В пункте 1.2 отмечалось, что плотность изделия в данной лабораторной работе измеряется косвенным способом, в основе которого лежат измерения массы и объёма изделия и формула (1.4). Следовательно, приборная погрешность плотности Dп(r) зависит от приборных погрешностей массы Dп(m) и объёма Dп(V). Универсальная формула, связывающая Dп(r) с Dп(m) и Dп(V), имеет вид:
. (1.9)
Здесь и далее значок «п» для краткости опущен, а D m (r) и D V (r) – это частные погрешности плотности, которые определяются формулами
. (1.10)
Можно обойтись и без вычисления производных, если воспользоваться правилом, указанным в [5.3]: если физическая величина x связана с двумя другими величинами a и b формулами 
или 
, то относительная погрешность d(x) равна сумме относительных погрешностей d(a) и d(b). Относительной погрешностью величины x называется отношение абсолютной погрешности D(x) к результату измерения:
. (1.11)
Итак, указанное правило даёт следующую процедуру оценки относительной и абсолютной приборных погрешностей плотности:
1) 
. (1.12)
2) 
. (1.13)
3) 
. (1.14)
Масса изделия измеряется прямым способом – с помощью весов, поэтому приборная погрешность массы D(m) определяется классом точности весов.
Объём изделия V измеряется косвенно: сначала с помощью штангенциркуля измеряются размеры изделия, а затем по формуле объёма определяется значение V. Формула объёма для каждого изделия своя, и от этой формулы зависит правило оценки приборной погрешности D(V). Рассмотрим
| d |
| H |
| D |
| Рис. 1.1. Чертёж изделия |
пример: изделие – это шайба, показанная на рисунке 1.1.
Объём шайбы – это разность объёмов двух цилиндров. Первый цилиндр имеет высоту H и диаметр D, второй (отверстие) имеет ту же высоту H, но меньший диаметр d. Поэтому формула объёма следующая:
. (1.15)
Для оценки приборной погрешности объёма D(V) целесообразно использовать общую формулу:
. (1.16)
Здесь 
– частные погрешности, равные
, (1.17)
, (1.18)
. (1.19)
Приборные погрешности размеров изделия D(Н), D(D) и D(d) – это погрешности прямых измерений. Все эти измерения делаются одним и тем же прибором – штангенциркулем. На нём указан класс точности 0,1 mm. Это означает, что абсолютная приборная погрешность любого измерения, сделанного этим штангенциркулем, равна 0,1 мм. Таким образом, 
.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
2.1.Получите у лаборанта изделие и штангенциркуль.
2.2. Сделайте чертёж изделия и проставьте на нём размеры – буквами, не числами. Пример показан на рисунке 1.1.
2.3. Выведите формулу объёма изделия и запишите её в свою рабочую тетрадь.
2.4. Взвесьте изделие и запишите результат измерения в таблицу 1.1.
2.5. Измерьте штангенциркулем все размеры изделия, результаты запишите в таблицу 2.1. Обратите внимание: таблица 2.1 составлена для изделия, показанного на рисунке 1.1. Для вашего изделия таблицу, возможно, придётся изменить.
2.6. Проделайте пункт 2.5 ещё 4 раза.
2.7. Вычислите для каждого из пяти замеров значения объёма и плотности, используя формулу объёма и формулу (1.4). Результаты запишите в таблицу 2.1.
Таблица 2.1. Измерения плотности изделия
| № | H | D | d | Объём изделия V | Масса изделия m | Плотность изделия r |
| мм | мм | мм | см3 | г | кг/м3 | |
2.8. Рассчитайте стандартное отклонение s(r). Для этого воспользуйтесь таблицей 2.2.
Таблица 2.2. Расчёт стандартного отклонения плотности
| № | r | 
| 
| s(r) |
| кг/м3 | кг/м3 | (кг/м3)2 | кг/м3 | |
| Средние |
· Во второй столбец таблицы надо переписать пять значений плотности изделия из последнего столбца таблицы 2.1.
· Вычислить по формуле (1.8) среднее арифметическое значение плотности 
и записать внизу столбца (в строке «Средние»). Обратите внимание: именно это число и является окончательным результатом измерения плотности изделия. Пять значений r, взятые из таблицы 2.1, – это частные результаты.
· Записать в третьем столбце отклонения Dr каждого из значений плотности от среднего значения . Одни из отклонений получатся положительными, другие – отрицательными.
· Вычислить среднее арифметическое значение отклонений 
и записать внизу столбца (в строке «Средние»). Должно получиться число, которое много меньше, чем (может быть, даже нуль). Это будет признаком правильности вычислений.
· Записать в четвёртом столбце квадраты отклонений , возводя в квадрат каждое из чисел Dr предыдущего столбца.
· По формуле (1.7) определить дисперсию D (r). Обратите внимание: дисперсия вычисляется почти так же, как и среднее арифметическое: надо сложить все числа , а потом поделить – но не на количество чисел n, а на (n – 1). В данном случае надо делить на 4. Полученное значение дисперсии записать внизу четвёртого столбца (в строке «Средние»).
· По формуле (1.7) определить стандартное отклонение s(r). Это значит просто извлечь квадратный корень из дисперсии. Результат записать в последнем (пятом) столбце.
2.9. Оцените случайную погрешность измерения плотности Dс(r). Для этого воспользуйтесь таблицей 2.3.
· Перенесите из таблицы 2.2 значение стандартного отклонения s(r).
· Выберите значение доверительной вероятности p. Рекомендуемое значение: p = 0,9.
· По таблице 1.1. определите значение коэффициента Стъюдента.
· По формуле (1.6) определите Dс(r).
Таблица 2.3. Оценка случайной погрешности плотности
| Название | Обозначение и размерность | Значение |
| Стандартное отклонение | s(r), кг/м3 | |
| Доверительная вероятность | p | |
| Коэффициент Стъюдента | t | |
| Случайная погрешность | Dс(r), кг/м3 |
2.10. Оцените приборную погрешность объёма s(V).
· Сначала выведите формулы для расчёта частных погрешностей, исходя из выведенной вами формулы объёма. Пример приведён в пункте 1.4.
· Заполните таблицу 2.4.
Обратите внимание: эта таблица зависит от формы изделия. Приведённая в данном пособии таблица составлена для изделия, чертёж которого показан на рисунке 1.1.
Значения размеров изделия в третьем столбце таблицы возьмите из таблицы 2.1. Можно взять результаты любого из пяти опытов, но лучше выбрать тот опыт, в котором значение плотности r оказалось ближе всего к среднему значению .
Таблица 2.4. Оценка приборной погрешности измерения объёма изделия
| Размеры изделия | Приборная погрешность | Частная и полная погрешности | ||
| Обозначение и размерность | Значение | Формула | Значение | |
| H, см | 0,1 мм | 
| ||
| D, см | 0,1 мм | 
| ||
| d, см | 0,1 мм | 
| ||
| V, см3 |
|
2.11. Оцените приборную погрешность плотности изделия s(r), применяя формулы (1.12) – (1.13). Для этого удобно воспользоваться таблицей 2.5.
Таблица 2.5. Оценка приборной погрешности измерения плотности изделия
| Параметр изделия | Относительная приборная погрешность d | Абсолютная приборная погрешность D | |
| Обозначение и размерность | Значение | ||
| m, г | |||
| V, см3 | |||
| r, кг/м3 |
· Сначала заполните второй столбец таблицы. Значения возьмите из таблицы 2.1. Можно взять результаты любого из пяти опытов, но лучше выбрать тот опыт, в котором значение плотности r оказалось ближе всего к среднему значению .
· Абсолютную приборную погрешность объёма D(V) возьмите из таблицы 2.4.
· Абсолютная приборная погрешность массы D(V) – это погрешность прямого измерения, которая определяется классом точности прибора (в данном случае – весов). Класс точности весов …, применяемых в учебной лаборатории, равен …
· По формулам (1.12) и (1.13) оцените относительные погрешности.
· По формуле (1.14) оцените абсолютную приборную погрешность плотности Dп(r).
2.12. Оцените полную абсолютную погрешность измерения плотности D(r), сложив случайную и приборную погрешности Dс(r) и Dп(r) – см. формулу (1.5).
2.13. Оцените относительную погрешность измерения плотности d(r).
2.14. Запишите результат измерения плотности изделия в виде:
.
2.15. Сформулируйте выводы.
Как отмечалось выше, данная лабораторная работа относится к классу измерительных работ. В этом случае в выводах надо, во-первых, сравнить результат измерения с информацией, которую можно найти в справочниках, во-вторых, дать оценку использованному в работе методу измерений.
По величине относительной погрешности δ методы измерений делятся на следующие классы:
· грубый метод, если δ > 10%,
· метод средней точности, если 1% < δ < 10%,
· метод высокой точности, если δ < 1%.
В-третьих, надо сравнить приборную и случайную погрешности. Дело в том, что случайную погрешность Dс можно уменьшить, увеличив объём серии измерений n. Однако если
, то увеличивать объём серии с целью уменьшения 
нецелесообразно, так как на полную погрешность 
это не повлияет. Считается, что объём серии n оптимален, если выполнено условие 
. Таким образом, сравнение приборной и случайной погрешностей нужно для того, чтобы сделать заключение о выбранном объёме серии измерений n.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
4.1. Какова цель данной работы?
4.2. Что называется плотностью вещества?
4.3. Плотность – это локальная или глобальная физическая величина?
4.4. Что означает термин «однородный объект»?
4.5. Чем отличается прямое измерение от косвенного?
4.6. Какие физические величины в данной работе измеряются прямым способом?
4.7. От чего зависит случайная погрешность?
4.8. От чего зависит приборная погрешность?
4.9. Что такое стандартное отклонение?
4.10. Что такое надёжность измерений (доверительная вероятность)?
4.11. Что такое относительная погрешность?
4.12. Что такое частные погрешности?
4.13. Какой класс точности штангенциркуля, применяемого в данной работе?
4.14. Как и с какой погрешностью измеряется в данной работе масса изделия?
4.15. Что означает термин «метод измерения средней точности»?
4.16. Каков объём серии измерений в данной работе? Достаточен ли он?
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
5.1. Кондрашов А.П., Шестопалов Е.В. Основы физического эксперимента и математическая обработка результатов измерений. – М.: Атомиздат, 1977.
5.2. Кассандров О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений. – М.: Наука, 1970.
5.3. Рипп А.Г. Обработка измерений. Методическое пособие. – СНУЯЭП, кафедра ПФНФ, 2011.
5.4. Бессонов А.А. Введение в лабораторный практикум по физике. – Сайт Челябинского государственного университета. http://teachmen.ru/methods/phys_prac1.html.
[1] Число измерений в серии n называется объёмом серии.
