Тема 1. Аксиоматическое построение множества действительных чисел

Структура и содержание дисциплины

Разделы дисциплин и виды занятий

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Лекции	Практические занятия	Лабораторные занятия	Семинары	СРС	Всего
	Построение аксиоматики множества действительных чисел.
	Метрические пространства. Непрерывные функции в школьном курсе математики
	Дифференцируемость функции. Производная в школьном курсе математики
	Интегрируемость функции. Интеграл в школьном курсе математики
	Разложение элементарных функций в степенные ряды
	Всего

Содержание разделов дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела
	Построение аксиоматики множества действительных чисел.	Аксиоматическое построение множества действительных чисел. Различные формулировки аксиомы непрерывности и их эквивалентность. Принцип стягивающихся отрезков. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Действительные числа в школьном курсе математики. Применения различных форм аксиомы непрерывности. Способы построения показательной функции. Показательная функция в школьном курсе математики.
	Метрические пространства. Непрерывные функции в школьном курсе математики	Метрические пространства: определение и примеры. Ограниченные, сходящиеся и фундаментальные последовательности в метрических пространствах, их свойства. Полные и неполные метрические пространства. Последовательности в школьном курсе математики. Непрерывные отображения метрических пространств. Компакты и их свойства. Свойства непрерывных функций на компактах. Непрерывные функции в школьном курсе математики.
	Дифференцируемость функции. Производная в школьном курсе математики	Дифференцируемость, производная, дифференциал функции одной переменной. Дифференцируемость, частные производные, дифференциал функции нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости функции одной и нескольких переменных. Производная в школьном курсе математики. Исследование функции одной и нескольких переменных на экстремум. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Нахождение экстремальных значений функций. Исследование функций и построение их графиков в школьном курсе математики.
	Интегрируемость функции. Интеграл в школьном курсе математики	Определенный интеграл и двойной интеграл: определение, свойства, вычисление, приложения. Суммы Дарбу и интегральные суммы Римана. Интегральное определение логарифмической функции. Дифференциальные уравнения первого порядка. Интеграл в школьном курсе математики.
	Разложение элементарных функций в степенные ряды	Числовые ряды в действительной и комплексной области. Классические признаки сходимости и признаки сходимости Раабе, Куммера, Дирихле. Теорема Римана о перестановках условно сходящихся рядов в действительной и комплексной области. Степенные ряды в действительной области, их свойства. Ряд Тейлора. Разложение элементарных функций в степенные ряды. Степенные ряды в комплексной области. Тригонометрические и показательная функции комплексной переменной. Формулы Эйлера. Логарифмическая и степенная функции как примеры многозначных функций.

Содержание практических (семинарских, лабораторных) занятий по дисциплине

Раздел 1. Построение аксиоматики множества действительных чисел.

Тема 1. Аксиоматическое построение множества действительных чисел.

Вопросы для обсуждения:

1. Различные формулировки аксиомы непрерывности и их эквивалентность.
2. Принцип стягивающихся отрезков. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Задания для самостоятельной работы:

- Действительные числа в школьном курсе математики.

- Построение примеров на использовании теоремы Больцано-Вейерштрасса.

Список литературы: [1, §8-10; 4, §2-4].