Простіше зразу шукати послідовні суми !

18. Діагоналі вписаного чотирикутника перетинаються в точці , при цьому , . Які значення може набуваати довжина сторони ?

Відповідь: або .

Розв’язання. З теореми Птолемея запишемо, що

,

звідки . Позначимо , , тоді з подібностей трикутників маємо: та . Тоді , або . З теореми синусів: , звідки . Тепер з теореми косинусів знаходимо, що або .

19. Знайдіть всі натуральні числа, взаємно прості с усіма членами нескінченної множини чисел:

Відповідь: .

Розв’язання. Покажемо, що єдине таке число. Досить довести, що для кожного простого числа існує деяке таке, що . Для ми маємо, що Тепер припустимо, що . Спираючись на теорему Ферма, ми маємо: , звідки випливає, що

.

Отже , що й треба було довести.

20. Деякий прямокутник розрізаний на непарну кількість однакових багатокутників (однакові – означає, що їх можна накласти один на інший, можливо з перегортанням). Чи обов’язково ці багатокутники – прямокутники?

Відповідь: не обов’язково, один з прикладів такого розрізання показаний на рис. 8.

21. Доведіть, що одиничний квадрат можна покрити деякими трьома множинами з діаметрами не менше ніж , але не можна покрити ніякими множинами з діаметрами менше ніж . (Діаметром множини називається відстань між двома найвіддаленішими точками цієї множини)

Розв’язання. Розглянемо три кола діаметром з центрами у точках , та (рис. 9), тоді неважко переконатись, що вони покривають квадрат з вершинами у точках .

Тепер друга частина задачі. Методом від супротивного, припустимо що одиничний квадрат повністю покритий трьома фігурами з діаметрами меншими від . Тоді принаймні дві вершини, наприклад, покриваються однією множиною, наприклад, , тоді з визначення діаметра множини інші дві вершини квадрату не покриті цією множиною.

Якщо покриті однією множиною, наприклад, , то розглянемо ребро і та їх середини відповідно точки (рис. 10). Оскільки , то точка (аналогічно й ) можуть бути покриті лише множиною . Але, оскільки для точки – середини відрізку маємо, що , то вона не може бути покритою жодною з трьох множин . Таким чином це припущення хибне.

Тому залишається варіант, коли точка , а точка . Тоді точка , що задовольняє умову та може бути покритою лише множиною , бо (рис. 11). Але для точки , що є серединою виконуються умови: . Тому вона повинна покриватися лише множиною , але з симетричних міркувань, вона нею покриватися не може. Твердження доведене.

22. На стороні трикутника вибрані точки та , для яких виконуються такі умови: та . Доведіть, що рівнобедрений.

Розв’язання. Оскільки (однакові висоти та основи), то . Тому (рис. 12).

Аналогічно, оскільки , то .

Якщо перемножимо останні дві рівності, маємо:

,

звідки й маємо шукану рівність: .

23. Знайдіть найбільше та найменше значення виразу

для дійсних чисел , що задовольняють умову: .

Відповідь: найбільше , найменше .

Розв’язання. Позначимо через , тоді можемо позначити невідомі таким чином:

, , , . Тоді

,

де .

Внаслідок незалежності та – ці змінні можуть приймати будь-які значення на проміжку . Тоді зрозуміло, що найбільше значення:

,

при або .

Аналогічно, найменше значення: ,

при та або та .

24. Нехай – множина всіх функцій таких, що

.

Знайдіть найбільше , таке, що для всіх виконується умова:

.

Відповідь: .

Розв’язання. Функція .

Нехай . Далі з умови маємо, що .

Розглянемо послідовність , . З умови за індукцією легко бачимо, що . Також за індукцією маємо, що . Також . Тому послідовність зростаюча та обмежена. А тому існує . Розв’язуючи рівняння при умові маємо, що .

25. Від прямокутника зі сторонами та відрізали прямокутний трикутник , де , , та . Знайдіть максимальну площу прямокутника, сторони якого паралельні сторонам , який можна вирізати з п’ятикутника, що залишився.

Відповідь: .

Розв’язання. Позначимо вершину шуканого прямокутника найбільшої площі, яка лежить на відрізку , через (рис. 13). Очевидно, що така вершина існує, інакше неважко збільшити площу вирізаного прямокутника. Нехай відстань від до сторін та відповідно через та . Тоді шукана площа дорівнює . З подібності запишемо, що . Тому . Тоді . Парабола гілками донизу, тому досягає максимуму в точці , що належить до припустимих значень . При цьому максимальна площа дорівнює .