Эйнштейна-де Гааза и Барнетта по­казали, что в ферромагнетиках самопроизвольная намагничен­ность обусловлена спиновым магнетизмом электронов, а из опыта Дорфмана следовало, что взаимодействие между элект­ронами соседних атомов с недостроенными оболочками, приводящее к ферромагнетизму, имеет немагнитную природу.

В 1928 г. Френкель и чуть позже Гейзенберг установили, что ферромагнетизм — это особое свойство системы электро­статически взаимодействующих электронов. При обсуждении парамагнетизма электронного газа мы уже видели, что его энергия самым тесным образом связана с намагниченностью. Это является следствием принципа Паули. Минимум энергии свободного электронного газа наблюдается в том случае, когда спины электронов полностью скомпенсированы.

Френкель и Гейзенберг показали, что при наличии сильного электростатического взаимодействия между электронами энер­гетически выгодным может оказаться состояние с параллель­ной ориентацией спинов, т. е. намагниченное состояние. Де­тальные квантово-механические расчеты электрического взаи­модействия двух электронов с учетом их спинового момента приводят к следующему выводу. Результирующая энергия взаимодействия наряду с чисто классическим кулоновским чле­ном содержит еще добавочный специфический квантовый член, зависящий от взаимной ориентации спинов. Эта добавочная энергия получила название обменной. В простейшем случае взаимодействия двух электронов ее можно представить в виде

, (1.24)

где — параметр, имеющий размерность энергии и называемый обменным интегралом; и — единичные векторы спи­нов. Если , то минимуму энергии соответствует параллельная ориентация спинов: . При минимум энергии наблюдается при антипараллельной ориентации .

Обменную энергию в случае взаимодействия большого чис­ла электронов (как это имеет место в твердом теле) можно выразить часто в виде, аналогичном (1.24):

. (1.25)

Здесь и — результирующие спины взаимодействующих атомов.

Обменный интеграл в простейшем случае двухэлектронной системы представляет собой полуразность энергий синглетного и триплетного состояний:

. (1.26)

Напомним, что синглетное состояние — это состояние с нуле­вым результирующим спином , а триплетное — со спином . При имеем и в основном триплетном состоянии спины обоих электронов параллельны. Этот случай соот­ветствует ферромагнитному упорядочению. При , наобо­рот, , т. е. спины антипараллельны. В этом случае гово­рят об антиферромагнетизме.

Для объяснения явления ферромагнетизма в квантовой тео­рии используются два основных подхода. Один из них основан на предложенной Френкелем модели коллективизированных электронов, подчиняющихся статистике Ферми—Дирака. Эта модель учитывает обменное взаимодействие. В теории показа­но, что при некоторой плотности электронного газа возможно появление самопроизвольного намагниченного состояния вне зависимости от того, что кинетическая энергия электронов при этом увеличивается. Напомним еще раз, что увеличение кине­тической энергии связано с тем, что, в силу принципа Паули, электроны с параллельной ориентацией спина не могут зани­мать один энергетический уровень. Поэтому при перевороте спина электрон вынужден занять состояние с большей энерги­ей. В настоящее время, однако, существует мнение, что газ электронов проводимости, по-видимому, не является ферромаг­нитным ни при каких условиях. Строгое доказательство этого пока отсутствует. В то же время ни в одном эксперименте не было обнаружено ферромагнетизма металлов, не содержащих атомов или ионов с недостроенными - или -оболочками. По­явление ферромагнетизма в системе - или -электронов связа­но с аномально высокой (по сравнению с -электронами) плот­ностью состояний в - и -зонах.

Во втором подходе, разработанном Гейзенбергом, предпо­лагается, что магнитные моменты, образующие упорядоченную ферромагнитную (или антиферромагнитную) структуру, лока­лизованы около узлов кристаллической решетки. В этой модели ферромагнетизм связан с упорядочением магнитных моментов соседних ионов с недостроенными - или -оболочками. Обмен­ное взаимодействие электронов соседних ионов получило на­звание прямого обмена. Оно связано с перекрытием распреде­лений заряда различных «магнитных» ионов (т. е. ионов с не­достроенными - или -оболочками). Однако во многих сплавах и химических соединениях «магнитные» ионы отделены друг от друга немагнитным ионом (т. е. ионом, у которого все элект­ронные оболочки заполнены полностью). В этом случае обмен­ное взаимодействие между «магнитными» ионами может осу­ществляться через электроны общего для них немагнитного иона. Такой вид обмена получил название сверхобмена.

С. П. Шубин и С. В. Вонсовский установили, что кроме прямого обмена и сверхобмена к ферромагнетизму может при­вести косвенный обмен локализованных электронов через элект­роны проводимости. Косвенный обмен наиболее характерен для редкоземельных металлов и сплавов. Различные виды об­менного взаимодействия схематически показаны на рис. 1.7.

Значение и знак обменного интеграла зависят от расстоя­ния между атомами. Это хорошо видно из выражения для , полученного при решении задачи о взаимодействии двух атомов в молекуле водорода:

. (1.27)

Здесь —волновая функция электрона в поле ядра ато­ма ; — волновая функция электрона в поле ядра атома и т. п.; — расстояние между электронами в молекуле; и — расстояния от ядра атома до электрона и от яд­ра атома до электрона , соответственно (рис. 1.8). По­скольку в выражение для входят как положительные, так и отрицательные члены, знак обменного интеграла может быть как положительным, так и отрицательным (в зависимости от межатомного расстояния).

На рис. 1.9 показана зависимость обменного интеграла от отношения межатомного расстояния к радиусу недо­строенной электронной оболочки. Из рисунка следует, что из переходных металлов группы железа ферромагнетизм может существовать лишь в железе (в -модификации), кобальте и никеле, ,Mn и другие элементы этой группы не должны обладать ферромагнетизмом.

 

Рис. 1.7. Схематическое изображение прямого об­мена (а), сверхобмена (б), косвенного обме­на (в)

 

Это подтверждается и опытом. В то же время имеется и ряд сплавов марганца, а также химиче­ских соединений, например MnSb, MnBi и др., которые проявляют фер­ромагнитные свойства. В этих вещест­вах атомы Mn находятся на больших расстояниях друг от друга, чем в кри­сталле чистого марганца, и поэтому обменный интеграл становится поло­жительным.

 

Рис. 1.8. Схематиче­ское изображение моле­кулы водорода

 

 

Вычисление обменной энергии для системы, содержащей атомов, пред­ставляет собой достаточно сложную задачу.

 

Рис. 1.9. Зависимость обменного интеграла от отношения межатом­ного расстояния к ра­диусу недостроенной внутренней оболочки

 

В первом приближении пред­полагают, что обменный интеграл от­личен от нуля только для атомов и — ближайших соседей в кристалли­ческой решетке, а для более далеких атомов . Обозначим (здесь и — соседние узлы). Вы­числение среднего значения обменной энергии в соответствии с (1.25) приводит к следующему результату:

, (1.28)

 

 

где — координационное число, относительная намагниченность. Из (1.28) следует, что минимуму энергии отвечает состояние , т. е. состояние с намагниченностью насыщения.

Итак, условиями, благоприятными для возникновения фер­ромагнетизма, являются:

1) наличие локализованных магнитных моментов, например, в атомах с недостроенными - или -оболочками;

2) обменный интеграл должен быть положительным;

3) плотность состояний в - или -зонах должна быть вели­ка, для того чтобы возрастание кинетической энергии, связан­ное с заполнением электронами более высоких свободных уров­ней (принцип Паули!), не превысило уменьшения энергии за счет обменного взаимодействия.

Отметим, что локализованные магнитные моменты могут быть связаны не только с «магнитными» атомами. Так, А. Ф. Хохлов и П. В. Павлов наблюдали возникновение фер­ромагнитного упорядочения в аморфном кремнии. Здесь нет атомов с недостроенными внутренними оболочками, однако имеются оборванные ковалентные связи. На каждой такой связи локализован неспаренный электрон. В обычных условиях концентрация оборванных связей в аморфном кремнии неве­лика (~10¹⁸ - 10¹⁹ см^-3), поэтому взаимодействия между лока­лизованными на связях магнитными моментами нет. Такое вещество представляет собой парамагнетик. Однако при высокой плотности оборванных связей, которую можно создать, облучая аморфный кремний ускоренными ионами инертных газов, возникает обменное взаимодействие, приводящее к ферромаг­нетизму.

1.8. СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ

Строго параллельная ориентация спинов в ферромагнетике наблюдается лишь при К. Такое расположение спинов соот­ветствует минимуму энергии. Результирующая намагничен­ность при этом равна намагниченности насыщения . С повы­шением температуры ферромагнетика его энергия возрастает за счет появления «перевернутых» спинов. В отличие от ос­новного состояния (при К) состояние с «перевернутым» спином является возбужденным. Если соседние спины связаны взаимодействием вида (1.25), то поворот в обратную сторону одного спина требует затрат дополнительной энергии . Другими словами, из-за обменного взаимодействия состояние с перевернутым магнитным моментом в одном из узлов решетки является энергетически невыгодным. Соседние спины стремятся возвратить «перевернутый» спин в исходное положение. Обменное взаимодействие приводит при этом к то­му, что соседний спин переворачивается сам. По кристаллу пробегает волна переворотов спинов. Существование таких волн было установлено в 1930 г. Ф. Блохом. Сами волны получили название спиновых.

Рис. 1.10. Спиновая волна:

 

а — вид це­почки спинов сбоку,

б — вид сверху

 

Возбуждения значительно меньшей энергии образуются в том случае, когда все спины повертываются лишь частично. Такая спиновая волна схематически изображена на рис. 1.10. Из рисунка видно, что спиновые волны представляют собой ко­лебания относительной ориентации спинов в кристалле. Они сходны с упругими волнами в кристалле (фононами). Спино­вые волны также квантованы. Квант энергии спиновой волны получил название магнон. При повышении температуры число магнонов возрастает, а результирующий магнитный момент ферромагнетика соответственно уменьшается. При малой плот­ности магнонов взаимодействие их друг с другом можно не учитывать и, следовательно, магноны можно считать идеаль­ным газом. Газ магнонов, так же как и газ фононов, подчиня­ется статистике Бозе—Эйнштейна. Если известны статистиче­ские свойства магнонов, то можно найти зависимость числа возбуждаемых магнонов от температуры. Оказалось, что число магнонов растет с температурой пропорционально T^3/2. Соот­ветственно пропорционально T^3/2 убывает намагниченность фер­ромагнетика:

(1.29)

при . Здесь — намагниченность насыщения; — ко­эффициент.

Соотношение (1.29) называют законом T^3/2 Блоха. Измере­ния температурных зависимостей намагниченности ферромаг­нетиков подтверждают справедливость (1.29).

Магноны, как и другие квазичастицы, вносят вклад в теп­лоемкость, в рассеяние электронов и т. п.

Подробное изложение теории спиновых волн приводится в кн.: Вонсовский С. В. Магнетизм. М., 1971.

 

1.9. АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ И ФЕРРИМАГНЕТИЗМ

Кроме ферромагнетиков существует большая группа магнитоупорядоченных веществ, в которых спиновые магнитные мо­менты атомов с недостроенными оболочками ориентированы антипараллельно. Антипараллельная ориентация спиновых маг­нитных моментов, как мы видели, возникает при отрицатель­ном обменном взаимодействии . Так же, как и в ферро­магнетиках, магнитное упорядочение имеет место здесь в ин­тервале температур от К до некоторой критической , на­зываемой температурой Нееля. Если при антипараллельной ориентации локализованных магнитных моментов результирую­щая намагниченность кристалла равна нулю, то имеет место антиферромагнетизм. Если при этом полной компенсации маг­нитного момента нет, то говорят о ферримагнетиэме. Различ­ные типы магнитного упорядочения иллюстрируются рис. 1.11. Наиболее типичными ферримагнетиками являются ферриты — двойные окислы металлов состава , где — двух­валентный металл (Mg²⁺ Zn²⁺, Cu²⁺, Ni²⁺, F²⁺, Mn^z+).

 

 

Рис. 1.11. Упорядочение спино­вых моментов:

а — ферромаг­нитное,

б — антиферромагнитное,

в — ферримагнитное

 

Рис. 1.12. Схематическое располо­жение спиновых магнитных момен­тов в магнетите FeO∙Fe₂O₃

 

Ферриты имеют кубическую структуру типа шпинели MgAl₂O₄. В элементарной ячейке содержатся 8 формульных единиц, т. е. 32 атома кислорода, 8 атомов двухвалентного ме­талла М и 16 атомов трехвалентного железа. Атомы кислорода образуют плотную упаковку. Рассмотрим, например, железный феррит, или магнетит (FeO∙Fe₂O₃). Восемь октаэдрических пус­тот в элементарной ячейке магнетита заняты трехвалентнымиионами Fe³⁺, а в 16 тетраэдрических пустотах располагаются восемь Fe²⁺ и восемь Fe³⁺. Магнитные моменты трехвалентных ионов, расположенных в октаэдрических и тетраэдрических пустотах, попарно антипараллельны друг другу, так что наблю­даемый магнитный момент обусловлен лишь ионами Fe²⁺ (рис. 1.12).

Большинство ферримагнетиков относятся к ионным крис­таллам и поэтому обладают низкой электропроводностью. В сочетании с хорошими магнитными свойствами (высокая маг­нитная проницаемость, большая намагниченность насыщения и т. д.) — это важное преимущество по сравнению с обычными ферромагнетиками. Именно это качество позволило использо­вать ферриты в технике сверхвысоких частот, где они произве­ли целый переворот. Обычные ферромагнитные материалы, об­ладающие высокой проводимостью, здесь применяться не мо­гут из-за очень высоких потерь на образование вихревых то­ков.

Вещества, в которых имеет место скомпенсированный ферримагнетизм, представляют собой антиферромагнетики. На рис. 1.13 в качестве примера показано упорядоченное распо­ложение спинов ионов Mn²⁺ в наиболее характерном антифер­ромагнетике MnO. Магнитная структура окиси марганца была определена методом дифракции нейтронов. При низких тем­пературах () наблюдается антипараллельная ориентация спиновых магнитных моментов в соседних плоскостях (111).

С повышением температуры намагниченность каждой из подрешеток антиферромагнетика уменьшается так, что при всех температурах имеет место взаимная компенсация магнитных моментов подрешеток. В точке Нееля намагниченность каждой подрешетки становится равной нулю и антиферромагнетик пе­реходит в парамагнитное состояние.

 

Рис. 1.13. Магнитная структура антиферромагнетика MnO. Показаны только ионы Mn²⁺. Ионы кислорода О²— здесь не изображены

 

Зависимость магнитной восприимчивости антиферромагне­тика от температуры имеет вид, изображенный на рис. 1.14. При восприимчивость описывается законом Кюри—Вейсса: