E = s /e eо. (1.61)
Следовательно разность потенциалов φ1 - φ 2 между пластинами pавна
φ1 - φ 2 = Ed = qd /eeоS. (1.62)
После подстановки выpажения (1.62) в фоpмулу (1.59) получим выражение для опpеделения ёмкости плоского конденсатоpа
С = eeоS/d. (1.63)
Ёмкость сфеpического конденсатоpа опpеделяют по фоpмуле
C = 4peeо Rr/(R-r), (1.64)
где r и R – pадиусы внутpенней и внешней обкладок конденсатоpа.
Ёмкость цилиндpического конденсатоpа с pадиусами r и R внутpенней и наpужной обкладок записывают в виде
C = 2peeо l /ln(R/ r), (1.65)
где l – длина обкладок конденсатоpа.
Емкость системы конденсаторов при параллельном их соединении
n
С = С1 + С2 + С3 +....+ Сn, = Σ Сi, (1.66)
i = 1
при последовательном соединении
n
1/С = 1/С1 + 1/С2 + 1/С3 +... + 1/Сn = Σ(1/Сi). (1.67)
i = 1
Энеpгия и плотность энеpгии
Электpического поля
Энеpгия уединенного заpяжённого пpоводника выpажается следующими фоpмулами:
W = Cj2 /2 = qj/2 = q2/2C. (1.68)
Энеpгия заpяженного конденсатоpа
W = q(j2 - j1) /2 = q∆j/2,
или, с учётом взаимосвязи между q, C, ∆j
W = q∆j/2 = q2 /2C = C∆j2 /2. (1.69)
Энеpгию заpяженного плоского конденсатоpа, выpаженную чеpез хаpактеристики электpического поля, записывают в виде
W = C∆j2 /2 = ee0S∆j2/2d = ee0 S(∆j/d)2d /2.
Учитывая, что ∆j /d = E, E = s /ee0 получим
W = ee0E2 V/2 = s2V/2ee0, (1.70)
где d - расстояние между пластинами конденсатора; S - площадь одной пластины; V = S d – объём, занимаемый полем между пластинами конденсатоpа; s - поверхностная плотность зарядов на пластинах; e - диэлектрическая постоянная среды, заполняющей пространство между обкладками (пластинами).
Объемная плотность энеpгии электрического поля в сpеде с диэлектpической пpоницаемостью e
w = W/V = ee0E2/2. (1.71)
Зная плотность энеpгии поля в каждой точке, можно найти энеpгию поля в объёме V:
W = ò w dV = ò (ee0E2/2)dV. (1.72)
Пример. Диэлектрик плоского конденсатора состоит из слоя стекла толщиной d1 = 2 мм и слоя эбонита толщиной d2 = 1,5 мм. Площадь каждой пластины конденсатора S = 200 мм2. Конденсатор заряжен до разности потенциалов ∆φ = 800 В. Определить емкость конденсатора, падение потенциала в каждом слое и объемную плотность энергии электрического поля конденсатора.
Решение. Данный конденсатор можно представить в виде двух последовательно соединенных конденсаторов с емкостями С1 и С2:
C1 = e1eоS/d1, C2 = e2eоS/d2,
где e1 и e2 - диэлектрические проницаемости стекла и эбонита.
Из таблиц находим e1 = 6, e2 = 2,6.
Искомую емкость конденсатора С можно определить по формуле (1.67):
C1 C2 e1eоS/d1 e2eоS/d2 e1e2eоS
С = ----------- = ----------------------- = ------------------- =
C1 + C1 e1eоS/d1 + e2eоS/d2 e1d2 + d1e2
6 ∙2,6∙ 8,85 ∙10-12∙ 2∙ 10-4
= ---------------------------------- = 2,26∙10-12 Ф = 2,26 пФ.
6 ∙1,5∙ 10-3 + 2,6∙ 2∙ 10-3
При последовательном соединении конденсаторов заряд q и разность потенциалов ∆φ на внешних обкладках конденсатора связаны с зарядами и разностями потенциалов на обкладках гипотетических конденсаторов соотношениями: q 1 = q2 = q, ∆φ = ∆φ1+ ∆φ2, где
∆φ = q /C, ∆φ1 = q /C1, ∆φ2 = q /C2.
Используя последние соотношения, найдем
C ∆φ C ∆φ d1 2,26∙ 10-12∙800∙2∙10-3
∆φ1 = -------- = ------------ = ---------------------------- = 340 (В).
C1 e1eоS 6∙8,85 ∙10-12∙2∙10-4
Тогда
∆φ2 = ∆φ - ∆φ1 = 800 – 340 = 460 (В).
Объемную плотность энергии w электрического поля конденсатора определим по формуле (1.71):
W С ∆φ2 2,26∙ 10-12∙8002
w = ------ = -------------- = -------------------------- = 0,97 (Дж/м3).
V 2S(d1 + d2) 2∙2∙10-4(2 + 1,5) 10-3
НИЖЕ ПРИВЕДЕНЫ ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ
1. Потенциал электрического поля (обозначение, ед. измерения).
2. Линейная (поверхностная, объемная) плотность заряда (обозначение, ед. измерения).
3. Электроемкость (обозначение, ед. измерения).
4. Напряженность электрического поля (обозначение, ед. измерения).
5. Электрическая постоянная (обозначение, ед. измерения).
6. Единицы измерения градиента потенциала.
7. Воздействуя электрическим полем, можно изменить направление движения
А) протона Б) нейтрона В) электрона Г) ядра атома гелия. Указать все правильные ответы.
8. Какая физическая величина измеряется в Кл/м?
9. Два одинаковых металлических шарика с зарядами 0,5 мкКл и 700 нКл привели в соприкосновение. Каким станет заряд второго шарика? Ответ дать в нКл.
10. Изобразить с помощью линий напряженности однородные электростатические поля с напряженностями Е и 3 Е.
11. Можно ли на реальном физическим объекте поместить заряд
а) 5·10-19 Кл; б) 8·10-18 Кл; в) 1·10-19 Кл; г) 0,32 Кл?
12. Электрон движется прямолинейно. Каким образом можно изменить направление его движения?
13. Однородное электростатическое поле можно создать с помощью …….
14. Электрическое поле создается зарядами, расположенными в углах равностороннего треугольника (см.рис.). Указать направление вектора напряженности в точке А.
15. Есть два точечных заряда +q и -5 q. Положительный заряд действует на отрицательный с силой, численно равной 10 Н. С какой силой действует отрицательный заряд на положительный?
16. 
Два точечных заряда расположены так, как показано на рисунке. Векторами показать силы Кулона, действующие на каждый из зарядов.
17. Как изменится сила электростатического взаимодействия двух электрических зарядов при перемещении их из вакуума в среду с диэлектрической проницаемостью 10?
18. Во сколько раз изменится сила кулоновского взаимодействия двух точечных зарядов, если величины зарядов одновременно уменьшить в 3 раза?
19. Четыре точечных заряда (два положительных и два отрицательных) расположить по углам прямоугольника так, чтобы напряженность электростатического поля в его центре была максимальна (минимальна).
20. Каждый из 4-х одинаковых по величине и знаку зарядов, расположенных в вершинах квадрата, создает в его центре электрическое поле, напряженность которого равна 100 В/м. Какова напряженность результирующего поля в этой точке?
21. 
Указать направление вектора Е в точке А для случая, приведенного на рисунке.
22. Электростатическое поле создается двумя точечными зарядами +q и +2q. Указать направление вектора Е в точке А для случая, приведенного на рисунке.
23. Два точечных заряда -1·10-9 Кл и +9·10-9 Кл расположены на расстоянии 1 м друг от друга. Найти напряженность электрического поля этих зарядов в точке, расположенной на середине прямой, соединяющей эти заряды.
24. Два точечных заряда по 2·10-9 Кл расположены на расстоянии 1 м друг от друга. Найти напряженность электрического поля этих зарядов в точке, расположенной на середине прямой, соединяющей эти заряды.
25. 
Указать направление вектора напряженности электростатического поля в точке А для случая, приведенного на рисунке.
26. Заряженная пылинка массой 10 мг, помещенная между горизонтальными пластинами конденсатора, находится в равновесии. Действующая на нее сила Кулона равна ….
27. 
Электрическое поле создается зарядами, расположенными в углах равностороннего треугольника (см.рис.). Указать направление вектора напряженности в точке А.
28. 
Сила кулоновского взаимодействия зарядов +q и -q (рис.1) составляет 5 мкН. Какая сила действует на заряд -q в ситуации, приведенной на рис.2?
29. Альфа - частица (протон, электрон, бета- частица), внесенная в изображенное электростатическое поле Е будет двигаться в направлении ….
30. Определить направление движения заряда +q0, помещенного в центр правильного шестиугольника для случая, приведенного на рисунке. Заряды в углах шестиугольника неподвижно закреплены.
31. Два точечных заряда q1 = +5 пКл и q2 = -15 пКл (1000 альфа-частиц) находятся внутри закрытого ящика. Вычислить поток вектора напряженности электростатического поля через стенки ящика.
32. Внутри замкнутой поверхности находится заряд +q. Если добавить заряд -q/2 внутрь этой поверхности, поток вектора Е через нее
А) не изменится Б) увеличится В) уменьшится.
33. Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов (формула).
34. Определить потенциальную энергию взаимодействия двух протонов в воздухе на расстоянии 10 см друг от друга.
35. Определить потенциальную энергию трех точечных зарядов q1 = 10 мкКл, q2 = -10 мкКл и q3 = -30 мкКл, расположенных в вершинах равностороннего треугольника с длинной стороны 10 см.
36. Расстояние между неподвижным зарядом q1 = 10-7 Кл и свободным зарядом q2 = 10-9 Кл равно 10 см. Какую работу совершат силы поля, переместив заряд q2 на расстояние 1 м от заряда q1 ?
37. Альфа-частица, вылетающая при радиоактивном распаде из ядра со скоростью 1,60 . 107 м/с, движется к неподвижному ядру натрия. На какое минимальное расстояние приблизится альфа-частица к этому ядру?
38. Указать направление градиента потенциала электрического поля отрицательного точечного заряда.
39. Два точечных заряда q1 = 10 мкКл и q2 = - 10 мкКл расположены на одной прямой на расстоянии 20 см. Есть ли между ними на этой прямой точка, в которой потенциал электростатического поля равен 0?
40. Какую работу совершат силы однородного электрического поля напряженностью 10 КВ/м при перемещении протона (электрона) на расстояние 2 м?
41.
42. В вершинах квадрата со стороной 4 см расположены точечные заряды q = 4,4 нКл. Определить работу перемещения заряда q1 = 2,2 нКл из центра квадрата в середину одной из его сторон.
43. 
Какую работу нужно совершить, чтобы переместить протон в однородном электрическом поле напряженностью 10 кВ/м по указанной замкнутой траектории?
44. Пылинка массой 10-5 кг и зарядом 10-9 Кл влетела в электрическое поле в направлении силовых линий. После прохождения разности потенциалов 150 В пылинка имела скорость 20 м/с. Какова была скорость пылинки до того, как она влетела в поле?
45. Бесконечная плоскость заряжена положительно с поверхностной плотностью заряда σ = 10 мкКл/м2. Сравнить напряженности электростатического поля в точках, находящихся на расстояниях 50 и 70 см от нее.
46. 
На плоскости размером 20х30 см равномерно распределены 105 электронов. Какова поверхностная плотность заряда?
47. Верхняя бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью заряда σ = + 10 мк Кл/ м2. Как нужно зарядить нижнюю плоскость, чтобы напряженность электростатического поля в точке А равнялась нулю? Ответ аргументировать.
48. Две равномерно заряженные плоскости расположены параллельно. Найти напряженность электрического поля между ними, если поверхностная плотность заряда плоскостей составляет + 5 нКл/см2 и -3 нКл/см2 .
49. 
Две параллельные заряженные плоскости (см. рис.) создают в точке А электрическое поле напряженностью 100 В/м. Какую напряженность они создают в точке В?
50. Капелька воды массой 1 мГ, помещенная вблизи горизонтальной бесконечной равномерно заряженной плоскости, находится в состоянии равновесия. Определить величину и знак заряда капельки, если поверхностная плотность заряда плоскости составляет 5 мкКл/см2.
51. 
Бесконечная плоскость несет заряд, равномерно распределенный с поверхностной плотностью σ = 1 мкКл ∕ м2. На некотором расстоянии от плоскости расположен тонкий круг радиусом r = 10 см. Вычислить поток вектора напряженности через поверхность этого круга, если круг расположен перпендикулярно заряженной плоскости.
52. Точки 1, 2 и 3 расположены между бесконечными равномерно заряженными плоскостями. Сравнить разности потенциалов Δφ12 и Δφ13. Ответ аргументировать.
53. На рисунке изображены линии напряженности электростатического поля. Сравните потенциалы точек 1 и 2.
54. Какой вид имеют эквипотенциальные поверхности равномерно заряженной плоскости?
55. 
Показать направление градиента потенциала положительно заряженной плоскости (см. рис.).
56. Пылинку массой 1 мг и зарядом +1 нКл внесли в электростатическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости (σ = -10 нКл / м2). Указать направление движения пылинки. Какова ее скорость через 0,1 с?
57. Тонкой нити длиной 10 см заряжена с линейной плотностью 10 нКл/м. Определить заряд нити.
58. На очень тонкой нити длиной 10 см равномерно распределены 106 электронов. Определить линейную плотность заряда нити.
59. Напряженность электрического поля внутри равномерно заряженной сферы равна ….
60. Металлический шар радиусом 5 см несет заряд 1 нКл. Шар окружен слоем эбонита толщиной 3 см. Вычислить потенциал этого шара на расстоянии 2 см от его поверхности.
61. Выбрать график, характеризующий заряженную сферу и по нему определить величину заряда сферы. Здесь Е - напряженность электрического поля, создаваемого заряженным телом; r - расстояние от центра сферы.
 |
62. 
На графике приведена зависимость потенциала заряженной сферы φ от расстояния r. Определить напряженность поля в точке с координатой r = 20см.
63. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстояниях 0,5 см и 2 см от поверхности цилиндра в средней его части.
64. Две бесконечные заряженные нити (τ1 = 10 мкКл/см, τ2 = - 20 мкКл/см) пропустили через трубу длиной 10 м и диаметром 2 м параллельно образующей трубы. Чему равен поток вектора Е через поверхность этой трубы?
65. Какую работу совершат силы однородного электрического поля напряженностью 10 КВ/м при перемещении протона на расстояние 2 м?
66. Пылинка, заряженная до 10-4 Кл, прошла ускоряющую разность потенциалов 10000 В. Найти работу поля по перемещению пылинки.
67. Два иона прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов. Найти отношение их скоростей, если отношение их масс равно 1: 4, а заряды одинаковы?
68. Каков потенциал проводника с зарядом 10-6 и емкостью 0,01 мкФ?
69. Потенциал заряженного тела емкостью 10 мкФ равен 100 В. Найти заряд тела.
70. Два конденсатора 20 мкФ и 100 мкФ соединены последовательно. Привести схем такого соединения и вычислить его суммарную емкость. Определить энергию системы конденсаторов, если на нее подана разность потенциалов 100В..
71. 
Рассчитать электроемкость системы конденсаторов (см. рис), если С1 =10 пкФ, С2 = 5 пкФ, С3 = 2 пкФ.
72. Рассчитать заряд системы конденсаторов (см. рис), если С1 =10 пкФ, С2 = 5 пкФ, С3 = 2 пкФ. Разность потенциалов точек А и В равна 100 В.
73. Плоский воздушный конденсатор подключен к источнику постоянного тока. Заряд на одной обкладке 6 мкКл. Если расстояние между пластинами уменьшить в три раза заряд на обкладке конденсатора станет
1) 3 мкКл 2) 6 мкКл 3) 18 мкКл 4) 2 мкКл
74. Плоский конденсатор зарядили до разности потенциалов Δφ и отключили от источника напряжения. Как изменится энергия поля конденсатора, если увеличить в 3 раза расстояние между обкладками конденсатора?
При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле напряженность электрического поля вне диэлектрика
А) уменьшится Б) останется без изменения В) увеличится Г) нельзя ответить без дополнительных условий.
75. Металлический шарик внесли в однородное электрическое поле напряженности Е. Изобразить линии напряженности вне шара и внутри его после внесения в поле.
76. Два точечных заряда q1 = 5 мкКл и q2 = - 10 мкКл расположены на одной прямой на расстоянии 20 см. Какова величина и направление напряженности электростатического поля в точке, находящейся посередине между зарядами?
77. 
Протон поместили в точу А вблизи равномерно заряженной (+ σ) плоскости и отпустили. Показать направление движения протона.
78. Электростатическое поле создано двумя бесконечными параллельными плоскостями с поверхностными плотностями зарядов σ1 = +2 нКл /м2 и σ2 = - 4 нКл/м2. Найти напряженность поля между плоскостями.
79. Плоская тонкая квадратная пластина со стороной а = 10 см находится на некотором расстоянии от равномерно заряженной бесконечной плоскости (σ = 1 мкКл / м2). Вычислить поток вектора Е через эту пластинку, если она расположена под углом 30˚ к плоскости.
80. Плоская тонкая пластина в виде круга радиуса r = 10 см находится на некотором расстоянии от равномерно заряженной бесконечной плоскости (σ = -10 мкКл / м2). Вычислить поток вектора Е через этот круг, если он расположен под углом 30˚ к плоскости.
81. Электрон влетает в пространства между обкладками плоского конденсатора со скоростью 2·106 м/с в направлении, параллельном обкладкам конденсатора в середине зазора. При какой минимальной разности потенциалов на обкладках электрон не вылетит из конденсатора, если длина последнего 10 см, а расстояние между обкладками 1 см?
82. Металлический стержень длиной 20 см и радиусом 1 мм внесли во внешнее однородное электростатическое поле напряженностью 100 В/см параллельно линиям напряженности. Чему равна разность потенциалов на концах стержня? Изобразить линии напряженности электростатического поля после внесения стержня.
83. Две параллельные пластины ничтожно малой толщины заряжены одноименно, причем плотности заряда на одной пластине 3.10-6 Кл/м2, на другой 6.10-6 Кл/м2. Между пластинами вставлена парафиновая плоскопараллельная пластина толщиной 3 мм с диэлектрической проницаемостью, равной 2. Определить разность потенциалов между пластинами.
84. Бесконечная плоскость несет заряд, равномерно распределенный с поверхностной плотностью σ = 1 мкКл ∕ м2. На некотором расстоянии от плоскости расположен тонкий круг радиусом r = 10 см. Вычислить поток вектора напряженности через поверхность этого круга, если круг расположен параллельно заряженной плоскости.
85. Две параллельные плоскости находятся на расстоянии 0.6 см друг от друга. На плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями s1 = 0,2 мкКл/м2 и s2 = - 0,3 мкКл/м2. Определить разность потенциалов между пластинами.
86. Напряжение на концах проводника сопротивлением 5 Ом равномерно возрастает от 5 до 15 В за 0,5 с. Какой заряд пройдет через проводник за это время?
87. ЭДС автомобильного аккумулятора составляет 12 В. При силе тока 3 А его к.п.д. равен 0,8. Определить внутреннее сопротивление аккумулятора.
88. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными плоскостями с поверхностными плотностями зарядов σ1 = +2 нКл /м2 и σ2 = - 4 нКл/м2, расстояние между которыми 5 мм. Определить напряженность поля и разность потенциалов между плоскостями и вне их. Построить график напряженности поля для всех участков.
89. Металлическую сферу радиуса R внесли в однородное горизонтальное электростатическое поле напряженностью Е. Чему равна напряженность поля внутри сферы? Изобразить с помощью силовых линий примерный вид электростатического поля вне сферы.
90. Тонкий круг радиусом r = 20 см находится в электростатическом поле двух скрещенных под прямым углом бесконечных заряженных плоскостей, поверхностные плотности зарядов которых σ1 = 10 нКл ∕м 2 и σ2 = - 20 нКл ∕м2. Вычислить поток вектора напряженности через поверхность круга, если он установлен параллельно первой плоскости.
91. Две бесконечные плоскости, заряженные с поверхностными плотностями σ и 2σ (│σ = 10 нКл/м), находятся на расстоянии 5 см друг от друга.. Определить величину и направление вектора напряженности электростатического поля а точке А, расположенной на расстоянии 0,1 см от первой и 0,5 см от второй плоскости. Построить график зависимости Е(х), где ось х перпендикулярна поверхностям.
92. Вычислить разность потенциалов точек А и В (см. условие предыдущей задачи).
93. Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом 10 мкКл, составляет 10 КВ/м. Электрический потенциал в этой же точке поля равен…..
94. Потенциал точечного заряда 10 мкКл составляет 9 В. Напряженность электрического поля в этом месте равна…
95. Потенциал электрического поля, создаваемого бесконечной заряженной плоскость (σ = 10 мкКл/см2), составляет …...
[КВН1]
