Высшая математика
Перечень вопросов к промежуточной аттестации
Вопросы к промежуточной аттестации
1. Определение матрицы. Виды матриц. Транспонирование матриц. Алгебраические операции над матрицами. Свойства алгебраических операций над матрицами.
2. Определители второго, третьего порядков и матрицы n-го порядка. Присоединенная и обратная матрицы. Алгоритм вычисления обратной матрицы.
3. Три определения ранга матриц. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы.
4. Система n линейных уравнений с n переменными (общий вид). Матричная форма записи системы. Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы.
5. Теорема Крамера. Решение системы по формулам Крамера, с помощью обратной, методом Гаусса.
6. Комплексные числа, операции над комплексными числами. Тригонометрическая форма. Возведение в степень, извлечение корня для комплексных чисел.
7. Определение и примеры векторного пространства.
8. Определение линейной комбинации, линейной независимости векторов, линейной оболочки, базиса, размерности, разложение вектора по базису.
9. Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами.
10. Скалярное произведение векторов, выражение через координаты, геометрический смысл, свойства.
11. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, общее уравнение прямой, уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, через две точки, через данную точку перпендикулярно данному вектору.
12. Линии второго порядка на плоскости: основные понятия, эллипс, гипербола, парабола.
13. Числовая последовательность: ограниченная, возрастающая, убывающая.
14. Признаки существования пределов. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.
15. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них.
16. Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции в интервале и на отрезке. Точки разрыва и их классификация. Основные теоремы о непрерывных функциях.
17. Определение производной, ее механический и геометрический смысл.
18. Уравнение касательной и нормали к кривой.
19. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производная суммы, разности, произведения и частного функций.
20. Производная сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций. Таблица производных.
21. Производные высших порядков. Производные высших порядков неявно заданной функции.
22. Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл. Основные теоремы о дифференциалах. Таблица дифференциалов.
23. Возрастание и убывание функций: необходимые и достаточные условия.
24. Максимум и минимум функций: необходимые и достаточные условия экстремума.
25. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
26. Выпуклость графика функции, точки перегиба (достаточное условие существования).
27. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построение графика.
Вопросы к промежуточной аттестации
1. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов.
2. Метод непосредственного интегрирования. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной). Метод интегрирования по частям.
3. Определение определенного интеграла как предел интегральной суммы, теорема Коши. Геометрический и физический смысл определенного интеграла: площадь криволинейной трапеции, работа переменной силы.
4. Формула Ньютона-Лейбница, свойства определенного интеграла.
5. Числовые ряды: определение, частичные суммы, сходимость, расходимость. Ряд геометрической прогрессии.
6. Необходимый признак сходимости числового ряда, гармонический ряд.
7. Признаки сравнения рядов: теорема о сравнении, предельный признак сравнения. Признак Даламбера.
8. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши, обобщенный гармонический ряд.
9. Функции нескольких переменных. Способы задания.
10. Линии уровня для функций многих переменных
11. Частные производные. Дифференциал функции в точке.
12. Необходимое условие экстремума функции нескольких переменных. Стационарные точки.
13. Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.
14. Условный экстремум функции нескольких переменных.
15. Кратный интеграл. Вычисление кратного интеграла с помощью повторного интегрирования.
16. Криволинейные интегралы 1-го рода. Геометрический смысл.
17. Криволинейный интеграл 2-го рода. Физический смысл.
18. Формула Грина.
19. Поверхностный интеграл 1-го рода. Геометрический смысл.
20. Поверхностный интеграл 2-го рода. Физический смысл.
21. Формула Гаусса-Остроградского.
22. Формула Стокса.
Вопросы к промежуточной аттестации
1. Основные формулы комбинаторики
2. Определение вероятности.
3. Основные теоремы теории вероятностей.
4. Понятия случайной величины
5. Математические операции над дискретными случайными величинами.
6. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
7. Непрерывная случайная величина и ее характеристики
8. Основные законы распределения.
9. Неравенство Маркова.
10. Неравенство Чебышева
11. Центральная предельная теорема.
12. Закон больших чисел.
13. Следствия закона больших чисел
14. Случайный процесс и его характеристики
15. Показатели вариации
16. Начальные и центральные моменты вариационного ряда.
17. Типы выборок и способы их отбора
18. Несмещённость, эффективность и состоятельность оценок
19. Построение гистограммы и полигонов частот.
20. Статистическое распределение выборки
21. Доверительные интервалы.
22. Виды гипотез. Общий механизм реализации статистического критерия.
23. Параметрические и непараметрические статистические критерии.
24. Постановка задачи теории корреляции. Виды корреляции.
25. Линейная корреляция.
Специальная математика Перечень вопросов к промежуточной аттестации
23. Поточечная cходимость функциональных рядов.
24. Равномерная cходимость функциональных рядов
25. Теоремы о предельном переходе под знаком ряда.
26. Теоремы о почленном дифференцировании ряда
27. Теоремы о почленном интегрировании ряда
28. Понятие степенного ряда. Понятие радиуса сходимости.
29. Формула Коши-Адамара и Коши-Даламбера для радиуса сходимости
30. Алгоритм нахождения радиуса, интервала и области сходимости степенного ряда.
31. Теорема Абеля, следствие. Свойства степенных рядов.
32. Ряд Тейлора.
33. Формула для основных элементарных функций в точке нуль. Радиус.
34. Алгоритм разложения в ряд Тейлора.
35. Ряд Фурье в тригонометрической записи. Свойства ряда Фурье.
36. Формула для нахождения коэффициентов разложения функции в ряд Фурье.
37. Дифференцирование ряда Фурье.
38. Суммирование различных числовых рядов.
Вопросы к промежуточной аттестации
1. Дифференциальные уравнения, основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка, теорема существования и единственности решения задачи Коши.
2. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные. Линейные уравнения: метод И. Бернулли, метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной), уравнения Я. Бернулли.
3. Уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель. Уравнения Лагранжа и Клеро.
4. Дифференциальные уравнения высших порядков, основные понятия, определение частного и общего решения, теорема существования и единственности решения задачи Коши.
5. Три типа уравнений, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
6. Линейные однородные уравнения второго порядка: теорема о частных решениях, определитель Вронского, теоремы об определители Вронского, фундаментальная система решений уравнений, теорема о структуре общего вида решения ЛОДУ второго порядка).
7. Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами: нахождение характеристического уравнения, вид общего решения уравнения.
8. Структура общего решения ЛНДУ второго порядка, теорема. Метод вариации произвольных постоянных, теорема о наложении решений.
9. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, метод неопределенных коэффициентов.
10. Системы ДУ: нормальные, задача Коши, теорема. Интегрирование нормальных систем.
11. Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами.
12. Уравнение Лапласа и его решение.
13. Уравнение теплопроводности. Формула Пуассона.
14. Неоднородное уравнение теплопроводности. Физический смысл.
15. Краевые задачи. Физический смысл.
16. Смешанные задачи. Физический смысл.
