Застосування функцій в економіці

Розділ 3. Вступ до математичного аналізу

Функціональна залежність.

Елементарні функції

Поняття функції

Стала величина – величина, яка зберігає одне і те саме числове значення.

Змінна величина – величина, яка може приймати різні числові значення.

Залежність змінної від змінної , при якій кожному елементу множини відповідає єдиний елемент множини , називається функцією.

Позначення функції: ,

де - незалежна змінна (аргумент),

- залежна змінна (функція).

Множина (сукупність значень, які може приймати аргумент) називають областю визначення функції (позначають а множину У – областю значень функції (позначають

При знаходженні області визначення функції потрібно враховувати наступне:

1. знаменник функції не повинен дорівнювати нулю;
2. підкореневий вираз (у випадку кореня парного степеня) більший або рівний нулю;
3. вираз, який стоїть під знаком функції логарифма, строго більше нуля;
4. в основі логарифма – додатний вираз, що не дорівнює 1;
5. область визначення функції і ;
6. під знаком функції може стояти лише вираз, що не дорівнює ;
7. під знаком функції може стояти лише вираз, що не дорівнює .

 

Приклад 3.1. Знайти область визначення функції .

Розв’язання

: , ,

РИС. 12..

Відповідь. .

Деякі елементарні функції та їх графіки.

Способи задання функцій

 

 

РИС.13.

 

 

РИС.14.

 

 

Основні властивості функцій

Функція називається парною, якщо область її визначення симетрична відносно початку координат (коли то і ) і для всіх виконується рівність

 

Функція називається непарною, якщо область її визначення симетрична відносно початку координат і для всіх використовується рівність

 

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат, а графік непарної – відносно початку координат.

Якщо для функції не виконується ні умова , ні , то функцію вважають ні парною, ні непарною.

Приклад 3.2. Дослідити на парність (непарність) функцію

Розв’язання

Отже, функція є непарною.

Відповідь. Непарна.

 

Функція називається періодичною з періодом , якщо для будь-якого виконується рівність

Найменше з таких називаються основним періодом функції .

 

Якщо число є періодом функції , то її періодом будуть також числа де

Якщо функція періодична з періодом , то функція також є періодичною і її період

 

 

де - постійні числа і .

Приклад 3.3. Дослідити на періодичність функцію

Розв’язання

З рівності маємо

Функція не періодична.

Відповідь. Не періодична.

 

Приклад 3.4. Знайти основний період функції

Розв’язання

Найменший період функції дорівнює .

Період функції знайдемо за формулою

Відповідь

Застосування функцій в економіці

Функція попиту – залежність попиту на товар від ціни на нього:

де - попит на товар,

- ціна товару.

Функція цін попиту (залежність ціни від попиту)

Графік функції попиту Графік функції цін попиту

РИС.15 РИС.16.

 

 

Сумарний виторг продавця – це добуток кількості проданого товару на ціну одиниці продукції.

Функція сумарного виторгу – це залежність між сумарним виторгом і кількістю проданого товару: .

Функція пропозиції – залежність обсягу запропонованої продукції від ринкової ціни, тобто ціни від кількості

де - обсяг пропозиції товару,

- ціна.

Функція ціни від пропозиції: .

Функція витрат – залежність між витратами на виробництво деякої пропозиції і обсягом виробництва цієї продукції.

Якщо - сумарні витрати виробництва одиниць продукції, то функція сумарних витрат

Зауваження. Функція - функція середніх витрат.

Взаємодія попиту і пропозиції на ринку проводить до рівноваги, при якій величини попиту і пропозиції рівні:

Функція доходу – залежність доходу від вартості виробленої продукції:

 

де - дохід,

- ціна одиниці продукції:

 

Графік функції пропозиції Графік функції доходу

РИС.17 РИС.18