18. Діагоналі вписаного чотирикутника 
перетинаються в точці 
, при цьому 
, 
. Які значення може набуваати довжина сторони 
?
Відповідь: 
або 
.
Розв’язання. З теореми Птолемея запишемо, що
,
звідки 
. Позначимо 
, 
, тоді з подібностей трикутників маємо: 
та 
. Тоді 
, або 
. З теореми синусів: 
, звідки 
. Тепер з теореми косинусів знаходимо, що або .
19. Знайдіть всі натуральні числа, взаємно прості с усіма членами нескінченної множини чисел: 
Відповідь: 
.
Розв’язання. Покажемо, що єдине таке число. Досить довести, що для кожного простого числа 
існує деяке 
таке, що 
. Для 
ми маємо, що 
Тепер припустимо, що 
. Спираючись на теорему Ферма, ми маємо: 
, звідки випливає, що
.
Отже 
, що й треба було довести.
20. Деякий прямокутник розрізаний на непарну кількість однакових багатокутників (однакові – означає, що їх можна накласти один на інший, можливо з перегортанням). Чи обов’язково ці багатокутники – прямокутники?
Відповідь: не обов’язково, один з прикладів такого розрізання показаний на рис. 8.
21. Доведіть, що одиничний квадрат можна покрити деякими трьома множинами з діаметрами не менше ніж 
, але не можна покрити ніякими множинами з діаметрами менше ніж . (Діаметром множини називається відстань між двома найвіддаленішими точками цієї множини)
Розв’язання. Розглянемо три кола діаметром з центрами у точках 
, 
та 
(рис. 9), тоді неважко переконатись, що вони покривають квадрат з вершинами у точках 
.
Тепер друга частина задачі. Методом від супротивного, припустимо що одиничний квадрат 
повністю покритий трьома фігурами 
з діаметрами меншими від . Тоді принаймні дві вершини, наприклад, 
покриваються однією множиною, наприклад, 
, тоді з визначення діаметра множини інші дві вершини квадрату не покриті цією множиною.
Якщо 
покриті однією множиною, наприклад, 
, то розглянемо ребро і 
та їх середини відповідно точки 
(рис. 10). Оскільки 
, то точка 
(аналогічно й ) можуть бути покриті лише множиною 
. Але, оскільки для точки 
– середини відрізку 
маємо, що 
, то вона не може бути покритою жодною з трьох множин . Таким чином це припущення хибне.
Тому залишається варіант, коли точка 
, а точка 
. Тоді точка 
, що задовольняє умову 
та 
може бути покритою лише множиною , бо 
(рис. 11). Але для точки 
, що є серединою 
виконуються умови: 
. Тому вона повинна покриватися лише множиною , але з симетричних міркувань, вона нею покриватися не може. Твердження доведене.
22. На стороні трикутника 
вибрані точки 
та , для яких виконуються такі умови: 
та 
. Доведіть, що 
рівнобедрений.
Розв’язання. Оскільки 
(однакові висоти та основи), то 
. Тому 
(рис. 12).
Аналогічно, оскільки 
, то 
.
Якщо перемножимо останні дві рівності, маємо:
,
звідки й маємо шукану рівність: 
.
23. Знайдіть найбільше та найменше значення виразу
для дійсних чисел 
, що задовольняють умову: 
.
Відповідь: найбільше 
, найменше 
.
Розв’язання. Позначимо через 
, тоді можемо позначити невідомі таким чином:
, 
, 
, 
. Тоді
,
де 
.
Внаслідок незалежності 
та 
– ці змінні можуть приймати будь-які значення на проміжку 
. Тоді зрозуміло, що найбільше значення:
,
при 
або 
.
Аналогічно, найменше значення: 
,
при 
та 
або 
та 
.
24. Нехай – множина всіх функцій 
таких, що 
.
Знайдіть найбільше 
, таке, що для всіх 
виконується умова:
.
Відповідь: 
.
Розв’язання. Функція 
.
Нехай . Далі 
з умови маємо, що 
.
Розглянемо послідовність 
, 
. З умови за індукцією легко бачимо, що 
. Також за індукцією маємо, що 
. Також 
. Тому послідовність 
зростаюча та обмежена. А тому існує 
. Розв’язуючи рівняння 
при умові 
маємо, що .
25. Від прямокутника зі сторонами 
та 
відрізали прямокутний трикутник 
, де 
, 
, 
та 
. Знайдіть максимальну площу прямокутника, сторони якого паралельні сторонам , який можна вирізати з п’ятикутника, що залишився.
Відповідь: 
.
Розв’язання. Позначимо вершину шуканого прямокутника найбільшої площі, яка лежить на відрізку 
, через 
(рис. 13). Очевидно, що така вершина існує, інакше неважко збільшити площу вирізаного прямокутника. Нехай відстань від до сторін та 
відповідно через 
та 
. Тоді шукана площа дорівнює 
. З подібності запишемо, що 
. Тому 
. Тоді 
. Парабола гілками донизу, тому досягає максимуму в точці 
, що належить до припустимих значень . При цьому максимальна площа дорівнює 
.
