Решение обратной геодезической задачи

Целью решения обратной геодезической задачи является вычисление длины линии и дирекционного угла линии по известным координатам её конечных точек. Т.е. при известных координатах точек А (X_A, Y_A) и В (X_B, Y_B) необходимо найти длину S_AB и направление линии АВ: осевой румб r_AB и дирекционный угол a_AB (рис. 10).

Координаты точек А (X_A, Y_A) и В (X_B, Y_B) определяют при решении предыдущей задачи (см. п.1.4.2).

Данная задача решается следующим образом.

Сначала находим приращения координат

ΔX = X_B – X_A,

ΔY = Y_B – Y_A.

Рис. 10. Обратная геодезическая задача

 

Величину осевого румба r_AB определяем из отношения

 

.

 

По знакам приращений координат определяем четверть, в которой располагается румб, и её название (см. табл.1).

 

Таблица 1

Знаки приращений координат ΔX и ΔY

Приращения координат	Четверть окружности, в которую направлена линия
I (СВ)	II (ЮВ)	III (ЮЗ)	IV (СЗ)
ΔX	+	–	–	+
ΔY	+	+	–	–

 

Используя зависимость между дирекционными углами и осевыми румбами (рис. 11), находим a_AB.

 

 

Рис. 11. Осевые румбы и дирекционные углы

 

Зависимость между дирекционными углами и румбами определяется для четвертей по следующим формулам:

I четверть (СВ) r = a,

II четверть (ЮВ) r = 180° – a,

III четверть (ЮЗ) r = a – 180°,

IV четверть (СЗ) r = 360° – a.

Расстояние S_AB определяем по формуле

 

.

 

Для контроля расстояние S_AB вычисляют дважды по формулам:

 

,

.

Пример. Координаты точек: А (5998.650 км, 2396.750 км);

В (6000.150 км, 2395.250 км).

Вычисляем осевой румб r_AB из отношения

 

,

 

.

 

По знакам приращений координат ΔX>0 и ΔY<0 определяем четверть – IV (СЗ).

Используя зависимость между дирекционными углами и осевыми румбами в IV четверти, находим дирекционный угол

 

.

 

Вычисляем расстояние S_AB

 

км.

Контроль км,

 

км.

 

Определение высот точек

Высотой точки является расстояние, отсчитываемое по направлению отвесной линии от уровенной поверхности до данной точки. Численное значение высоты точки называется отметкой.

Горизонталью называетсякривая линия, соединяющая все точки местности с равными отметками. Отметки горизонталей кратны высоте сечения рельефа. Под графиком линейного масштаба на карте подписано (см. рис. 3): сплошные горизонтали проведены через 5 метров, т.е. высота сечения рельефа h равна 5 м. При такой высоте сечения горизонтали с отметкой кратной 25 м изображаются на карте утолщёнными линиями. Если высота горизонтали кратна 5 или 10 м, её подписывают в разрыве. Подписи наносят таким образом, чтобы верх цифр указывал сторону повышения рельефа. На рис. 12 подписаны горизонтали с отметкой 75 м и 80 м.

Рис. 11. Определение отметок точек на карте с горизонталями

 

Для определения высоты неподписанной горизонтали находят ближайшую подписанную и по числу интервалов между ними с учётом направления ската определяют высоту искомой горизонтали. При этом необходимо правильно установить направление ската, т.е. в какую сторону от данной горизонтали высоты увеличиваются, а в какую – уменьшаются. Местность всегда понижается к водотокам (рекам, ручьям). Также для того, чтобы сделать чертеж более наглядным, горизонтали сопровождают небольшими черточками, которые ставятся перпендикулярно горизонталям, по направлению ската (в сторону стока воды, т.е. понижения). Эти черточки называются бергштрихи.

Там, где заложения скатов большие, наносят штриховые линии – полугоризонтали, которые отстоят по высоте от соседних горизонталей на половину высоты сечения рельефа, т.е. 0.5h.

При определении высот точек возможны три случая:

1. Точка лежит на горизонтали. В этом случае отметка точки равна отметке горизонтали (см. рис. 12): H_А = 75 м; Н_С = 55 м.

2. Точка лежит на скате между горизонталями.

На рис. 12 между горизонталями лежит точка В. Чтобы найти высоту точки, через нее проводят кратчайшее заложение, масштабной линейкой измеряют длину отрезков а и b и подставляют в выражение

 

,

 

где h– высота сечения рельефа.

Отрезок а измеряют от точки до горизонтали с меньшей высотой.

3. Точка лежит на скате между горизонталью и полугоризонталью. В этом случае через точку проводят кратчайшее расстояние между горизонталью и полугоризонталью, масштабной линейкой измеряют длину отрезков а и b и подставляют в выражение

,

 

где H_г– отметка горизонтали (полугоризонтали) с меньшей высотой.