Вынужденные колебания материальной точки под влиянием сопротивления (вынужденные затухающие колебания)

Аксиомы динамики.

1) закон инерции - мат.точка, на кот. Не действуют силы или действует равновесная система сил, обладает способностью сохранять свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения относительно инерциальной системы отсчета.

2) основной закон динамики - ускорение мат.точки относительно инерциальной системы отсчета пропорциональна приложенной точки силы.ma=F

3) закон о равенстве сил действия и противодействия -силы взаимодействия двух мат.точек равны величине и противоположны по направлению.F1=-F2

4) закон независимого действия сил - при одновременном действии на мат.точку нескольких сил ускорение точки относительно инерциальной С. О. от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия других, приложенных к точке сил, а полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил. mai=Fi; a= ∑ai, i=1……N

 

Дифференциальные ур-я движ-я точки. Основные задачи динамики. (векторное и алгебраические ур-я в декартовых осях. Первая и вторая задачи динамики).

m

m

m >

основные задачи динамики:

1)Прямая задача динамики - определение координат тела известной массы и его скорости в любой момент времени по силам, действующим на тело, и по известным начальным условиям.

2)обратная задача динамики - определение сил, действующих на тело, по характеру его движения.

 

3.Колебательное движ-е мат.точки: восстанавливающая сила, сила сопротивления. Свободные и вынужденные колебания без демпфирования. Резонанс.

Сила, старающаяся возвратить материальную точку в положение равновесия, называется восстанавливающей силой.

Колебательным движением называется движение, которое характеризуется многократным прохождением положения равновесия.

Свободные колебания:

Период колебаний Т – промежуток времени, за который происходит одно полное колебание.

Амплитуда колебаний – величина, равная наибольшему отклонению точки от центра колебаний.

Начальная фаза – определяет фазу начала колебаний, которая соответствует начальным условиям.

Вывод:

1. Амплитуда свободных колебаний величина постоянная.

2. Частота и период свободных колебаний материальной точки зависят только от массы точки m и коэффициента с, характеризующего восстанавливающую силу, и не зависят от начальных условий движения.

 

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания материальной точки при отсутствии сопротивления.

Вынужденные колебания материальная точка совершает, когда на нее, наряду с восстанавливающей силой, действует возмущающая сила, периодически меняющаяся со временем.

Вывод:

1. При одновременном действии восстанавливающей и возмущающей сил материальная точка совершает сложное колебательное движение, которое является результатом наложения свободных и вынужденных колебаний.

2. Вынужденные колебания не зависят от начальных условий движения материальной точки.

Вынужденные колебания материальной точки под влиянием сопротивления (вынужденные затухающие колебания)

На материальную точку наряду с восстанавливающей и возмущающей силой, действует сила сопротивления.

Общее решение дифференциального уравнения зависит от соотношения коэффициента затухания и частоты свободных колебаний.

При одновременном действии восстанавливающей силы, возмущающей силы и силы сопротивления материальная точка соверщает сложное колебательное движение, которое является наложением затухающих и вынужденных колебаний.

 

Явление резонанса возникает при совпадении частот вынужденных и свободных колебаний. Амплитуда колебаний при резонансе возрастает пропорционально времени до бесконечности.

Вывод:

1. Амплитуда вынужденных колебаний не зависит от начальных условий.

2. Вынужденные колебания не угасают при наличии сопротивления.

3. Частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы и не зависит от характеристик колебательной системы.

4. Даже при малой возмущающей силе можно получить интенсивные вынужденные колебания, если сопротивление мало, а частота р близка к k (резонанс).

5. Даже при больших значениях возмущающей силы можно создать довольно малые вынужденные колебания, если частота р будет значительно больше, чем k.

6. Влияние сопротивления на вынужденные колебания проявляются в смещении фазы колебаний по отношению к фазе возмущающей силы и в уменьшении амплитуды колебаний по мере увеличения сопротивления.