Элементы теории правильных многогранников

Агентство по управлению государственными учреждениями

ГБОУ СПО "Кизеловский горный техникум"

Тема исследовательского проекта:

«Правильные многогранники»

 

 

Исполнитель:

 

Руководитель:

 

 

2012г.

Содержание:

Введение 3-4

Глава 1. Элементы теории правильных многогранников 5-10

§ 1. Определение многогранника и его элементов 5-6

§ 2. Пять правильных многогранников 7-8

§ 3. Теорема Эйлера 9

Глава 2. Исследования правильных многогранников в

период до нашей эры 10-12

Глава 3. Исследования правильных многогранников

в XVI – XIX вв. 13-15

Глава 4. Правильные многогранники в нашей жизни 16-18

§ 1. Многогранники вокруг нас 16-17

§ 2. Правильные многогранники в искусстве 18

Примеры задач 19-22

Заключение 23-24

Приложения 25-34

Список литературы 35

 

Введение

Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести "Правильные многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета.

 

Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. "Правильных многогранников вызывающе мало, - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".

 

Гипотеза:

если выстроить хронологически события исследований правильных многогранников, то можно выявить основные этапы и особенности изучения Платоновых тел

Объект исследования:

правильные многогранники (Платоновы тела)

Предмет исследования:

основная периодизация исследований правильных многогранников, основные составляющие исследований, их взамосвязь.

Основная цель данного проекта – познакомиться с понятием правильных многогранников и выявить основные особенности исследования Платоновых тел.

Постановка такой цели предопределила формулировку следующих задач:

1. Изучить историю открытий в области правильных многогранников

2. Определить основные этапы исследований Платоновых тел, их содержание, взаимосвязь

3. Выявить и охарактеризовать основные составляющие исследований правильных многогранников, их динамику и особенности

 

 

 

 

Глава 1

Элементы теории правильных многогранников

§ 1. Определение многогранника и его элементов

Определение: многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.

Многогранники делятся на выпуклые и невыпуклые

Определение: выпуклым многогранником называется такой многогранник, что если взять плоскость любой его грани, то весь многогранник окажется по одну сторону от этой плоскости

Выпуклые многогранники, в свою очередь, делятся на неправильные и правильные

Определение: Правильный многогранник, или Платоново тело — это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.

Многогранник называется правильным, если:

1 он выпуклый

2 все его грани являются равными правильными многоугольниками

3 в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер[1]

Всего существует 5 правильных многогранников (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр), доказательство этого факта я рассмотрю в следующем параграфе

Таблица 1

Правильный многогранник	Число
Граней	Вершин	Ребер
Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр

 

В Таблице 1 приведены сведения о числе граней, ребер и вершин правильных многогранников

§ 2. Пять правильных многогранников

Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. " Правильных многогранников вызывающе мало, - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук ".

Каково же это вызывающе малое количество и почему их именно столько. А сколько? Оказывается, ровно пять - ни больше ни меньше. Рассмотрим доказательство данного факта.[2]

Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n больше либо равным шести.

В самом деле, угол правильного n-угольника при n больше либо равным шести не меньше 120 градусов (углы между сторонами правильного многоугольника не меньше 180-360/p градусов (где p-число ребер)). С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при n больше либо равным шести, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше, чем 120 * 3 = 360 градусов. Но это не возможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360 градусов.[3]

Мы доказали, что существует пять и только пять правильных выпуклых многогранников. Доказательство того, что больше не может быть, содержится в «Началах» Евклида, причем автором этого доказательства считается Теэтет. Известно, что в течение нескольких лет Теэтет состоял в Академии и был близок к Платону, и этой близостью можно объяснить то обстоятельство, что Платон оказался знакомым с новейшими в то время открытиями в области стереометрии[4].

 

 

§ 3. Теорема Эйлера

Теорема Эйлера для многогранников — теорема, устанавливающая связь между числом вершин, рёбер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере.

Рассматривая табл. 1, зададимся вопросом: «нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Вот в столбце «грани» все сначала пошло хорошо (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), а потом намеченная закономерность «провалилась» (8 + 2 ). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания. Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12). В столбце «ребра» закономерности тоже не видно.

Мы сравнивали числа внутри одного столбца. Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г + В). Сравним новую таблицу своих подсчетов (см. табл. 2).

Таблица № 2

Правильный многогранник	Число
Граней и вершин (Г + В)	Ребер (Р)
Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр	4 + 4 = 8 6 + 8 = 14 8 + 6 = 14 12 + 20 = 32 20 + 12 = 32

 

Вот теперь закономерность видна.

Сформулируем ее так: «Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2»: Г + В = Р + 2.

Итак, получена формула, которая была подмечена уже Декартом в 1640 году, а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.[5]

 

Глава 2