Модель Г. Марковица

Теоретические построения Марковица построены на ряде предположений, часть из которых относится к условиям принятия инвестиционных решений - к свойствам фондового рынка, другая часть - к поведению инвестора.

Важнейшими из предположений первой группы являются следующие:

1. Рынок состоит из конечного числа бесконечно делимых ликвидных активов, доходности которых для заданного периода считаются случайными величинами (т.е. все активы - рисковые).

2. Существуют открытые и достоверные исторические данные о доходности активов, позволяющие инвестору, получить оценку ожидаемых (средних) значений доходностей и их попарных ковариаций.

3. Инвестор при совершении операций с фондовыми активами свободен от транзакционных издержек и налогов.

4. Инвестор может формировать любые допустимые (для данной модели) портфели, доходности которых являются также случайными величинами.

Относительно поведения инвестора выдвигаются две гипотезы - гипотеза ненасыщаемости и гипотеза несклонности к риску. Эти гипотезы означают, что:

5. Инвестор всегда предпочитает более высокий уровень благосостояния, то есть при одинаковых прочих условиях всегда выбирает актив (портфель активов) с большей доходностью.

6. Инвестор из двух активов с одинаковой доходностью обязательно предпочтет актив с меньшим риском.

Иными словами, инвестор соответствует модели рационального потребителя неоклассической теории полезности и может характеризоваться бесконечной совокупностью кривых безразличия в координатах риск-доходность , при этом любая кривая безразличия соответствует определенному уровню предпочтения (и поэтому не пересекается с другими) и является выпуклой вниз. Выпуклость вниз как раз и отражает несклонность к риску: за каждую единицу возрастания риска инвестор требует опережающего роста доходности (премии за риск). Считается, что адекватным описанием предпочтения инвестора является предложенная М.Рубинштейном [12] функция полезности вида:

,

где - индивидуальный для каждого инвестора параметр предпочтения между риском и доходностью.

На рис.2.1 представлены по две кривые безразличия двух инвесторов, по степени выпуклости кривых можно сказать, что первый из них более склонен к избежанию риска, чем второй. Кривая, лежащая выше и левей, соответствует большей величине полезности множества равнозначных портфелей, представленных этой кривой.

Пусть инвестором отобраны n ценных бумаг, в которые он хочет инвестировать имеющийся у него капитал фиксированной величины. Этому капиталу на плоскости будет соответствовать множество всевозможных портфелей, составленных из n ценных бумаг в виде характерного «зонтика» (рис. 2.2). Однако для рационального инвестора выбор ограничен только линией эффективного фронта, точки которого в соответствии с гипотезами о ненасыщаемости и несклонности к риску лежат на северо-западной границе допустимого множества портфелей. Графическим решением задачи оптимального размещения капитала является нахождение точки касания эффективного фронта с самой удаленной влево и вверх кривой безразличия инвестора. Эта точка и представляет сочетание риска и доходности оптимального портфеля в соответствии с индивидуальным предпочтением инвестора, как показано на рис. 2.2.

Однако графическое решение полезно только для понимания экономического содержания и не может на практике заменить математического решения.

Принимая, что величина капитала инвестора равна 1 и распределена между n ценными бумагами портфеля, по известным правилам теории вероятностей можно выразить математическое ожидание доходности портфеля и его дисперсию :

, (2.1)

, (2.2)

где - доля капитала, вложенного в -ю ценную бумагу,

- математическое ожидание доходности -ой ценной бумаги,

- ковариация между доходностями ценных бумаг и .

Инвестор преследует противоречивую цель, стремясь одновременно достичь и наибольшей доходности, и наименьшего риска. Поскольку функция полезности инвестора к риску не всегда поддается адекватному числовому измерению, Марковиц не ставил задачу максимизации целевой функции, отражающей эффективность портфеля. Вместо этого он решал задачу минимизации риска портфеля при обеспечении заданного уровня его доходности (тем самым предполагая, что уровень "притязаний" инвестора косвенно отражает его соответствующую готовность рисковать). При этом важным предварительным результатом Марковица было доказательство выпуклости эффективного фронта, что обеспечивает единственность решения оптимизационной задачи.

Математически задача Марковица формулируется так: найти вектор распределения капитала по n ценным бумагам , который минимизирует квадратичную форму (2.2) при выполнении ограничений:

(2.3)

(2.4)

Эта задача при наличии только ограничений-равенств относится к классу классических задач квадратичной оптимизации - одному из наиболее изученных классов оптимизационных задач, для которых к настоящему времени разработано большое число достаточно эффективных алгоритмов. В частности, может быть применен классический метод неопределенных множителей Лагранжа, который гарантированно приводит к нахождению глобального минимума ввиду выпуклости квадратичной формы (2.2). При этом, однако, допускаются отрицательные значения , что на практике означает допустимость для всех инвесторов продаж ценных бумаг на срок без покрытия (short sales). Такое предположение не всегда допустимо.

Однако наложение дополнительных ограничений-неравенств, например:

(2.5)

существенно усложняет нахождение решения и, кроме того, не позволяет строить эффективный фронт ввиду большого объема расчетов. Предложенное Марковицем решение основано на введенном им понятии угловых портфелей.

Для описания эффективного фронта используется вспомогательная прямая, идея которой состоит в том, что она является касательной к эффективному фронту, тогда, изменяя наклон этой касательной от минимального до максимального значения, можно получить описание всего эффективного фронта как совокупность точек касания. Итак, на плоскости строится семейство прямых (рис. 2.3), описываемых следующим уравнением при различных а:

, (2.6)

где - некоторое число.

Нетрудно выяснить смысл числа . Выразив из последнего выражения , получим:

Таким образом, величина есть тангенс угла наклона семейства прямых к оси и, следовательно, отражает предпочтение "риск-доходность" инвестора, выбравшего на эффективном фронте точку, касательную с данной прямой, в качестве оптимального портфеля.

При увеличении а прямая (2.6) приближается к эффективному фронту и при каком-то значении - минимальном! - касается его. Подставив в (2.6) вместо и соответственно (2.1) и (2.2) после решения задачи

(2.7)

можно получить вектор решений как функций от : . При изменении от 0 до вектора решений опишут все точки касания, т.е. весь эффективный фронт.

Как видно из (2.7), точка определяет эффективный портфель с минимальным риском, а - портфель с максимально возможной доходностью и риском.

Марковиц доказал, что функции являются непрерывными кусочно-линейными, т.е. при изменении от 0 до их производные по могут терпеть разрыв. Те значения , в которых это происходит хотя бы для одной из , были названы угловыми (см. Рис.2.4), а соответствующие им портфели - угловыми портфелями. Марковиц установил замечательное свойство угловых портфелей: участок эффективного фронта между смежными угловыми портфелями описывается линейной комбинацией этих портфелей. Иначе, если и - смежные угловые точки, то для любого | < < векторы, вычисляемые как

(2.8)

определяют участок эффективного фронта. При отсутствии ограничений-неравенств функции - линейные, точка является угловой по определению.

Метод нахождения угловых портфелей, названный Марковицем методом критических линий, с последующим нахождением как оптимального портфеля, так и эффективного фронта широко используется и в настоящее время.

Из рассмотрения задачи Марковица видно ее преимущественно микроэкономическое содержание, поскольку возможные последствия решений инвестора для состояния рынка не рассматриваются, а внимание акцентировано на поведении отдельного инвестора, формирующего оптимальный портфель из рисковых активов на основе собственных оценок их доходности и риска.