I. Действия с комплексными числами.
1) Равенство. Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части: z1=(a1,b1), z2=(a2,b2). Если z1=z2 Û a1=a2, b1=b2.Операция сравнения не определена. Множество комплексных чисел- неупорядоченное множество.
2) Сложение. z1+z2=(a1+a2,b1+ b2).
Пример: (0,1)+(1,0)=(1,1).
3) Умножение. z1·z2=(a1 a2-b1 b2, a1b2+a2b1).
Операции сложения и умножения включают действия с действительными числами.
Пример: Умножение чисто вещественного числа на чисто мнимое число.
(b,0)x(0,1)=(0,b)= ib -тем самым чисто мнимое число есть произведение соответствующего действительного числа на мнимую единицу.Þ алгебраическая форма записи комплексного числа z=a+ib=Re z+i Im z.
Обратные операции.
4) Вычитание. z1-z2=(a1-a2,b1- b2).
5) Деление. 
.
Пример. 1/i = -i.
Возведение в целую степень. Действия с многочленами.
Примеры: i2=i*i=(0,1)(0,1)=-1. 
z=(a,b)=a+ib. z2=(a+ib)2=a2+2iab-b2=(a2-b2)+i2ab => Re z2=(a2- b2), Im z2=2ab.
7) Комплексное сопряжение. z=(a, b)=a+ib; Re z= a, Im z=b;
z*= (a,-b)=a-ib. Re z*=a; Im z*= -b. => Re z =(z+z*)/2; Im z =(z-z*)/2i.
Некоторые свойства. (z1±z2)*= z1*±z2*; (z1z2)*= z1*z2*;(z1/z2)*= z1*/z2*; (z*)*=z.
Примеры. z z*=(a+ib)(a-ib)=a2+b2; (z z) *=(z2)*= (a2- b2)-i2ab; z1/z2= z1 z2*/ z2 z2*.
i *=-i; 1*=1.
Определение Числовая плоскость R2 называется комплексной плоскостью C, если для ее точек определены модули, операции сложения и умножения. Точки комплексной плоскости С называются комплексными числами.
