Закон Джоуля-Ленца в интегpальной

И диффеpенциальной фоpмах

 

Пpи пpохождении электрического тока чеpез пpоводник, обладающий сопpотивлением R выделяется теплота. Если проводник неподвижен и в нем не совершаются химические реакции, то количество теплоты, выделяющееся на одноpодном участке цепи опpеделяется по фоpмуле

 

dQ = I Udt = I² R = U²/ R, (2.24)

 

где dt - вpемя пpохождения тока.

Эта фоpмула выpажает закон Джоуля-Ленца в интегpальной фоpме.

Выведем более общую фоpму закона Джоуля-Ленца, спpаведливую для любой точки пpоводника, одноpодного или неодноpодного, с пеpеменным сечением. Для этого пpедставим себе элементаpный объем пpоводника dV в виде цилиндрика (обpазующая его паpаллельна вектоpу j) с попеpечным сечением ds и длиной d l. Количество теплоты, выделяющееся в том объеме при протекании по нему тока

 

dQ = I² Rdt = I²(rd l /ds) dt = rj²dVdt. (2.25)

 

Здесь dV = ds ^. dl - объём цилиндpика.

Количество теплоты, выделяющееся в единицу объёма пpо-водящей сpеды за еденицу вpемени, называется удельной тепловой мощностью тока

 

Q_уд = dQ/dVdt. (2.26)

 

Из выражений (2.26) и (2.25) с учетом (2.16) следует

 

Q_уд = rj² = (1/g) (gE) ² = gE².

 

Формула

 

Q_уд = gE² (2.27)

 

является обобщенным выражением закона Джоуля- Ленца в дифференциальной форме, пригодном для любого проводника.

 

Правила Кирхгофа

В основе расчета сложных электрических цепей постоянного тока лежат правила Кирхгофа.

Первое правило, которому подчиняются стационарные токи, можно записать в виде _n

S I_i = 0. (2.28)

^{i = 1}

В каждом узле разветвленной цепи сумма входящих токов равна сумме выходящих, т.е. алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. Это правило выражает закон сохранения заряда. В противном случае в узлах накапливались бы электрические заряды.

I₁ I₂

I₃ Узел I₁

Узел

I₃ I₄

I₂

а б

Рис. 2.3

Узлом разветвленной цепи назовем точку, в которой сходятся не менее трех проводников (рис. 2.3,а). Токи, направленные к узлу, будем называть входящими. Токи противоположной направленности - выходящими. Для узла, изображенного на рис. 2.3,б первое правило выразится соотношением

 

I₁ + I₃ - I₂ - I₄ = 0. (2.29)

 

Контур - любая замкнутая часть цепи. Например, на рис.2.4 участок e₁Вe₂СR₂R₁e₁ представляет собой контур. Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома и относится к любому контуру разветвленной электрической цепи.

Алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления, включая и внутренние, вдоль замкнутого контура равна сумме электродвижущих сил, включенных в этот контур:

_{n n n}

S I_iR_i + S I_i r_i = S e_i . (2.30)

^{i = 1 i = 1 i = 1}

I₁ e₁ ^{- +} e₃^{+ -}

r₁ В r₃ I₃

R₁ e₂ r₂

I₂

R₂ С R₃

Рис. 2.4

 

При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа руководствуйтесь следующими правилами.

1. Выберите направление обхода контура либо по часовой, либо против часовой стрелки.

2. Произвольно выберите и обозначьте на схеме электрической цепи направление токов.

3. Если направление обхода контура совпадает с направлением тока, произведение I_iR_i берем со знаком " + ". В противном случае - со знаком " - ".

4. Если при обходе контура внутри источника ток идет от отрицательного полюса к положительному, перед e_i ставится знак "+", а если наоборот - знак " -".

Имейте ввиду, что уравнения по первому и второму правилу Кирхгофа составляют не длявсех узлов схемы и не длявсех контуров, и что число неизвестных токов не всегда равно числу сопротивлений. Для правильного обозначения сил токов в цепи подсчитайте число ветвей р. Ветвью называется любой участок цепи, соединяющий два соседних узла. Число токов должно быть равно числу ветвей. В каждой ветви течет только один ток, независимо от числа сопротивлений в ней, например, в схеме на рис. 2.4 в ветви Be₁R₁R₂С два сопротивления R₁ и R₂, но ток в ней течет один, I₁.

Обозначим число узлов в схеме m. Число уравнений по первому правилу Кирхгофа должно быть на единицу меньше, т. е. (m - 1), а по второму разность - между числом ветвей p и числом уравнений по первому правилу - (p - m + 1). В общей сложности число уравнений, составленных по тому и другому правилу, должно быть равным p, т. е. числу неизвестных токов.

При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа нужно всякий раз выбирать контуры с новыми неизвестными токами. Тогда составляемые уравнения будут линейно независимы, а система уравнений - решаемой.

Для схемы на рис. 2.4 число узлов m = 2, число ветвей p = 3.

По первому правилу Кирхгофа надо составить одно уравнение, а по второму - два. Система уравнений для определения токов имеет вид:

 

Для точки В: I₁ - I₂ + I₃ = 0, (2.31)

 

Для контура e₁Вe₂С R₁R₂e₁:

 

I₁ (R₁ + R₂ + r₁) + I₂ r₂ = e₁ + e₂, (2.32)

 

Для контура Вe₃R₃Сe₂В

 

-I₂ r₂ - I₂(r₃ + R₃) = -e₂ -e₃. (2.33)

 

При известных сопротивлениях R₁, R₂ , R₃, r₁, r₂, r₃ совместное решение уравнения (2.31) - (2.33) позволяет определить токи, текущие во всех ветвях цепи.

Ниже приведены некоторые типовые экзаменационные задания.

ПОСТОЯННЫЙ ТОК

 

1.

I t

Через поперечное сечение проводника ежеминутно проходит 10¹⁹ электронов. Определить силу тока в проводнике.

2. На рисунке приведены графики зависимости силы тока

от времени I (t). Для которого из них можно применять формулу I = dq /d t в виде I = q / t?

3. Напряжение на концах проводника сопротивлением

5 Ом равномерно возрастает от 0 до 20 В. Какой заряд проходит через проводник за это время?

4.. Какой заряд пройдет по проводнику сопротивлением 1 кОм при равномерном нарастании напряжения на его концах от 15 до 20 В в течение 20 с?

5.

I     0 1 2 t (c)

Какое количество электричества q было перенесено через поперечное сечение проводника, если ток равномерно возрастал от нуля до 3 А в течение 20 с?

6.

7. Сила тока в проводнике меняется по закону, приведенному на графике. Определить заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за 1 мин. Сопротивление проводника 10 Ом.

 

 

8. ЭДС батареи равна 1,60 В. При замыкании ее на нагрузку сопротивлением 3 Ом напряжение на полюсах батареи становится равным 0,96 В. Найти внутреннее сопротивление батареи.

9. При разомкнутом ключе напряжение на зажимах источника тока равно 6 В, при замкнутом ключе - 4 В. Найти сопротивление цепи, если внутреннее сопротивление источника 1 Ом.

10.

U,В 1 15 2     0 1 2 I, А

На рисунке изображены графики зависимости силы тока от приложенного напряжения для трех проводников. Наибольшим (наименьшим) сопротивлением обладает проводник …..

1) 1 2)2 3) 3 4) сопротивления проводников одинаковы

R1 = 10 Ом   R2 = 20 Ом

 

11. Сопротивление участка цепи, изображенное на рисунке, равно

1) 30 Ом 2) 200 Ом 3) 0,15 Ом 4) 6,6 Ом

12. Сопротивление участка цепи, изображенное на рисунке, равно

R1 = 10 Ом R2 = 20 Ом     R2 = 20 Ом

1) 30 Ом 2) 200 Ом 3) 0,15 Ом 4) 6,6 Ом

 

 

13.

R1 = 10 Ом R2 = 3 Ом   R3 = 6 Ом

Сопротивление участка цепи, изображенное на рисунке, равно

1) 19 Ом 2) 12 Ом 3) 36 Ом 4) 6,6 Ом

14. 40. Определить полное сопротивление цепи для случаев, изображенных на рис. (а –е). R₁ = 10 Ом, R₂= 20 Ом, R₃ = 30 Ом. Сопротивлениями проводов пренебречь.

 

3R₁ R₁ R₁

 

R₁ R₂

 

R₃

2R₁

 

а б

 

R_{2 R1}

 

R₁ R₂ R₃

 

R₃ R₃

 

в г

 

Ø

R₁ Ø

R₂ Ø R₁ R₂

R₁

 

R₂

R₃ R₃

R₃

Ø

 

 

д е

 

15. По медному проводнику диаметром 1 мм течет ток силой 1 А. Определить напряженность поля внутри проводника.

16. Найти падение напряжения U и плотность тока j на медном проводе длиной l = 500 м и диаметром d = 2 мм, если ток в нем I = 2 А.

17. В результате изменения напряжения мощность электрического тока возросла втрое. Как изменился при этом импульс направленного движения свободных электронов?

 

18.

R, Ом   Т     0 T, К

Определить сопротивление двухметрового алюминиевого провода толщиной 2 мм при температуре 100 ˚С.

19. Какое явление отражено на приведенном графике зависимости сопротивления проводника R от абсолютной температуры T?

20. Сопротивление подводящих проводов равно R ₁. Их заменили на провода вдвое большего диаметра из того же материла. Во сколько раз увеличился ток?

 

21. По алюминиевому отрезку провода длиной 1 м и диаметром 2 мм течет постоянный ток силой 1 А. Определить падение напряжение на нем.

22.. Определить число электронов, проходящих в 1 с через единицу площади поперечного сечения железной проволоки длиной 10 м при напряжении на её концах 6 В.

23. Два сопротивления R₁ = 3 Ом и R₂ = 5 Ом соединены параллельно и подключены к источнику тока с ε = 10 В и r = 1 Ом. Нарисовать электрическую схему такого соединения. Найти ЭДС источника, если сила тока через первое сопротивление 0,65 А..

24.

R1 = 3 Ом     R2 = 5 Ом   ε = 10 В r = 1 Ом

Два сопротивления соединены параллельно и подключены к источнику тока (см. рис.). Сила тока через первое сопротивление 0,65 А.Найти ЭДС источника.

25. Вольтметр имеет внутреннее сопротивление 1000 Ом. Какое дополнительное сопротивление нужно к нему подключить, чтобы увеличить цену деления в 3 раза?

26.

R1 =10 Ом R2 = 20 Ом     ε = 10 В   r =1 Ом

К сети напряжением 220 В подключена нагрузка 30 Ом. Определить ток, протекающий по нагрузке, если длина подводящих алюминиевых проводов составляет 1 м при толщине 2 мм.

27. Рассчитать количество теплоты, выделяющееся на сопротивлении R₁ за время 10 с.

 

28. Вычислить количество тепла, выделяющееся за 2 с на сопротивлении 10 Ом, если по нему течет ток, изменяющийся по закону I = (1 + 2t²), A.

29. Определить площадь сечения нихромовой проволоки длиной 50 м, необходимой для наматывания реостата, рассчитанного на максимальный ток 1 А и максимальную мощность 100 Вт?

30. По сети длиной 5 км необходимо передать энергию от источника с напряжением 110 В и имеющего мощность 5 кВт. Какого минимального диаметра должен быть медный провод, чтобы потери энергии в сети не превышали 10% от мощности источника?

31. Сколько витков нихромовой проволоки диаметром d = 1 мм нужно навить на фарфоровый цилиндр радиусом r = 2,5 см, чтобы получить печь сопротивлением R = 100 Ом?

32. Два сопротивления 10 и 20 Ом соединены последовательно и включены в электрическую сеть. Какое из них нагревается сильнее и почему?

33. ЭДС источника тока равна 7 В. КПД источника 40 %. Мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении равна 4 Вт. Найти это сопротивление.

34. Электрическая цепь состоит из двух последовательно соединенных источников постоянного тока 9 В и 12 В, имеющих внутренние сопротивления 2 Ом и 5 Ом соответственно. Чему равна сила тока в цепи, если внешнее сопротивление цепи равно 50 Ом? Каков КПД элементов?

35. На электроплитку мощностью 600 Вт поставили чайник, вмещающий 1,5 л воды. Через какое время чайник закипит? Температура окружающей среды 20°С, КПД плитки 80 %, удельная теплоемкость воды 4190 Дж/кг·К.

36. Для того, чтобы вскипятить воду на электроплитке, требуется количество теплоты, равное 66 КДж. Сколько для этого понадобится времени при мощности плитки 110 Вт?

37. Уходя на занятия, вы забыли выключить электроплиту мощностью 800 Вт, за что пришлось заплатить по счетчику 5 руб при тарифе 46 коп за кВт·час. Полагая потери электроэнергии в проводах равными 10% от затраченной, определить, сколько времени работала плита.

38. Чтобы быстрее вскипятить воду в стакане, обмотки двух одинаковых нагревателей нужно соединить

1) последовательно 2) параллельно 3) не имеет значения как

4) нельзя ответить без дополнительных условий

39. Имеется 120-вольтовая электрическая лампочка мощностью 60 Вт. Какое добавочное сопротивление R нужно подключить последовательно с лампочкой, чтобы она давала нормальный накал при напряжении в сети U ₀ = 220 В?

40. Два стержня, алюминиевый и медный) одинакового размера и формы последовательно подсоединены к источнику тока. На котором из них выделяется больше энергии и во сколько раз?

41.

Две одинаковые электрические лампочки 1 и 2 включены в электрическую сеть по схеме, приведенной на рисунке. Какая из них светит ярче?

1) 1 2) 3) лампочки светят одинаково 4) не достаточно данных для ответа

42.

I1 А I2   I3 I4

Какой длины l потребуется нихромовый проводник диаметром 0,5 мм, чтобы изготовить электрический камин, работающий от сети 220 В и дающий 1 МДж в час?

43. Точка А - узел электрической схемы. I ₁,= 5 А, I ₂ =2 А, I ₃ = 3 А. Определить ток I₄.