Возведение в целую степень. Действия с многочленами

I. Действия с комплексными числами.

1) Равенство. Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части: z₁=(a₁,b₁), z₂=(a₂,b₂). Если z₁=z₂ Û a₁=a₂, b₁=b₂.Операция сравнения не определена. Множество комплексных чисел- неупорядоченное множество.

2) Сложение. z₁+z₂=(a₁+a₂,b₁+ b₂).

Пример: (0,1)+(1,0)=(1,1).

3) Умножение. z₁·z₂=(a₁ a₂-b₁ b₂, a₁b₂+a₂b₁).

Операции сложения и умножения включают действия с действительными числами.

Пример: Умножение чисто вещественного числа на чисто мнимое число.

(b,0)x(0,1)=(0,b)= ib -тем самым чисто мнимое число есть произведение соответствующего действительного числа на мнимую единицу.Þ алгебраическая форма записи комплексного числа z=a+ib=Re z+i Im z.

Обратные операции.

4) Вычитание. z₁-z₂=(a₁-a₂,b₁- b₂).

5) Деление. .

Пример. 1/i = -i.

Возведение в целую степень. Действия с многочленами.

Примеры: i²=i*i=(0,1)(0,1)=-1.

z=(a,b)=a+ib. z²=(a+ib)²=a²+2iab-b²=(a²-b²)+i2ab => Re z²=(a²- b²), Im z²=2ab.

7) Комплексное сопряжение. z=(a, b)=a+ib; Re z= a, Im z=b;

z^*= (a,-b)=a-ib. Re z^*=a; Im z^*= -b. => Re z =(z+z^*)/2; Im z =(z-z^*)/2i.

Некоторые свойства. (z₁±z₂)^*= z₁^*±z₂^*; (z₁z₂)^*= z₁^*z₂^*;(z₁/z₂)^*= z₁^*/z₂^*; (z^*)^*=z.

Примеры. z z^*=(a+ib)(a-ib)=a²+b²; (z z) ^*=(z²)^*= (a²- b²)-i2ab; z₁/z₂= z₁ z₂^*/ z₂ z₂^*.

i ^*=-i; 1^*=1.

Определение Числовая плоскость R² называется комплексной плоскостью C, если для ее точек определены модули, операции сложения и умножения. Точки комплексной плоскости С называются комплексными числами.