Результаты исследования и их обсуждение

Материалы исследования характеризуют уровень вы­полнения сложения и переходы с одного на другой. Исходной формой сложения является выполнение его на предметных совокупностях. Поэтому прежде чем рас­сматривать переход к действию абстрактным количе­ством, целесообразно было установить состав операций и содержание числительных в предметном сложении.

Особенности предметного уровня сложения (конста­тирующие опыты). Группе детей (34 чел.), выполняв­ших в предварительных опытах сложение только хна открытых предметных совокупностях и только пересчитыванием, предлагалась серия заданий, в которых варь­ировалась форма первого слагаемого (см. методику)

Задания со словесным указанием слагаемого, сопровождаемого указательным жестом, испытуемые выпол­нить не могли.

Если первое слагаемое задавалось цифрой (напри­мер, «4»), то испытуемые, прикасаясь к ней пальцем, произносили «Один» и переносили палец на второе сла­гаемое, продолжая счет — «2, 3, будет 3» Однако стоило цифру включить в задание «Подай мне столько пало­чек, сколько здесь написано», как дети, обращаясь к предметам, правильно отбирали указанное количество палочек (4 палочки). Следовательно, в условиях, по­зволяющих произвести пересчитывание предметов, чис­лительные служили указанием на составление совокуп­ностей. Вне этих условий числительные определенного количества не обозначали.

Большинство детей не могло выполнить задания с предметным первым слагаемым, скрытым в коробочке. Только пять испытуемых (из 34) определенным образом все же его выполнили. Они подносили руку к коробоч­ке и, перемещая палец по ее крышке, производили на­жимы. Движения пальца сопровождались последова­тельным называнием числительных. Если эксперимента­тор запрещал производить эти движения, то испытуемые выполнить задание не могли.

Выполняя сложение на предметах, наши испытуемые складывали совокупности, расчлененные на отдельные единицы (палочки, кубики и т. д.). Возникал вопрос: умеют ли они складывать нерасчлененные совокуп­ности. Мы провели специальные опыты, в которых де­тям предлагалось складывать маленькие кучки пшена. Задание выполнялось пересчитыванием, если кучки ле­жали раздельно. Затем маленькие кучки, составлявшие первое слагаемое, на глазах детей «сливались» в одну общую кучку при той же формулировке задания («3 + 3»). Тогда все испытуемые принимали первое слагаемое только за единицу («1-2, 3, 4, будет 4» или «3-2, 3, 4, будет 4»).

Таким образом, почти все наши испытуемые (за ис­ключением пятерых, выполнивших задание с коробоч­кой) умели складывать только расчлененные открытые предметные совокупности, в которых каждая единица, в отдельности могла быть объектом прямого действия (прикосновения пальцем). У этих детей числительные были хорошо обобщены и тонко дифференцированы — с их помощью испытуемые точно определяли количе­ство любых предметов. Однако эти числительные обозначали количество, только в, непосредствен­ном отношении к рабочей совокупности.

Часть детей (5 чел.) уже могла выполнить сложение. При закрытых, но все же фактически присутствующих предметных слагаемых (задание с коробочкой, в кото­рую на глазах испытуемых укладывались предметы). При выполнении этого задания дети прикасались паль­цем к коробочке столько раз, сколько единиц было в первом слагаемом. Важно отметить, что при полном отсутствии предметов (задание с цифрой и т. д.) эти дети сложения выполнить не могли. Это значит, что движе­ния, с помощью которых они проводили пересчитыва­ние, относились только к минимально опосредованному объекту (к скрытым, но присутствующим палочкам, кубикам и т. п.).

Предметное, сложение всеми испытуемыми выполня­лось пересчитыванием путем прикосновения пальца к палочкам (кубикам и т. д.), хотя величина слагаемых им была известна. Наличие пересчитывания нельзя было объяснись отсутствием у детей результативного счета или умения вести счет от любого числительного — эти умения у них имелись, что констатировалось еще в предварительных опытах. Чем же объяснить тот факт, что у всех детей, складывающих только предметы, от­сутствовало присчитывание?

Как уже отмечалось, присчитывая второе слагаемое, ребенок опирается на известное обозначение ранее про­считанной группы первого слагаемого. В таком сложе­нии предметная группа уже не может быть действительным объектом действия, так как она реально со­стоит из отдельных единиц, а опираться нужно на за­мещающее их числительное. Но для наших испытуемых числительное не обозначало количества вне непосред­ственного отношения к расчлененной предметной сово­купности — и поэтому заменить последнюю в сложении оно не могло. Получить результат сложения двух пред­метных групп наши испытуемые могли только их об­щим пересчитыванием.

Но если присчитывание второго слагаемого предпо­лагает оперирование числительным первого слагаемого вне непосредственного отношения к предметной совокуп­ности, то обеспечивает ли последнее, взятое само по себе, здесь же и переход к этому способу сложения? Многие исследователи отмечали, что дети нередко производят сложение уже без предметов, но еще пересчитыванием. Этот факт позволяет ответить отрицательно на постав­ленный вопрос, но вместе c тем он ставит и новую про­блему — почему переход к сложению без предметов еще не обеспечивает присчитывания? Сколь закономерен этот факт? Чтобы ответить на эти вопросы, мы прове­ли, с одной стороны, более тщательное обследование отмеченного уровня сложения, с другой — проследили условия его возникновения.

Особенности сложения абстрактных совокупностей, выполняемого пересчитыванием (констатирующие опыты). Дети, обладающие таким сложением (122 чел), с успехом могли произвести это действие и на предме­тах, но опять только пересчитыванием. При изменении формы первого слагаемого (задание с жестом, цифрой и т. д.) пересчитывание сохранялось. При этом харак­терно, что почти у всех детей называние числительных сочеталось с движениями руки в виде нажимов, посту­кивания и т. п. по указанному месту стола, по цифре и т. д. Эти движения имели несколько форм: разверну­тое, «размашистое» перемещение пальца без нажима («прикосновение»), постукивание по одному месту сто­ла (цифры) и т. п.

В некоторых случаях испытуемые, получив задание (особенно с цифрой), произносили название первого слагаемого, но вместо перехода на второе вновь пере­считывали его от единицы до конца и лишь затем при­бавляли второе слагаемое (задание «5 + 2»—«5…1, 2, 3, 4, 5 — 6,7, будет 7»). Таким образом, эти испытуемые в сложении не могли соотнести без пересчитывания одну совокупности с другой, хотя обладали умением «считать дальше» от любого названного числительного. Это обнаруживалось при проверке их счета

Объяснение этого факта мы искали в возникновении описанной формы сложения. Ряд предварительных на­блюдений, в частности особенности действия испытуе­мых, пытавшихся выполнить сложение совокупностей, скрытых в коробочке, позволил предположить, что сложение абстрактных совокупно­стей возникает в таких условиях, когда затрудняются возможности оперирования с непосредственными пред­метными группами. Нами была проведена серия экспериментов, в которых специально организовывались условия для перехода от сложения предметных слагаемых к действию без них.

Переход от предметного уровня сложения к дейст­вию в плане абстрактных совокупностей (формирующие эксперименты). Из группы испытуемых, обладающих предметным сложением, мы выделили шестерых — им предлагалось задание с предметным слагаемым, скрытым в коробочке. Это задание они выполнить не могли. Но если экспериментатор, формулируя задание, подчер­кивал присутствие предметов и, открывая коробочку, показывал их испытуемым, затем вновь закрывая, то у детей появлялись своеобразные попытки выполнить предложенное задание. Они начинали двигать пальцем по коробочке, сопровождая каждое прикосновение к ней называнием числительного.

После успешного выполнения 3 — 4 заданий с коро­бочкой испытуемым предлагалось контрольное задание, в котором первое слагаемое указывалось словесно и сопровождалось указательным жестом в определенное место стола. Здесь наличие предметов первого слагае­мого лишь предполагалось. Выполнить это задание смог лишь один испытуемый, который двигал пальцем по столу.

После этого экспериментатор предложил задание с пустой коробочкой (дети видели, что предметы в нее не клались), которое выполнили четыре ребенка лет шести, в том числе и ребенок, ранее выполнивший за­дание с жестом. Два других ребенка этого задания не выполнили. Но если в коробочку вновь укладывались предметы, то эти двое выполняли задание. В других заданиях этим детям вновь предлагалась пустая коробочка, но теперь подчеркивалось. «Там есть 3... 3». Оба ребенка начали двигать пальцем по пустой коробочке, сопровождая движения называнием числительных.

После выполнения 6 — 7 таких заданий с коробочкой дети могли выполнить и контрольное задание с жестом. Задание с первым слагаемым, выраженным цифрой, ис­пытуемые также выполняли пересчитыванием, опираю­щимся на движения пальца по цифре («1, 2, 3, 4, 5 — 6, 7, будет 7»).

По мере перехода от действия с закрытыми предме­тами к действию с только предполагаемой совокупно­стью (задание с жестом) существенно менялся харак­тер движений. Если задание с коробочкой выполнялось посредством надавливаний пальца, медленно смещавшегося, по несколько измененной методике — при частичном закрыва­нии элементов слагаемого — мы перевели еще 6 детей к словесному пересчитыванию с опорой на указанные движения руки. Основные особенности этого перехода и его результаты совпадали се всеми особенностями действия перевести испытуемых.

Если движения по коробочке, то в заданиях с жестом и с циф­рой движения часто приобретали форму легких постуки­ваний (причем смещение пальца по столу еще сохранилось). Эта форма действия была наиболее устойчивой. Запрещение описанных движений, обычно расстраивало детей. Так, при зажатии пальцев четверо испытуемых не могли выполнить задание, а двое производили резкие наклоны туловища, за которыми следовало сло­весное пересчитывание. Характерна такая деталь. Вначале, когда движения были выразительными и отчетливыми (надавливание), называние числительных ясно следовало за выполнением движений. Это отставание становилось все менее заметным по мере уменьшения вы­разительности движений, так что, наконец, трудно было определить, предшествует ли постукивание называнию числительных, или наоборот. В дальнейшем, при много­кратном сложении без предметов, движения пальца совсем исчезали — действие выполнялось чисто словес­ным пересчитыванием. В этот период дети уже могли выполнять и чисто устные задания.

Обсуждение полученных данных позволяет следую­щим образом представить содержание перехода к дей­ствию без предметов. Вначале наши испытуемые зада­ние с закрытыми предметами не выполняли, но когда экспериментатор требовал «сложить», подчеркивая дей­ствительное наличие предметов и даже показывая их (а потом снова закрывал), дети начинали складывать непосредственно не видимые объекты. При этом харак­терные движения пальца по коробочке (например, на­давливания) служили основой для выделения объектов, и для обозначения их числительными. Зависимость на­зывания числительных (при пересчитывании элементов первого слагаемого) от выполнения движений обнару­жилась в двух фактах: в период возникновения словес­ного пересчитывания отчетливо наблюдалось следова­ние числительных за движениями (движения были ве­дущим компонентом счета), а при устранении развер­нутых движений (зажатие пальцев) расстраивалось и называние числительных.

Первоначально эти движения появлялись лишь при полнейшем для ребенка наличии закрытых предметов, но постепенно дети переходили к сложению только предполагаемых количеств. Сами движения при этом сохранялись, однако, они изменяли свою внешнюю форму — «свертывались».

Какова же функция описанных движений? Обратим­ся к анализу их возникновения. Вынужденные действо­вать с вещественным количеством, не данным открыто, дети, очевидно, начинали опираться на ту систему дви­жений, которую приобрели при сложении предметов. Вначале воспроизведение этих движений происходило не при полном отсутствии предметов, а лишь в отноше­нии хотя и скрытых, но все же наличных предметов.

Естественно предположить, что движения руки по­зволяли восстанавливать и одновременно использовать в роли объектов действия каждый элемент скрытой, а затем и совсем отсутствующей предметной совокупности. В этом случае действие осуществлялось так, буд­то имелись предметы, которые могли быть непосредст­венно использованы в процессе сложения. Иначе говоря, дети научились «подразумевать» определенное количе­ство при назывании числительного. Такое «подразумевание» обнаружило себя в форме непосредственного сов­падения двух моментов — отнесения движений руки к скрытым предметам («восстанавливаемым» в роли объ­екта действия) и одновременного их использования в процессе сложения.

Это делает понятным и то обстоятельство, что пере­ход к действию без предметов сам по себе еще не обе­спечивает присчитывания. Если «подразумевание» сна­чала происходит только на основе отнесения движений (соответствующих предметному способу действия) к от­сутствующим предметам, то естественно, что и сложение без предметов вначале выполняется пересчитыванием (предметным способом действия). Слово-числительное для ребенка не обозначает совокупности до того, какой произведет, указанное отнесение, в ходе которого еди­ницы отсутствующей совокупности только и становятся объектом сложения. Это в частности объясняет тот факт, что дети вновь пересчитывают слагаемое тотчас после указания его числительного («3... 1, 2, 3 — 4, 5, будет 5»).

Различные виды движений руки, сочетающиеся со словесным пересчитыванием, мы обнаружили уже в констатирующих опытах (см. выше), но только после формирующих экспериментов стала понятна их генетическая необходимость и назначение.

Дальнейшая задача исследования состояла в опре­делении действительных условий превращения пересчи­тывания в присчитывание. Но вначале нам нужно было более детально установить особенности сложения, вы­полняемого присчитыванием.

Особенности умственного уровня сложения (конста­тирующие опыты). Среди дошкольников старших групп детского сада и учеников 1 класса мы выделили 24 че­ловека, умевших вести непосредственное присчитывание второго слагаемого при сложении предметных совокуп­ностей, а также при сложении и непредметных сла­гаемых (задание с жестом, с цифрой и т. д.). Указывая рукой на первое слагаемое (чаще всего — взмахивая рукой над его предметами), дети произносили числи­тельное, а затем присчитывали к нему второе слагаемое.

Для выявления действительного содержания такого поведения экспериментатор в специальных опытах тре­бовал от испытуемых прямо показывать действие рукой с предметами: «А ты пальцем покажи, как здесь полу­чилось 5 (показывает на первое слагаемое) и как можно сразу начинать считать это (показывает на второе сла­гаемое)». После 2—3 таких указаний часть детей (14 чел.) начала действовать так: при присчитывании касалась пальцем одного элемента первого слагаемого и называла его числительное, а затем присчитывала второе. Но некоторые дети (7 чел.) делали более оп­ределенное движение — они касались пальцем начала ряда первого слагаемого, затем производили характер­ное слитное («сквозное») движение рукой над всеми его предметами и опускали палец на последний элемент этого ряда. Движение сочеталось с протяжным называ­нием заданного числительного. Обозначив таким образом первое слагаемое, дети присчитывали к нему элементы второго («шесть—7, 8, 9, будет 9»).

С первой группой детей были проведены следующие опыты. Когда они обозначали первое слагаемое, прика­саясь к одному N предмету, экспериментатор задавал вопрос: «Разве это 5? Ведь это же один, а нам к 5 нуж­но прибавить 3». Большинство испытуемых переносило палец на соседний предмет и снова называло заданное числительное. Следовал тот же вопрос. Испытуемые, называя числительное, снова дотрагивались до одного элемента слагаемого.

Запрещение такого приема приводило либо к отказу от задания, либо к следующему своеобразному дейст­вию. Притронувшись пальцем к какому-нибудь предмету первого слагаемого и обозначив его как «5», дети вместо перехода на второе пересчитывали первое сла­гаемое, начиная от произнесенного числительного. Лишь после этого они переходили на второе (например, зада­ние «5+2» выполнялось так: «5, 6, 7, 8, 9—10, 11, будет 11»). Эти дети не умели взять все единицы - предметного слагаемого вместе, как целое, хотя формально и сохра­няли присчитывание к первому слагаемому (они начи­нали его пересчитывание от 5, а не от 1).

Дети, прочитывающие подобным образом, факти­чески не умели оперировать вещественным слагаемым как целым. Их присчитывание было тождественно про­стому умению «считать дальше» от любого члена нату­рального ряда чисел. Поэтому мы квалифицировали его как мнимое присчитывание, дающее лишь видимость опоры на понятие о количестве.

В противоположность этому присчитывание в форме слитного («сквозного») движения руки вдоль ряда первого слагаемого выступило как полноценное оперирова­ние целостным количеством Действительно, благодаря такому движению, с которым сочеталось воспроизведение заданного числительного, ребенок действовал со всеми предметами совокупности без оперирования каждой его единицей в отдельности.

В особой серии экспериментов у 16 детей мы пытались образовать полноценное присчитывание в заданиях с непредметными слагаемыми (с подразумеваемым количеством). Однако в этих слу­чаях образовалось лишь мнимое присчитывание (причины его появления подробно рассмотрены в диссертации). Из этих опытов вы­текала указания на необходимость формировать полноценное при­считывание в ситуации сложения предметных совокупностей.

Следующая задача исследования заключалась в том, чтобы проследить процесс образования умения брать количество первого слагаемого как целое – умения, составляющего полноценного присчитывания. Переход к полноценному действию с количеством как с целым (формирующие эксперименты). Нами были проведены эксперименты с 15 испытуемыми, обладавшими словесным пересчитыванием. Среди них было 5 человек, которые приобрели словесное пересчитывание уже в ходе наших опытов (см. выше).

Выше было указано, что полноценное присчитывание внешне выражается в форме слитного движения руки по ряду предметов первого слагаемого. Это движение связано с прямым обозначением всей группы. Методика формирующего эксперимента должна была учесть это обстоятельство: в ходе эксперимента нужно было обес­печить совпадение движения по ряду, втягивающего в сложение все его элементы, с обозначением всей группы, происходящим без предварительного сосчитывания каждой ее единицы. Предварительные Наблюдения показа­ли, что вызвать известное обозначение в процессе дви­жения по ряду можно было вопросом «Сколько здесь?», поставленным в процессе пересчитывания предметного первого слагаемого. Исходя из этого был разработан такой экспериментальный прием: вначале этот воп­рос ставился тогда, когда ребенок готовился перенести палец на последний элемент первого слагаемого. Закан­чивая движение по ряду, ребенок должен был произне­сти числительное, обозначающее всю группу, а затем перейти на второе слагаемое. После 2 — 3 таких заданий вопрос ставился не за один элемент до конца ряда, а за два, потом за три и т. д. Благодаря этому можно было обеспечить совпадение обозначения всего слагаемого (ответ на вопрос) с безостановочным движением руки по ряду — при этом «объем» такого движения мог все более и более увеличиваться.

При вопросе «Сколько здесь», поставленном за один элемент до конца ряда, все испытуемые переносили па­лец на последний предмет, называли числительное, а затем присчитывали второе слагаемое (задание «5 + 2» — «1, 2, 3, 4» — «Сколько здесь?» —«5—6,7»). Но при постановке вопроса за два элемента до конца ряда ответы и последующие действия испытуемых были неодинаковы. Четверо из них, получив вопрос, сразу переносили палец на последний элемент ряда, называли числительное и переходили на второе слагаемое. Один­надцать человек также называли заданное числительное, но при этом не переносили палец на конец ряда.

Назвав числительное, они возвращались к пересчитыва­нию первого слагаемого.

Для этих 11 испытуемых условия эксперимента были несколько изменены: в слагаемое была введена цифра, которая обозначала всю заданную совокупность и одновременно сама входила в нее как ее заключительный элемент (0 0 0 0 5 — «здесь 5...»).

Вводя такой прием, мы учитывали следующее обсто­ятельство, неоднократно выступавшее в нашем исследо­вании. Если детям слагаемое предлагалось в виде на­писанной цифры (вещественно выраженное числитель­ное), то они, как правило, произнося числительное, до­трагивались до цифры пальцем. Так что включив ее к слагаемое, можно было ожидать, что, отвечая на вопрос, дети пронесут палец над рядом и опустят руку на по­следнем элементе (на цифре). И действительно, при вы­полнении такого задания 5 испытуемых в ответ на воп­рос, поставленный за 2 элемента, переносили палец на цифру, называли изображенное числительное и перехо­дили на второе слагаемое.

Но остальные шесть человек хотя и называли числи­тельное, но на второе слагаемое не переходили. Тогда в опытах с ними экспериментатор подчеркивал обозна­чение («здесь 5...5»). Трое детей возвратились к на­чалу ряда и выполнили задание обычным пересчитыванием, но трое других продолжали пересчитывание не­просчитанных элементов первого слагаемого от назван­ного числительного и после этого переходили на второе слагаемое («5 + 2» — «1, 2, 3...» — Сколько здесь?» — «5» — «Так здесь 5, 5» — «6, 7 — 8, 9, будет 9»).

В следующих заданиях эти три испытуемых получа­ли вопрос за 3 — 4 элемента до конца ряда. Столкнув­шись с вопросом, они называли заданное числительное, а затем от него досчитывали элементы первого слагае­мого (задание «6+2» — «1, 2, 3..,» — «Сколько здесь?»— «6, 7, 8—9, 10, будет 10»). Характерно, что заданное числительное произносилось либо только устно, либо в сопровождении указательного жеста на цифру (на последний элемент ряда) — но в обоих случаях отсутст­вовало какое-либо движение, связанное с недосчи­танными, предметами слагаемого.

С 6 детьми, не перешедшими к сложению с «пропуском» элемента самостоятельно, дальнейшие опыты про­водились при прямом обучении этому способу.

Все 15 испытуемых научились «пропускать» в пересчитывании один элемент, сохраняя движение пальца по ряду. В следующих заданиях вопрос ставился за 3 элемента до конца ряда. В этом случае 9 испытуемых, прервав пересчитывание, продолжали движение руки вдоль ряда, одновременно называя известное числитель­ное. Характерно, что числительное, сочетаемое с движе­нием, произносилось протяжно — «ше-е-е-сть». Осталь­ным испытуемым потребовалось дополнительное указа­ние экспериментатора: после вопроса «Сколько здесь?» экспериментатор, не дожидаясь ответа, добавлял: «Здесь во-о-семь». После такого указания испытуемые, продолжив безостановочное движение руки по ряду, на­зывали первое слагаемое и присчитывали второе.

На данном этапе формирующего эксперимента все испытуемые переходили к присчитыванию только после вопроса: «Сколько здесь?» (задание «6 + 3» — «1, 2...»— «Сколько здесь?» — рука испытуемого, двигаясь вдоль ряда, переносится на последний элемент — «ше-е-сть — 7, 8, 9»). Если вопрос не ставился, то пересчитывались все элементы первого слагаемого. Постепенно испытуе­мые переходили к самостоятельной замене пересчиты­вания первых слагаемых непосредственным присчитыванием к ним второго — без вопроса экспериментатора они прерывали пересчитывание и, продолжив слитное движение по оставшимся элементам, называли задан­ное числительное; после этого они переходили на второе слагаемое («1, 2, З...се-е-мь — 8, 9»),

Таким образом, испытуемые приобрели умение пере­ходить от пересчитывания к присчитыванию при сложе­нии предметных групп. Этот способ действия сохранял­ся и при сложении непредметных слагаемых. Дети на­чинали словесное пересчитывание, сопровождаемое жестами в указанное место стола («1, 2,...»), но затем прерывали его и, делая слитное движение по столу, на­зывали заданное числительное («пять — 6, 7, бу­дет 7»). По мере выполнения этих заданий все более сокращалось предварительное пересчитывание и умень­шался «размах» слитного движения. Получив задание, дети делали указательный жест в стол и, назвав числи­тельное, переходили на второе слагаемое.

В этот период испытуемым предлагалось «чисто» устное задание. Оно выполнялось присчитыванием. При этом первое слагаемое могло вслух и не называться — дети сразу производили прибавление элементов второго (задание «4 + 2» — «...—5, 6, будет 6»).

В порядке контроля испытуемым вновь предлагалось Предметное задание. Оно, как правило, выполнилось - следующим образом: ребенок взмахивал рукой над группой первого слагаемого, называл его числительное и переходил ко второму. Тогда экспериментатор требо­вал: «А ты покажи, как это к 4 сразу прибавить эти (показывает на второе слагаемое) — покажи пальцем. Все испытуемые умели «показать» свое присчитывание. Они проносили палец над всем рядом предметов пер­вого слагаемого и только после этого начинали присчитывать второе («че-е-ты-ре— 5, 6, будет 6»).

Приведенные материалы позволяют определить Дей­ствительное содержание пересчитывания, созданного в условиях описанных экспериментов. Оно намечается при сравнении двух видов воспроизведения заданного чис­лительного. Когда воспроизведение числительного, даже относимого к последнему элементу ряда (к цифре), происходило без сохранения движения руки по элементам слагаемого, дети возвращались к досчитыванию единиц, которые были «пропущены» при назывании числительного. Эти единицы не принимались за сосчи­танные, если даже называлось то числительное, которое наперед обозначало результат их пересчитывания. И наоборот — при воспроизведении числительного на основе сохраняющегося движения по ряду возвраще­ния к «пропущенным» единицам не было. Правда, в этом случае изменялась форма движения пальца по всем элементам слагаемого — изменялась так, что еди­ницы, не подвергшиеся действительному пересчитыванию, все же оставались объектами особого — слитного, «сквозного» — движения, в ходе которого воспроизводи­лось обозначение заданного количества. Благодаря это­му второе слагаемое прочитывалось так, будто все элементы первого были действительно пересчитаны.

При слитном движении не было остановок на каж­дой единице в отдельности, но оно приводило к тому же результату, что и пересчитывание по единице. По смыс­лу этой ситуации слитное движение, проводимое совместно с обозначением всей группы, превращало отдель­ные ее единицы в как бы сосчитанные, или, можно ска­зать, в условно сосчитанные. Овладевая таким движением, ребенок учился определять результат действия, сообщаемый другим человеком в виде числительного, без развернутого выполнения самого этого действия, реально приводящего к результату

Когда реальное движение по ряду свертывалось, носителем количества как целого становилось только числительное, и в этом смысле оно превращалось в число как понятие о количестве.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подытоживая полученные материалы, мы можем сформулировать несколько положений, характеризую­щих процесс образования у ребенка начального понятия о количестве.

Действие с числительным, обозначающим количество безотносительно к непосредственной предметной сово­купности, возникает при переходе к действию с «подра­зумеваемым» количеством, задаваемым словесно. Про­веденные опыты дают основание полагать, что условием «подразумевания» сначала является отнесение движе­ний руки, выработанных при оперировании непосредст­венно данными предметными слагаемыми, к скрытым предметам, благодаря чему они мысленно восстанавливаются и используются в роли объектов действия.

При оперировании предметами количественная сто­рона не может быть физически отделена от других их свойств и стать самостоятельным объектом физического действия, хотя, по существу, она является единственной стороной, на которую первоначально ориентируется арифметическое действие (в результате его обобщения). Но удалив предметы, мы создаем возможность для дей­ствительного отделения, абстрагирования их количест­венной стороны и для превращения ее в особый объект действия. Поэтому словесно указанное лишь подразу­меваемое количество является необходимой промежу­точной ступенью для последующего понятия числа, хотя само по себе оно является только абстрактным количе­ством, отвлеченным от конкретных предметов.

Таким образом, обобщение количества не всегда совпадает с его абстракцией от предметов, как непо­средственных объектов действия.

Действие с абстрактным количеством первоначально производится в форме пересчитывания. Следовательно, на этой стадии сложения числительное еще не несет в себе количества как целого и с этой стороны не высту­пает как понятие. Абстракция количества - от предметов не совпадаете образованием понятия о количестве.

Превращение числительного, только указывающего на предметное или абстрактное количество, в понятие о количестве требует особого, преобразования пересчиты­вания, для чего необходимо вновь обратиться к предме­там. Преобразование пересчитывания состоит в том, что в нем снимается момент остановки на каждой еди­нице и в то же время сохраняется действие со всеми элементами совокупности. Продукт такого преобразования, имеющий форму слитного движения по предметно­му количеству, выполняет функцию условного пересчитывания (как бы пересчитывания). В свернутом виде это движение и выступает как умение действовать со словесно заданным количеством как целым (т. е. в форме понятия). Оперируя понятием о количестве, ребенок и само сложение производит иначе — путем непосредствен­ного присчитывания второго слагаемого. Слитное движе­ние, обнаруживаемое в присчитывании предметных количеств, осуществляется наперекор исходному способу дей­ствия с предметным объектом — перёсчитыванию по единице. Преодоление предметного способа действия и является показателем того, что ребенок владеет не числи­тельным - указанием, а числом, как понятием о количестве.

 

Основное содержание диссертации отражено в сле­дующих статьях:

1. Давыдов В. В., Образование начального поня­тия о количестве у детей, «Вопросы психологии», 1957, №2.

2. Давыдов В. В., Об образовании начального понятия числа у ребенка, «Доклады АПН РСФСР», 1957, № 2..

3. Давыдов В. В., О методике исследования усвоения понятий детьми. «Доклады АПН РСФСР», 1957, №4.