Вычисление корней полинома

Функция fzero

Вычисление нулей функции в окрестности точки

--------fzero('функция',x)----------

 

fzero('функция',x) возвращает уточненное значение x, при котором достигается нуль функции, представленной строкой,при начальном значении аргумента x. (функция в нуле меняет знак)

Если такая точка не найдена то выдается NaN

(Not-a-Number не числовой характер данных)

x1=fzero('x-5',4)

x2=fzero('x-5',2)

x3=fzero('2^x-8',0)

x4=fzero('2^x-7',0)

x5=fzero('0.25*x+sin(x)-1',5)

>> x1=fzero('x-5',4)

x1 =

>> x2=fzero('x-5',2)

x2 =

>> x5=fzero('0.25*x+sin(x)-1',5)

x5 =

5.8128

Для более сложных функций: сначала построим график функции

Для приближенного определения корней и интервалов.

 

Пример 1

Найдем нули функции y=x.^3-9*x.^2+26.*x-24;

x=1.5:0.5:4.5;

y=x.^3-9*x.^2+26.*x-24;

Постройте график, проанализируйте его и при необходимости

Измените интервал для Х и шаг так, чтобы хорошо были видны корни.

plot(x,y),grid %добавим сетку

теперь уточним значение корней в окрестности точек, где функция y=x.^3-9*x.^2+26.*x-24; пересекает ось ОХ.

x1=fzero('x^3-9*x^2+26*x-24',1.8)

x2=fzero('x^3-9*x^2+26*x-24',3.1)

x3=fzero('x^3-9*x^2+26*x-24',4.3)

%Правильный ответ должен быть 2, 3, 4.

>> x=1.5:0.1:4.5;

>>

>> y=x.^3-9*x.^2+26.*x-24;

>> plot(x,y),grid

Уточним значение корней 1.8 3.1 4.3

 

 

 

>> x1=fzero('x^3-9*x^2+26*x-24',1.8)

x2=fzero('x^3-9*x^2+26*x-24',3.1)

x3=fzero('x^3-9*x^2+26*x-24',4.3)

x1 =

x2 =

3.0000

x3 =

 

--------------------------------------------

Пример 2

Найдем нули функции

Y=x.^2-5*x+6

Построим график

x=-2:0.2:5;

plot(x,x.^2-5*x+6)

Grid on;

 

x=fzero('x^2-5*x+6',1)

x=fzero('x^2-5*x+6',4)

%Правильный ответ должен быть 2, 3.

x=fzero('x^2-5*x+6',1)

x=fzero('x^2-5*x+6',4)

x =

x =

3.0000

2)Вычисление нулей функции на интервале:

%-------------fzero('функция',[x1,x2])------------

Для Примера 1

x1_1=fzero('x^3-9*x^2+26*x-24',[1.8 4.5])%возвращает только один корень т.к. fzero('функция',[x1,x2])работает только с интервалом с одной сменой знака.

x1_1=fzero('x^3-9*x^2+26*x-24',[1.8 2.3]) (x1_1 = 2.0000)

 

 

--------------------------------------------------------------------------------

Пример 3

 

Найдем нули функции Y=cos(x);

 

x=-2*pi:0.1:2*pi;

Plot(x,cos(x))

x=fzero('cos',[1 3])

или x=fzero('cos(x)',[1 3])

или х= fzero(@cos.[1 3])

нельзя написать интервал 'cos',[-5 5], т.к. на этом интервале много смен знаков - выдает ошибку.

На интервале [1 3] только одна смена знака

 

корень = 1.57

 

Пример 4

 

 

Найдем нули функции 0.25*x+sin(x)-1;

Сначала построим график функции для приближенного определения корней и интервалов

 

x=0:0.1:10;

plot(x,0.25*x+sin(x)-1)

grid on; %по графику видно, что нули функции нужно искать в интервалах %[0.5 1], [2 3], [5 6]

 

x1=fzero('0.25*x+sin(x)-1',[0.5 1])

x2=fzero('0.25*x+sin(x)-1',[2 3])

x3=fzero('0.25*x+sin(x)-1',[5 6])

x1 =

0.8905

x2 =

2.8500

x3 =

5.8128

 

 

3)Вычисление нулей функции с заданной точностью:

-------------- fzero('функция',x,eps) --------

Для Примера 4

 

x4=fzero('0.25*x+sin(x)-1',5,0.00001)

x4=fzero('0.25*x+sin(x)-1',[5 6],0.00001)

-------------------------------------------------------------

4)Вычисление нулей функции с п\п функцией

Функцию y=0.25*x+sin(x)-1 мы оформили как М-функцию fun5.m и сохранили в отдельном файле с именем fun5.m в той же директории, что и вызывающая её программа.

Под функциями понимаются как встроенные функции, например sin(x) или ехр(х),так и функции пользователя, например f(x), задаваемые как M-файлы-функции. Например, функция fe=@exp; сохранена как M-файл.

function f=fun5(x); функция; fun5 – имя функции

f=0.25*x+sin(x)-1;

x1=fzero('fun5',[0.5 1]) на интервале

 

>> x1=fzero('fun5',[0.5 1])

x1 =

0.8905

Или

для функции вместо апострофов ставим собаку @

 

x2=fzero(@fun5,[2 3]) на интервале

>> x2=fzero(@fun5,[2 3])

x2 =

2.8500

x3=fzero('fun5',6) в окрестности точки

>> x3=fzero('fun5',6)

x3 =

5.8128

 

Функция roots

 

Вычисление корней полинома

Пример 1

Найдем нули (корни) функции y=x²-5x+6

 

y=[1 -5 6]; %матрица коэффициентов полинома x²-5x+6=0

x=roots(y);

Vpa(x,2)

ans =

3.0

2.0

Пример 2

Полином x³-9*x²+26*x-24=0

 

y=[1 -9 26 -24]; %матрица коэффициентов

x=roots(y);

Vpa(x,2)

 

%ответ: 4 3 2

Пример 3

Найти корни полинома 2х⁴ - 8х³ + 8х² - 1

disp('корни полинома 2х^4 - 8х^3 + 8х^2 - 1')%печатает комм.

 

%без графика:

p=[2 -8 8 0 -1];

Roots(p)

%Ответ 2.3066; 1.5412; 0.4588; -0.3066

с графиком:

p=[2 -8 8 0 -1];p -вектор, элементы которого являются коэффициентами полинома

x=-1:0.1:3; в порядке уменьшения степеней, X может быть матрицей или вектором

y=polyval(p,x); возвращает значения полинома в точках, заданных в массиве Х

plot(x,y,'-k'),grid

roots(p)%Ответ 2.3066; 1.5412; 0.4588; -0.3066

___________________________________________________

Функция solve