Токи при размыкании и замыкании цепи

При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т.е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.

Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. E_i, сопротивление R и индуктивность L. Под действием внешней э.д.с. в цепи течет постоянный ток I _o =E/ R (внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).

В момент времени t = 0 отключим источник тока. Ток через катушку индуктивности начнет уменьшаться, что приведет к возникновению эдс самоиндукции E_s= – L (d I /d t), препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I =E _s / R, или

IR =– L (d I /d t). (18.1)

Разделив переменные, получим d I / I = – R d t / L. Интегрируя это уравнение по I (от I _o до I) и t (от 0 до t), находим ln(I / I _o) = – Rt / L, или

I (t) = I _o exp (– t / τ), (18.2)

где τ = L / R – постоянная, называемая временем релаксации, равная времени, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Таким образом, в процессе отключения источника э.д.с. сила тока убывает по экспоненциальному закону (18.2) и определяется кривой 1 на рис. (19). Чем больше индуктивность цепи и меньше сопротивление, тем больше τ и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.

При замыкании цепи помимо внешней э.д.с E возникает э.д.с самоиндукции E_s= – L (d I /d t), препятствующая, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома IR = E + E_s или

IR = E – L (d I /d t). Введя новую переменную u = IR – E, преобразу- Рис.19. ем это уравнение к виду d u / u = – d t / τ, где τ – время релаксации.

В момент замыкания (t = 0) сила тока I =0 и u = –E. Следовательно, интегрируя по u (от –E до IR –E) и t (от 0 до t), находим ln[(IR –E)/(–E)] = – t / τ, или

I (t)= I _o[1-exp(– t / τ)], (18.3)

где I _o= E/ R – установившийся ток (при t → ¥).

Таким образом, в процессе включения источника э.д.с нарастание силы тока в цепи задается функцией (18.3) и определяется кривой 2 на рис.19. Сила тока возрастает от начального значения I =0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I _o= E/ R. Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации τ = L / R, что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.

Контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как возникновение при этом значительных э.д.с. самоиндукции может привести к пробою изоляции и выводу из строя электрических приборов.