Вторая основная позиционная задача (пересечение двух плоскостей общего положения)

Линией пересечения двух плоскостей является прямая. Проекции прямой пересечения двух плоскостей общего положения определяют проекциями двух точек, принадлежащих одновременно обеим плоскостям.

Эту задачу можно решить двумя способами:

1 Построить точки пересечения двух прямых одной плоскости с другой плоскостью, т. е. использовать два раза схему решения первой основной позиционной задачи – нахождения точки пересечения прямой с плоскостью (рисунок 2.41).

2 Применить метод вспомогательных секущих плоскостей частного положения, построить их линии пересечения с заданными плоскостями. Две соответственные точки пересечения этих линий определят искомую линию пересечения данных плоскостей (рисунок 2.42).

 

Рисунок 2.41	Рисунок 2.42

1-й способ. Построим проекции линии пересечения (МN) плоскостей a(А,В,С) и b(D,E,F). Через прямую АВ принадлежащую плоскости a вводим вспомогательную проецирующую плоскость S(S₂) тогда m=SÇβ. Находим точку пересечения N(N₁, N₂) прямой АВ с прямой m: N₁ = А₁ В₁ Ç m₁ (рисунок 2.42).

Аналогично рассуждая, строим вторую точку линии пересечения М. Прямая MN является линией пересечения исходных плоскостей, так как точки M и N принадлежат двум заданным плоскостям.

Для наглядности чертежа определяем видимость элементов плоскости по методу конкурирующих точек.

 

Рисунок 2.43

 

2-й способ. Построим линию пересечения l двух плоскостей: ∑(A,B,C) и Θ(DE׀׀FK)(рисунок 2.43).

Для нахождения точек К и Млинии пересечения двух плоскостей ∑ и Θ пересечем заданные плоскости двумя вспомогательными горизонтальными плоскостями уровня Г (Г₂) и ∆ (∆₂). На рисунке 2.44 видно, что плоскость уровня Г (Г₂) пересечет каждую из исходных плоскостей по линиям уровня h (h₁, h₂) и h¹ (h¹_1,h¹₂), которые пересекутся в точке M(M₁,M₂).Аналогично, плоскость уровня ∆(∆₂) пересечет каждую исходную плоскость ∑ и Θ по линиям уровня h² (h²₁, h²₂) и h³ (h³₁,h³₂), которые пересекутся в точке К (К₁, К₂),точки М u К лежат в плоскостях уровня и принадлежат одновременно двум исходным плоскостям ∑ и Θ. Точки М и К определяют линию пересечения МК (М₁К₁, M₂К₂)плоскостей (l=MN). Заметим, что третья и четвертая горизонтали могут быть построены по одной точке, т.к. они соответственно параллельны h и h¹.

Алгоритмы решения задачи на пересечение двух плоскостей позволяют легко решать задачи на построение линии пересечения многогранных поверхностей.

 

 

Рисунок 2.44

 

Параллельность плоскостей. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Пусть требуется через точку D(D₁,D₂)провести плоскость, параллельную плоскости ∆(A, В, С) (рисунок 2.44).

Для этого через точку D(D₁, D₂) проводится прямая m(m_1,m₂) параллельная стороне АВ, т. е. m₂׀׀А₂В₂ и m₁׀׀A₁B₁. Аналогично строится прямая п ׀׀ВС.

 

Рисунок 2.45