3.1.Постановка задачи. Понятия оптимального управления, областей управляемости и неуправляемости. Вывод уравнения Беллмана для задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина, связь с уравнением Беллмана. Теорема о необходимых условиях оптимальности управления в форме принципа максимума Понтрягина.
3.2. Линейные задачи на оптимальное быстродействие. Постановка, преобразование формы записи принципа максимума для этих задач. Структура оптимального управления. Условие общности положения. Теорема о необходимых и достаточных условиях оптимальности управления (достаточность — без доказательства).
3.3. Другие формы постановки задач оптимального управления, изменения формы принципа максимума: задача с фиксированным временем достижения, задачи со скользящими концами (условие трансверсальности), неавтономные задачи.
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.1. Простейшие задачи вариационного исчисления (с закрепленными, свободными и скользящими концами) — постановки задач. Понятие сильного и слабого локального экстремумов.
Метод вариации Лагранжа. Первая и вторая вариации. Лемма о необходимых условиях экстремума в общей форме. Экстремум и экстремаль функционала. Основная лемма вариационного исчисления.
4.2. Вычисление первой вариации функционала для задач с закрепленными и свободными концами, а также для задач со скользящими концами. Вывод уравнения Эйлера и граничных условий как необходимых условий первого порядка для экстремума и как необходимых и достаточных условий для экстремалей в трех простейших задачах вариационного исчисления. Естественные граничные условия и условия трансверсальности в задачах со свободными и скользящими концами. Их геометрический смысл.
4.3. Экстpемали с изломами. Теоpема Дюбуа-Pеймона (без доказательства) – в билетах не будет.
4.4. Вычисление второй вариации в предположении закрепленных концов. Необходимое условие второго порядка для минимума (максимума) функционала — условие Лежандра.
4.5. Изопериметрическая задача. Теорема об условиях экстремума первого порядка (без доказательства).
ЛИТЕРАТУРА (краткий список)
Динамическое программирование:
1.Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования.
2.Калихман И.Л., Войтенко М.А. Динамическое программирование в примерах и задачах. М:"Высшая школа",1979.
3.Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978.
4.Поиск оптимальных путей на графах с векторными весами. Методические указания к выполнению лабораторной работы /Сост.Городецкий С.Ю. — 1996.
Математическое программирование:
1. Карманов В.Г. Математическое программирование.- Учеб. пособие - М.: Физматлит, 2000.
2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.- Учебное пособие М.:Наука.1982.
3. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. – М.: Факториал Пресс, 2002.
4. Вычислительные методы поиска локальных экстремумов функций. Описание лабораторной работы. /Сост. Городецкий С.Ю. - 2000.
Городецкий С.Ю.Лабораторный практикум по методам локальной оптимизации в программной системе LocOpt. Электронный ресурс: http://www.unn.ru/issues/aids.html?pscience=6&posdate=2007
5. Методы поиска глобального экстремума. Методические указания для студентов. /Сост. Городецкий С.Ю. - 1990.
6. Городецкий С.Ю., Гришагин В.А. Нелинейное программирование и многоэкстремальная оптимизация. – Н.Новгород: изд-во ННГУ, 2007.
7. Методы оптимизации в примерах и задачах. /Бирюков Р.С., Городецкий С.Ю., Григорьева С.А., Павлючонок З.Г., Савельев В.П. Учебно-методическое пособие. – Н.Новгород: изд-во ННГУ, 2010.
8. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. – М.: Мир, 1982.
9 Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. – М.: Физматлит, 2003.
Оптимальное управление:
1.Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления - М.:Наука 1969.
2.Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов.
Вариационное исчисление:
1.Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.,Л.:ГТТИ 1933, т.1 - по вариационному исчислению наиболее ясное изложение.
2.Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз. 1961.
3.Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. Гостехиздат. 1950.
4.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.:Наука, 1969.
5. Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление. – М.:Наука, 1973.
Общая программа сдачи экзамена на оценку «хорошо» и выше предполагает полное владение материалом, включая умение проводить выкладки и доказательства.
СОКРАЩЕННАЯ ПРОГРАММА, достаточная для сдачи экзамена на «удовлетворительно»
не требует изложения доказательств (кроме отмеченных простых случаев) и включает:
– умение решать типовые практические задачи;
– знание определений и способность к их содержательной интерпретации;
– знание основных постановок задач;
– знание и понимание основных свойств, лемм и теорем;
– описание алгоритмов и расчетных формул основных численных методов;
– обоснование некоторых фактов из теории (там, где отмечено, что требуется доказательство).
Эта программа относится к студентам с существенными задолженностями по темам практики или лабораторным работам.
Для этой категории будут предложены практические задания, а также отдельные билеты тестового характера примерно с пятью вопросами из разных тем (ориентировочный список приведен ниже) + дополнительные вопросы по имеющимся лабораторным задолженностям.
