Сигналы с расширенным спектром

Понятие ПСП импульсных сигналов, статистические характеристики

Д. Г. Лехмер (D. H. Lehmer) (1951): "Случайная последовательность является смутным понятием, олицетворяющим идею последовательности, в которой каждый член является непредсказуемым для непосвященных и значения которой проходят определенное количество проверок, традиционных у статистиков и отчасти зависящих от пользователей, которым предложена последовательность".

Реализация СП программными способами очень сложна и в настоящее время основная идея получения СП заключается в том, чтобы привлечь к процессу выработки случайной последовательности самого пользователя.

В мощных криптосистемах военного применения используются действительно случайные генераторы чисел, основанные на физических процессах. Они представляют собой платы, либо внешние устройства, подключаемые к ЭВМ через порт ввода-вывода. Основные источники СП (белого Гауссова шума) – высокоточное измерение тепловых флуктуаций и запись радиоэфира на частоте, свободной от радиовещания.

В отличие от псевдослучайного кода случайная последовательность непредсказуема и может быть описана только в статистическом смысле. Псевдослучайный код на самом деле не является случайным – это детерминированный периодический сигнал, известный передатчику и приемнику. Псевдослучайным он называется потому, что он имеет все статистические свойства дискретного белого шума. Для постороннего пользователя такой сигнал будет казаться абсолютно случайным.

Существует три основных свойства любой периодической двоичной последовательности, которые могут быть использованы в качестве проверки на случайность:

1 Сбалансированность. Для каждого интервала последовательности количество двоичных единиц должно отличаться от числа двоичных нулей не больше чем на один элемент.

2 Цикличность. Циклом называют непрерывную последовательность одинаковых двоичных чисел. Появление иной двоичной цифры автоматически начинает новый цикл. Длина цикла равна количеству цифр в нем.

3 Корреляция. Если часть последовательности и ее циклично сдвинутая копия поэлементно сравниваются, желательно, чтобы число совпадений отличалось от числа несовпадений не более чем на единицу.

Сигналы с расширенным спектром

Для сигналов с расширенным спектром, или как их ещё называют широкополосных сигналов (ШПС), характерно то, что используемая ими полоса частот значительно превышает необходимую для обычной передачи сообщений, например, в узкополосных системах с частотным разделением каналов (FDMA). Основной характеристикой ШПС является база сигнала, определяемая как произведение ширины его спектра на его длительность : .

В цифровых системах связи, передающих информацию в виде двоичных символов, длительность ШПС и скорость передачи сообщений связаны соотношением . Поэтому база сигнала характеризует расширение спектра ШПС относительно спектра сообщения. Расширение спектра частот передаваемых цифровых сообщений может осуществляться двумя методами или их комбинацией:

а) Прямым расширением спектра частот,

б) Скачкообразным изменением частоты несущей.

При первом способе узкополосный сигнал умножается на псевдослучайную последовательность (ПСП) с периодом повторения , включающую бит последовательности длительностью каждый. В этом случае база ШПС численно равна количеству элементов ПСП .

Прием ШПС осуществляется оптимальным приемником, который для сигнала с полностью известными параметрами вычисляет корреляционный интеграл

(1)

где – входной сигнал, представляющий собой сумму полезного сигнала и помехи .

Затем Величина сравнивается с порогом . Значение корреляционного интеграла находится с помощью коррелятора или согласованного фильтра. Коррелятор осуществляет сжатие спектра широкополосного входного сигнала путем умножения его на эталонную копию с последующей фильтрацией в полосе , что и приводит к улучшению отношения сигнал/шум на выходе коррелятора в раз по отношению к входу. При возникновении задержки между принимаемым и опорным сигналами амплитуда выходного сигнала коррелятора уменьшается и приближается к нулю, когда задержка становится равной длительности элемента ПСП . Это изменение амплитуды выходного сигнала коррелятора определяется видом АКФ – автокорреляционной функции (при совпадающих входной и опорной ПСП) и ВКФ – взаимнокорреляционной функции (при отличающихся входной и опорной ПСП).

Выбирая определенный ансамбль сигналов с "хорошими" взаимными автокорреляционными свойствами можно обеспечить в процессе корреляционной обработки (свертки ШПС) разделение сигналов. На этом основан принцип кодового разделения каналов связи.

Второй метод – метод скачкообразной перестройки частоты (frequency hopping– FH). Для модуляции в данной схеме обычно используется М-арная частотная манипуляция (М-ary frequency shift keying— MFSK). При этой модуляции информационных бит используются для определения одной из передаваемых частот. Положение М-арного множества сигналов скачкообразно изменяется синтезатором частот на псевдослучайную величину, принадлежащую полосе . На рисунке представлена блок-схема системы FH/MFSK наиболее распространенного типа. В этой системе частота несущей является псевдослучайной.

Рисунок 1 – Система FH/MFSK

Систему FH на рисунке можно рассматривать как двухэтапный процесс модуляции– модуляции информации и модуляции с перестройкой частоты. При каждом скачке генератор псевдослучайного сигнала передает синтезатору частот частотное слово (последовательность из элементарных сигналов), которое определяет одну из позиций множества символов. Минимальное разнесение по частоте между последовательными скачками и шириной полосы перестройки частот определяет минимальное количество элементарных сигналов частотного слова.

Широкополосные сигналы используются для:

1 подавления вредного влияния мешающих сигналов (jamming), интерференции, возникающей от других пользователей канала, и собственной интерференции, обусловленной распространением сигналов;

2 обеспечения скрытности сигнала путем его передачи с малой мощностью, что затрудняет его детектирование не предназначенными слушателями в присутствии основного шума,

3 достижения зашиты сообщения от других слушателей.

Кроме связи, широкополосные сигналы используются для получения точных дальностей (задержек сигнала во времени) и перемещений при измерениях в радиолокации.

Системы Уолша

Среди систем сигналов многие образованы на базе систем Уолша. Системам Уолша и их применению посвящено большое количество работ. Часто для исследования систем Уолша с точки зрения их корреляционных свойств целесообразно использовать матрицы Адамара, которые определяются следующим символическим равенством:

где – матрица Адамара порядка , а – матрица Адамара порядка . Полагая , можем получить матрицы для любого , где – целое число.

Матрицы Адамара удовлетворяют следующему условию:

где – транспонированная матрица Адамара, – единичная матрица.

Обозначим -ю кодовую последовательность Уолша как , а её -й символ через . Это условие определяет ортогональность системы, т.е.

В качестве кодовых последовательностей системы Уолша можно использовать как строки, так и столбцы матрицы Адамара. Число кодовых последовательностей равно порядку матрицы . Следовательно, объем системы Уолша равен . Принято обозначать системы Уолша У8, где цифра определяет объем системы.

Для вычисления символов последовательностей Уолша используется следующая формула:

где , – целая часть , – двоичное представление номера последовательности . В формуле , .

Произведение двух последовательностей Уолша дает в результате ещё одну последовательность Уолша:

Система Уолша обладает плохими корреляционными свойствами, так как у большинства последовательностей число блоков (-1, 1) далеко от оптимального. Это подтверждается тем, что большинство АКФ и ВКФ последовательностей Уолша имеют большие боковые пики. Однако на их основе формируют производные системы сигналов, обладающие хорошими корреляционными свойствами.

Известно, что спектры сигналов Уолша сдвинуты друг относительно друга по частоте. Сдвиг можно характеризовать как положением максимума спектральной плотности мощности, так и эффективной шириной спектра. Чем больше блоков , тем больше сдвиг. Спектр кодовой последовательности с имеет максимум при , а спектр кодовой последовательности с имеет максимум при . Оба максимума равны . Соответственно максимум спектральной плотности мощности равен . У остальных последовательностей максимумы спектров лежат между значениями и .

Коды Велти

Среди множества кодов Велти выделяют два основных типа кодов.

D-коды

Их построение основано на использовании правила присоединения. Обозначим -ю последовательность D-кода порядка как

Здесь длина последовательности и её порядок связаны соотношением . Число последовательностей равно числу символов в последовательности, т.е. . Введем последовательность дополнительную для . Последовательности и называются дополнительными, если

где

Тогда правило образования D-кода с помощью правила присоединения записывается как:

Использование правила (1) проиллюстрируем на примерах. В качестве исходных возьмем дополнительные последовательности для . Полагая , согласно (1) будем иметь:

Введем обозначения . Используя указанные обозначения получим:

При находим:

Для D-кода характерно то, что парные последовательности являются дополнительными. Последовательности, образующие D-код взаимно-ортогональны. Условие ортогональности двух последовательностей и записывается в виде:

для .

АКФ любой последовательности D-кода при четных сдвигах равна нулю, т.е. при . Для нечетных АКФ определяется произведениями символов вида , номера которых подчиняются следующему условию: если – четное, то – нечетное, и наоборот. Если для нечетного выполняется равенство , то .

ВКФ пар дополнительных последовательностей лучше, чем у случайных. Среднеквадратичное значение ВКФ в раз меньше чем у случайных последовательностей и равна .

Е-коды

Если определен D-код, то Е-код определяется через него следующим образом: символ последовательности связывается с символом последовательности соотношением

АКФ каждой последовательности Е-кода при для .

ВКФ пары дополнительных последовательностей Е-кода равна нулю при .

Последовательности D и E –кода получили, в первую очередь, применение в радиолокации. Но в настоящее время их используют и в системах связи. Они могут также найти применение и в качестве исходных систем при построении производных систем сигналов.