Тензоры

И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕНИЙ

Для изучения движения сплошной среды в связи с причинами, которые это движение вызывают, вводят понятие о силах. Силы могут быть внешними и внутренними. Первые являются следствием воздействия на рассматриваемое тело других тел, а вторые возникают в результате взаимодействия элементов данного тела. Внешние и внутренние силы могут быть двоякого рода: объемные (или массовые) и поверхностные. Объемная сила действует на массу, заключенную в произвольном элементе объема тела, например сила тяжести.

 

Рис. 4. Схема действия массовых и поверхностных сил в объеме V

 

Пусть (x,t)— объемная сила, отнесенная к единице объема. Тогда сила, действующая на бесконечно малый объем dV, равна

dV, а на объем V —равна dV (рис. 1).

Поверхностная сила действует на элементы, которые можно мысленно выделить внутри тела или на его поверхности.

Сила, действующая на бесконечно малый элемент поверхности dS, равна dS, где — вектор силы, рассчитанный на единицу площади элемента и приложенный в любой его точке, называется вектором напряжения или просто напряжением (см. рис. 1).

Напряжение зависит от положения элемента dS, т. е. от ориентировки его

в теле. Если требуется указать, что напряжение относится к площадке с нормалью п, то пишут .

Проекции этого вектора на оси произвольной системы координат Ох₁х₂х₃ обозначаются через σ_nj (j= 1, 2, 3). В частности, проекции напряжений _xi, отнесенные к площадкам, перпендикулярным к координатным осям Ox_i, обозначаются через σ_ij (i,j = 1,2,3), где σ_ii называются нормальными напряжениями, а σ_ij = σ_ji (i≠j) — касательными напряжениями, действующими на этих площадках (рис. 5). Легко доказать следующие очень важные соотношения:

σ_nj = (i, j = 1,2,3), (1.29)

которые позволяют найти компоненты вектора напряжения для произвольной площадки с нормалью , проходящей через точку М; α_i = cos(n, х_i) (i = 1, 2, 3).

Поэтому говорят, что совокупность шести величин σ_ij, называемых компонентами симметричного тензора напряжений, полностью характеризует напряженное состояние в точке тела М.

 

 

Рис. 5. Расположение компонент тензора напряжений относительно выбранной декартовой системы координат

 

 

Рис. 6. Векторы напряжений в точке М, действующие в двух произвольно ориентированных площадках

 

 

 

 

Рис. 7. Нормальная и касательная проекции вектора напряжения

 

 

Пусть заданы две площадки, проходящие через одну и ту же точку М (рис. 6). Используя формулу (1.29), нетрудно доказать, что проекция напряжения , действующего на первую площадку, на нормаль ко второй равна проекции напряжения , действующего на вторую площадку, на нормаль к первой и вычисляется по формуле

(1.30)

где α_1i и α_2j — направляющие косинусы нормалей и . Эта формула позволяет вычислить проекцию на любое направление вектора напряжения, действующего на данную площадку. В частности, проектируя вектор на направление нормали, получаем нормальное напряжение (рис. 7)

(1.31)

Касательное напряжение на этой же площадке равно

(1.32)

где σ_n — величина вектора напряжения .

Из формулы (1.30) следуют формулы перехода от одной системы Ох₁х₂х₃ координат к другой О ;

(1.33)

где σ'_кr — компоненты тензора напряжений относительно новой системы координат;

α_кi = cos (), α_rj = cos ().

Например, зависимость между напряжениями в декартовой (Ох₁х₂х₃) и цилиндрической (r, θ, z) системах координат с общей осью Ox₃ = Oz имеет вид

σ_rr = σ₁₁cos²θ + σ₂₂ sin²θ + σ₁₂ sin 2θ;

σ_θθ= σ₁₁ sin²θ + σ₂₂ cos²θ - σ₁₂ sin 2θ;

σ_zz = σ₃₃; (1.34)

σ_rθ = (σ₂₂ - σ₁₁)sin 2θ + σ₁₂ cos2θ;

σ_rz = σ₁₃ cosθ + σ₂₃sin θ;

σ_θz= - σ₁₃ sinθ + σ₂₃ cosθ;

где σ_rr —радиальное напряжение, действующее на площадке, перпендикулярной к радиусу; σ_θθ — тангенциальное (окружное) напряжение, действующее на площадке, нормаль которой перпендикулярна к радиусу.

Принимая во внимание известные соотношения аналитической геометрии

из формул (1.33) после суммирования левой и правой частей по к (при r = к) получается важное соотношение

(1.35)

Оно показывает, что величина σ, называемая средним нормальным напряжением, инвариантна по отношению к преобразованию системы координат.

Характерной особенностью напряженного состояния сплошной среды является наличие в каждой точке тела, по крайней мере, трех взаимно перпендикулярных площадок, на которых касательные напряжения σ_ij (i≠j) равны нулю. Направления нормалей к этим площадкам образуют главные направления, которые не зависят от исходной системы координат. Соответствующие напряжения σ_ii=σ_i называются главными нормальными напряжениями. Поэтому любое напряженное состояние в рассматриваемой точке может быть вызвано растяжением (сжатием) окрестности точки в трех взаимно перпендикулярных направлениях.

Главные нормальные напряжения могут быть найдены из следующего кубического уравнения:

корни этого уравнения могут быть только вещественными.

Так как решения этого уравнения х_i = σ_i (i=1,2, 3) не зависят от выбора системы координат, коэффициенты σ, А, В также не должны зависеть, т. е. они инвариантны. Это еще одно доказательство инвариантности среднего напряжения

(1.36)

Два других инварианта физического смысла не имеют.

(1.37)

Рис. 8. Диаграмма Мора:

/, 2, 3 — окружности, координаты которых определяют нормальные и касательные напряжения на площадках, проходящих через главные оси 1, 2, 3 соответственно

Если главные направления совпадают с координатными осями (Ох_i), то формулы (1.31) — (1.34) упрощаются. Например, формулы (1.31) и (1.32) принимают вид

(1.38)

где α_i = cos (n, x_i).

Отсюда нетрудно получить, что напряжения р_п и τ_n могут лежать только внутри области, заштрихованной на рис.8. Это так называемая диаграмма Мора, дающая наглядное представление о напряжениях в различных сечениях, проходящих через данную точку. Здесь принята нумерация главных осей такой, чтобы выполнялись условия

σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ (1.39)

Практический интерес представляют сечения, проходящие через главные оси. На рис. 8 точкам какой-либо окружности 1, 2 или 3 отвечают площадки, содержащие соответствующую главную ось.

Если площадка содержит главную ось Ox₁ и наклонена под углом θ к оси Ох₂, то из формул (1.38) получается

Эти напряжения соответствуют координатам точек окружности № 1 (см. рис. 8).

По аналогии можно записать формулы для напряжений, действующих на площадках, проходящих через две другие главные оси, иначе, для координат точек окружностей № 2 и 3 на рис. 8.

При θ = π/4, т. е. в сечениях, делящих пополам углы между главными плоскостями, касательные напряжения принимают экстремальные значения

называемые главными касательными напряжениями,

а нормальные напряжения равны полусуммам

что соответствует координатам центров окружностей 1, 2 и 3 (см. рис. 8). Наибольшее из значений τ_i (i = 1, 2, 3) называется максимальным касательным напряжением и обозначается τ_max. Если условия (1.39) выполняются, то τ_max = τ₂.

Так как различные тела обладают различными механическими свойствами по отношению к сдвигу и равномерному всестороннему сжатию, удобно компоненты тензора напряжения представить в виде суммы

где S_ij —компоненты тензора, характеризующего касательные напряжения в данной точке и называемого девиатором напряжений.

Нормальные составляющие девиатора обозначают S_ii = σ_ii — σ, а касательные составляющие s_ij = σ_ij (i≠j).

Главные направления девиатора напряжений (S_ij) и тензора напряжений (σ_ij) совпадают, а главные значения s_i отличаются от σ_i, на величину среднего (гидростатического) давления и определяются кубическим уравнением

-s³ + A₁s+B₁=0,

все корни которого также вещественны.

Инварианты A₁ и В₁ легко получить из формул (1.37), если заменить σ_ij на s_ij и σ_i на s_i.

Неотрицательную величину

(1.40)

называют интенсивностью касательных напряжений.

Часто рассматривают приведенное напряжение или интенсивность напряжений

(1.41)

Величина Т равна нулю только в том случае, когда напряженное состояние есть состояние гидростатического давления.

Доказывается, что с погрешностью не более 7% имеет место равенство

Т ≈ 1,08 τ_max.

Для характеристики вида напряженного состояния, подобно характеристике деформационного состояния, используется параметр, введенный Лоде и Надаи:

который изменяется в пределах от —1 до +1. Он указывает на взаимоотношение главных нормальных напряжений, в частности на положение точки σ₂ на диаграмме Мора. Для одних и тех же величин μ_σ диаграммы Мора подобны.

Для чистого растяжения элемента (σ₁>0, σ₂= σ₃ = 0) μ_σ= —1, для чистого сжатия (σ₁ = σ₂ = 0, σ ₃<0) μ_σ= 1, для сдвига (σ₁ >0, σ₂=0, σ ₃ = — σ₁) μ_σ= 0, для гидростатического давления (σ₁ = σ₂ = σ ₃) μ_σ не имеет смысла.

§ 4. Источник и сток в пространстве.

Рассмотрим еще один важный для дальнейшего пример потенциального течения. Пусть

(1.42)

где , a Q = const или Q = Q (t). Ясно, что поверхностями равного потенциала j = const являются в этом случае поверхности r = const, т. е. концентрические сферы с центром в начале координат. Скорость v = grad j ортогональна к этим сферам, т. е. направлена по радиусам. Линии тока являются лучами, выходящими из начала координат.

Пусть Q > 0; тогда, так как grad j направлен в сторону роста j, то v направлена по r. Если Q < 0, то v направлена по - r (рис. 6). Величина скорости равна:

|(grad j_r)| = .

 

Рис. 6

 

Скорость стремится к нулю при r ® ¥ и к бесконечности при r ® 0. Точки нуль и бесконечность являются критическими. При Q > 0 (1) имеем

вытекание жидкости из начала координат во всех направлениях — это течение называется точечным пространственным источником. При Q < 0 (2) — втекание жидкости в начало координат — сток. В первом случае в бесконечно удаленной точке имеем источник, а во втором — сток.

Вычислим объем жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность сферы S некоторого радиуса r с центром в начале координат. Через элемент сферы ds за единицу времени протекает объем жидкости v ds, а через всю сферу

(расход жидкости)

(v можно вынести за знак интеграла, так как v = const на поверхности сферы). Заметим, что первые два равенства верны всегда, когда v = v (r) и v ортогональна к поверхности сферы S. Вычисленный объем жидкости не зависит от r. Таким образом, несмотря на то, что на разных сферах разного радиуса с центром в начале координат скорости разные, постоянная Q в потенциале j (1.42) является объемом жидкости протекающей за единицу времени через каждую такую сферу. Величина Q называется расходом или мощностью источника (стока).

Если Q = const, то источник или сток имеет постоянную мощность; если Q = Q (t) — то переменную. Если в некоторый момент времени Q меняется в начале координат, то мгновенно измеряется поле скоростей во всем пространстве. Сигналы изменение Q сразу сказываются на всем поле скоростей, что, конечно, не может иметь места в действительности. Возмущения должны распространяться с некоторой конечной скоростью. Поэтому рассмотренное поле скоростей является определенной идеализацией, которая может достаточно хорошо отражать действительность только в том случае, когда рассматриваются течения жидкости с большой скоростью распространения возмущений. Во многих случаях можно считать, что такой жидкостью является, например, вода, в которой скорость распространения слабых возмущений 1450 м/сек.

Греческий алфавит

Α α – альфа Ν ν – ни (ню)

Β β – бэта Ξ ξ – кси

Γ γ – гамма Ο ο – омикрон

Δ δ – дельта Π π – пи

Ε ε – эпсилон Ρ ρ – ро

Ζ ζ – дзэза Σ σ – сигма

Η η – эта Τ τ – тау

Θ θ – тэта Υ υ – ипсилон

Ι ι – иота Φ φ – фи

Κ κ – каппа Χ χ – хи

Λ λ – ламбда Ψ ψ – пси

Μ μ – ми (мю) Ω ω – омега

 

 

 

 

 

 

 

 

- набла (от греч.-ναβλα - арфа) – знак действия над полем (оператор) –

этот оператор Гамильтона векторно-дифференциальный

 

¢

£

¤

¥

¿

ñ

æ

ě

ę

Ģ

į

Ķ

Ł

ł

Œ

œ

ə

ΐ

‰

₤

₧

₪

₫

€

℅

™

 

ТЕНЗОРЫ

Понятие тензора (от латинского tendo — напрягаю, растягиваю) принадлежит к числу основных, фундаментальных математических понятий и широко применяется сейчас в механике, электродинамике, теории относительности и т. д. Первоначально возникшее в рабо­тах XIX века по теории упругости, оно было систематически иссле­довано в 1886 —1901 гг. итальянским геометром Г. Рйччи-Курбастро (1853—1925) и итальянским математиком и механиком Т. Лёви-Чивйта (1873—1942).

 

 

Внимание к новому аппарату существенно возросло после создания в 1915 —1916 гг. великим ученым, физиком А. Эйнштейном (1879 — 1955) общей теории относительности, мате­матическая часть которой целиком основана на тензорном исчислении. Физические величины, которые нам встре­чались до сих пор, были либо скалярными, либо векторными. Однако существуют физические величины более сложной природы.

Например, однородное напряженное состоя­ние упругого тела характеризуется плотностью р силы, с которой одна часть тела действует на другую через мысленно вы­деленную плоскость (Q) (рис. 1); однако при этом р для различных направлений плоскости (Q) будет различным. Таким образом, вели­чина, характеризующая напряженное состояние, уже не является вектором, она представляет собой тензор 2-го ранга. Оказывается, что и многие другие важные величины, характеризующие состояние сплошных сред, также являются тен­зорами.

К настоящему времени тензорная алгебра, а также тензорный анализ (т. е. теория тензорных полей, связанная с применением диф­ференцирования и интегрирования) представляют собой значительно разработанные дисциплины.

 

§ 1. Тензорная алгебра

1. Примеры. К понятию тензора можно прийти уже размышляя над описанием векторов в обычном пространстве с помощью чисел. Как известно из векторной алгебры, все действия над векторами удобно осуществлять, выбрав евклидов базис i, j, k, после чего можно любой вектор а разложить по этому базису

а = а_хi + а_уj+ a_zk (1)

и взамен действий над векторами осуществлять действия над их про­екциями, т. е. над числами — коэффициентами разложений. Более того, даже задавать конкретные векторы обычно бывает удобнее с помощью разложения (1), чем каким-то геометрическим способом.

Однако задумаемся теперь, что это за векторы i, j, k. В некото­рых случаях, когда в задаче имеется естественная система отсчета направлений (например, во многих задачах статики), эти векторы можно описать вполне точно, «привязав» их к данным задачи. Но во многих случаях привлечение такой «абсолютной» системы отсчета является весьма искусственным либо вообще невозможно. Тогда по­лучается на первый взгляд парадокс: мы пользуемся проекциями вполне определенного вектора, которые зависят от выбора базиса, но не уточняем, как этот базис выбирается...

Эта трудность будет преодолена, если с самого начала отка­заться от выбора какого-то одного базиса, а считать, что все ба­зисы равноправны и каждому выбору базиса i, j, k отвечает на­бор значений а_х, а_у, а_z в соответствии с формулой (1). Подобный набор величин, приобретающих определенные значения лишь после выбора базиса и преобразующихся по определенному правилу при за­мене базиса (см. ниже), и называется тензором (или тензорной вели­чиной), а сами эти величины, составляющие в определенном порядке тензор, называются его компонентами. (Отметим некоторое несо­ответствие: в векторной алгебре принято компонентами вектора A называть в е к торы а_хi, а_уj, a_zk. Однако здесь мы будем компонентами называть величины а_х, а_y, а_z.)

В тензорном исчислении принято не писать знак суммы по повто­ряющемуся индексу, а при повторении индекса всегда осуществлять такое суммирование, т. е. писать последнюю формулу.

Здесь индекс суммирования является немым и может быть обозна­чен любой буквой, а пределы суммирования определяются размер­ностью пространства, в котором рассматривается тензор.

 

Напряженное состояние в окрестности точки

Если через произвольную точку тела провести три взаимно перпендикулярные площадки параллельно координат­ным плоскостям, то девять составляющих (компонент) напря­жения: три нормальных а_х, а_у, ст_г и шесть касательных х_ху, т,₂, т_2Х, т_ух, t_xz, х_zy, действующих на этих площадках (рис. 4.1),

полностью определяют напряженное состояние в окрестности данной точки. Это означает, что, зная эти девять величин, можно найти напряжения на любой наклонной площадке, проходя­щей через данную точку. Слово «со­ставляющая» или «компонента» в дальнейшем для краткости будем опускать.

Все девять напряжений можно обозначить одинаково, например, Gij{hj=x, У, z). Тогда при г'=у получа­ются нормальные напряжения, в которых сохраняется только один индекс, а при i Ф]—касательные напряжения. Первый индекс указывает, параллельно какой оси направлено напряже­ние, а второй обозначает нормаль к площадке, на которой оно действует. Это правило непосредственно относится к касатель­ным напряжениям, но им также можно пользоваться и для нормальных напряжений, если употреблять обозначения <у_и.

Нормальные напряжения считаются положительными, если они направлены в сторону внешней Нормали к площадке, и наоборот. В соответствии с этим правилом положительные нормальные напряжения считаются растягивающими, а от­рицательные — сжимающими.

Для касательных напряжений принимается следующее правило знаков. На площадке, внешняя нормаль к которой направленав положительном (или отрица­тельном) направлении соответст­вующей оси, касательное напряже­ние считается положительным, ес­ли оно также направлено в поло­жительном (или отрицательном) направлении оси. На рис. 4.1 пока­заны положительные напряжения.

Проведем вблизи точки О тела произвольную наклонную площад­ку ABC, площадь которой обозна­чим через dF(рис. 4.2). Положение этой площадки может быть опреде­лено углами, которые составляет нормаль v с осями координат.

Как известно из аналитической геометрии, направляющие косинусы нормали связаны между собой соотношением

l² + m²+n² = 1. (4.1)

Полное напряжение p_v, действующее на этой площадке, можно спроектировать на оси координат. Проекции p_xv, p_yv, p_zv определяются из уравнений равновесия тетраэдра ОАВС. Составим сумму проекций всех сил, приложенных к граням тетраэдра, на ось Ох (на рис. 4.2 на вертикальных и горизон­тальной гранях тетраэдра показаны только те напряжения, которые дают проекции на ось