Метод наискорейшего спуска

 

Метод вычисления градиента – с центральной пробой

Алгоритм вычисления-x= x-h*gradR(x)

Алгоритм коррекции шага h=h*2 или h=h или h=h/3

Очередная точка х1=-0,6357,х2= -0,0596, R(х1, х2)=-0,4 70740

Рассмотрим метод,проведя со всеми типами критериев оптимальности исследования.

 

А) Изменяем пробный шаг

 

Пробный шаг, g	Очередная точка, R(х1, х2)
x-h*gradR(x)	x= x-h*cos(fi)
0,000001	-0,4 70740	-0,4 70740
0,000010	-0,4 70740	-0,4 70740
0,000050	-0,4 70740	-0,4 70740

 

При изменении пробного шага (увеличение/уменьшение) значение оптимума функции не изменилось. Следовательно, величина пробного шага не влияет на точность достижения оптимума.

Изменили способ численного вычисления градиента. Значение минимума функции не изменилось. Следовательно, способ численного вычисления градиента не влияет на точность достижения оптимума.

 

Б) Изменяем рабочий шаг

 

Рабочий шаг, h	Очередная точка, R(х1, х2)
x-h*gradR(x)	x= x-h*cos(fi)
0,01000	-0,471568	-0,442378
0,10000	-0,4 70740	-0,4 70740
0,50000	-0,4 57096	-0,471568

 

При изменении величины рабочего шага h для каждого из двух алгоритмов формирования рабочего шага (величина рабочего шага, пропорциональная градиенту R(x) или величина рабочего шага, пропорциональная направляющему косинусу градиента R(x)) значение критерия оптимальности изменилось: при уменьшении стало меньше(эффективность повысилась), при увеличении стало меньше(эффективность повысилась). Изменение величины рабочего шага h влияет на характер поиска: чем меньше рабочий шаг, тем больше шагов требуется совершить для нахождения оптимума. Следовательно, величина рабочего шага оказывает влияние как на эффективность поиска оптимума, так и на характер его поиска.

 

В) Изменяем алгоритм коррекции шага

 

Алгоритм коррекции шага h	Очередная точка, R(х1, х2)
x-h*gradR(x)	x= x-h*cos(fi)
h=h/2 или h=h	-0,466702	-0,466702
h=h*2 или h=h или h=h/3	-0,4 70740	-0,4 70740

 

При изменении алгоритма коррекции коэффициента пропорциональности шага для каждого из двух алгоритмов формирования рабочего шага (величина рабочего шага, пропорциональная градиенту R(x) или величина рабочего шага, пропорциональная направляющему косинусу градиента R(x)) значение критерия оптимальности увеличилось. Изменение алгоритма коррекции коэффициента пропорциональности шага влияет на характер поиска: при алгоритме коррекции шага h=h/2 или h=h, требуется совершить большее количество шагов, чем при алгоритме коррекции шага h=h*2 или h=h или h=h/3. Следовательно, алгоритм коррекции коэффициента пропорциональности шага не влияет на эффективность нахождения оптимума, но влияет на характер его поиска.

 

Г)

Алгоритм вычисления	Очередная точка, R(х1, х2)
x= x-h*gradR(x)	-0,4 70740
x= x-h*cos(fi)	-0,4 70740

 

При алгоритме формирования рабочего шага, при котором величина рабочего шага пропорциональна градиенту R(x), нахождение оптимума возможно, так же как и при алгоритме формирования рабочего шага, при котором величина рабочего шага пропорциональна направляющему косинусу градиента R(x); но при первом способе трудозатрат требуется меньше. Следовательно, алгоритм рабочего шага влияет на трудозатраты и не влияет на возможность нахождения оптимума.

 

Д)Погрешность влияет на результат оптимизации следующим образом: чем меньше погрешность, тем точнее результат оптимизации.

 

Вывод

Рассмотрели два градиентных метода: метод наискорейшего спуска и градиентный метод. Выяснили влияние различных типов критериев оптимальности на результат оптимизации. Метод наискорейшего спуска лучше.