Пусть u=u(x) и v=v (x) – две дифференцируемые функции. Найдём дифференциал от произведения этих функций.
duv= udv + vdu
Отсюда, интегрируя, получаем
∫ duv = ∫ udv + ∫ vdu
uv = ∫ udv + ∫ vdu
Формула интегрирования по частям:
(9)
С помощью формулы интегрирования по частям вычисление интеграла ∫ udv сводится к вычислению интеграла ∫ vdu, если последний окажется проще исходного.
Полезно запомнить следующие типы интегралов, вычислять которые удобно интегрированием по частям:
а) 
; 
; 
u=P(x)
; 
; 
б) 
; 
; 
; 
; 
dv=P(x)dx
в) 
; 
u=ex
; 
Примеры: Используя формулу интегрирования по частям (9), найти интегралы:
| |||
| |||
1. 
= 
| |||||
 |  | ||||
2. 
|
 |
6. Варианты для самостоятельной работы
Вариант 1
Найдите следующие интегралы
 
| Вариант 2
Найдите следующие интегралы
|
Вариант 3
Найдите следующие интегралы
| Вариант 4
Найдите следующие интегралы
10) 
11) 
12) 
|
Вариант 5
Найдите следующие интегралы
| Вариант 6
Найдите следующие интегралы
|
7. Образец решения варианта 1
| 1. | 
|
| 2. | 
|
| 3. | 
|
| 4. | 
|
| 5. | 
|
| 6. | 
|
| 7. | 
|
| 8. | 
|
| 9. | 
|
| 10. | 
|
| 11. | 
формула 
|
| 12. | 
формула 
|
8. Тесты
1. Неопределенный интеграл 
равен
А. 
Б. 
В. 
Г. 
2. Первообразная для функции
y = x3 – 2 имеет вид
А. 3x2 + C
Б. 3x4 – 2 x + C
В. 6x4 - 2 + C
Г. x4/4 - 2x + C
3. 3 
равен
А. 3 arctgx + C
Г. 
В. 
Г. -3 arctgx + C
4. ò7х dx равен
А. 7xln7 + C
Б. 
В. x×7x-1 + C
Г. 7x-1 + x + C
5. Первообразная для функции y = 2x + ex имеет вид
А. хеx + С
Б. х2еx-1 + С
В. x2 + еx +С
Г. 2xex+1 + C
6. ò5sinx dx равен
А. -5сosx + C
Б. 5cosx + C
В. cos5x + C
Г. – cos5x + C
7. 
равен
А. ctg3x + C
Б. 
В. 3ctg3x + C
Г. 
