Математические методы познания

Математические методы познания отражают методы самой математики и имеют наибольшее влияние на формирование и развитие математического мышления учащихся (то есть мышления, стиль, структура которого специфичны для математики).

Одним из наиболее плодотворных методов математического позна­ния действительности является метод построения математических мо­делей изучаемых реальных объектов или объектов, уже описанных в других областях знаний, с целью их глубокого изучения и решения всех возникающих в этих реальных ситуациях задач с помощью математи­ческого аппарата.

Математическая модель — это приближенное описание какого-ли­бо класса явлений, выраженное на языке математической теории (с по­мощью алгебраических функций или их систем, дифференциальных или интегральных уравнений или неравенств, системы геометрических предложений или других математических объектов).

Математическое моделирование — мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления. Метод математического моделирования, сводящий исследование явлений внешнего мира к математическим задачам, занимает ведущее место среди других методов исследования.

Метод математического моделирования состоит из этапов:

1. Поиск языка и средств для перевода задачи в математическую, то есть построение математической модели;

2. Изучение математической модели, ее исследование. Если полученная конкретная модель принадлежит уже изученному в математике классу моделей, то математическая задача решается уже известными методами. Если же полученная модель не укладывается ни в один из известных классов моделей, то возникает внутриматематическая проблема исследования нового класса моделей, что приводит к дальнейшему развитию одной из существующих математических теорий или к появлению новой.

3. Это развитие математической теории находит затем применение к изучению той области знаний, в которой возникла исходная задача, а также и других объектов реального мира, приводящих к математическим моделям того же класса.

Процесс обучения математике должен в какой-то мере имитировать процесс исследования в самой математике, раскрывать ее связи с реальным миром, с другими областями знаний, в которых она находит все новые приложения.

Обучение, как правило, должно начинаться с рассмотрения реальных ситуаций и возникающих в них задач, с поиска средств для их математического описания, построения соответствующих моделей. Затем объектом изучения должны стать уже сами эти модели, их исследование, приводящее к расширение теоретических знаний учащихся. После того, как соответствующая теория построена (с участием самих учащихся), ее аппарат применяется к решению исходной задачи. А также других задач, связанных с другими областями знаний, но приводящих к моделям этого же класса.

К методу математического моделирования в учебном процессе приходится прибегать при решении любой задачи с практическим содержанием. Чтобы решить такую задачу математическими средствами, ее необходимо вначале перевести на язык математики (построить математическую модель). В процессе математического моделирования широко используются абстракции отождествления, осуществимости, идеализация. Понятия числа, геометрической фигуры, уравнения, неравенства, функции, производной являются примерами математических моделей.

Методом математического моделирования решаются многие задачи межпредметного характера. С помощью метода математического моделирования раскрывает­ся двойная связь математики с реальным миром. С одной стороны, математика служит практике по изучению и освоению объектов окру­жающего нас реального мира, с другой - сама жизнь, практика спо­собствует дальнейшему развитию математики и направляет это раз­витие.

Аксиоматический метод также относится к числу наиболее характерных методов математики. Аксиоматический метод можно рассматривать как метод построения теорий, как науч­ный метод познания, как метод обучения математике.

Метод установления ис­тинности предложений, получивший название «аксиоматический метод», заключается в следующем: некоторые предложения принимаются за исходные (их называют аксиома­ми), истинность же других предложений, не входящих в список аксиом (называемых теоремами), устанавливается с помощью ло­гического доказательства, в котором (обычно неявно) использу­ются правила логического следования (вывода), гарантирующие истинность заключения при истинности посылок. Явное исполь­зование этих правил вывода (дедукции) превращает таким обра­зом построенную математическую теорию в дедуктивную (аксио­матическую) систему.

В математике аксиоматический метод – широко применяемый метод построения мате­матических теорий.

Аксиоматический метод, как метод построения мате­матических теорий, может быть использован в качестве ме­тода обучения, если в процессе обучения привлекать самих учащихся к построению «маленьких теорий», постепенно расширяющих изучае­мую теорию, в которую они включаются.

Аксиоматический метод как метод обучения служит для сис­тематизации знаний учащихся, выяснения того, «что из чего следует», для установления истинности предложений специфи­ческим для математики способом, для вывода новых знаний из имеющихся.