Это так называемый биноминальный закон распределения

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

 

Оглавление.

1. Дискретные случайные величины.

2. Часто встречающиеся распределения дискретной случайной величины.

3. Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства.

4. Непрерывные случайные величины.

5. Равномерное распределение.

6. Нормальное распределение.

7. Экспоненциальное распределение.

8. Двумерные случайные величины.

 

 

Понятие случайной величины является основным в теории вероятностей и ее приложениях. Случайными величинами, например, является число выпавших очков при однократном бросании игральной кости, число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе и т. д.

Таким образом, случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение.

В дальнейшем мы рассмотрим два типа случайных величин — дискретные   и   непрерывные.

1. Дискретные случайные величины.

Рассмотрим случайную величину (случайные величины будем обозначать прописными буквами латинского алфавита:  ) , возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел  . Такая случайная величина  называется дискретной (прерывной).

На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно пере­числить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь одинако­вые перечни возможных значений, а вероятности их – различные. Поэтому

 

для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Важнейшей характеристикой случайной величины служит ее распределение вероятностей.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналити­чески (в виде формулы) или графически.

При табличном задании закона распределения дискрет­ной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:

 

			…
			…

 

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное зна­чение, заключаем, что события , , …,  образуют полную группу; следовательно, сумма вероят­ностей этих событий, т. е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице:

.

            (3.1)

Эту таблицу называют рядом распределения случайной величины . Наглядно функцию р(х) можно изобразить в виде графика. Для этого возьмем прямоугольную систему координат на плоскости. По горизонтальной оси будем откладывать возможные значения случайной величины , а по вертикальной оси - значения функции . График функции р(х) изображен на рис. 3.1. Если соединить точки этого графика прямолинейными отрезками, то получится фигура, которая называется многоугольником распределения.           

Пример 3.1. Пусть событие А — появление одного какого-либо очка при бросании игральной кости. Как мы знаем, вероятность выпадения какого-либо очка для всех цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6) одинакова и равна Р(A)=1/6. Рассмотрим случайную величину  — число наступлений события А (т.е. число т)  при десяти бросаниях игральной кости (т.е. n =10). Значения функции р(х ) (закона распределения) приведены в следующей таблице:

Значения	0	1	2	3	4	5	6	…	10
Вероятности	0,162	0,323	0,291	0,155	0,054	0,013	0,002	…	0

 

означает, что цифра 1 (или любая другая из шести, могущих выпасть) при десяти бросаний кости не выпала ни разу.   - цифра 1 при десяти бросаний выпала один раз.   - два раза и т.д.

Вероятности  приведенные в таблице, вычислены по формуле Бернулли    () при   n=10. Для    x>6   они практически равны нулю:

График функции p(x) изображен на рис. 3.2.

Это так называемый биноминальный закон распределения

2. Часто встречающиеся распределения дискретной случайной величины.

1. Закон распределения Бернулли. Пусть случайная величина  это число, характеризующее наступления события A при одном испытании.  При этом множество возможных значений  состоит из 2-х чисел 0 и 1: , если событие A не произошло, и  если событие A произошло. Таким образом:

 

Распределение Бернулли играет фундаментальную роль в теории вероятностей и математической статистики, являясь математической моделью опыта с двумя исходами.

Пусть, например, имеется партия некоторой продукции, в которой продукция без дефектов встречается с вероятностью , а некачественная продукция с вероятностью . Пусть случайная величина , если при выборе попалась качественная продукция и , если некачественная. Тогда случайная величина   будет иметь распределение Бернулли.

Пример 3.2. Случайная величина   — число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Возможные значения — числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. При этом вероятность того, что  примет любое из этих значений, одна и та же и равна 1/6. Какой будет закон распределения?

Решение: Здесь закон распределения вероятностей есть функция р(х)=1/6 для любого значения х из множества { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

График этого закона имеет вид, изображенный на рис. 3.3.

 

2. Биноминальный закон распределения. Случайная величина   принимает значения: , с вероятностью, определяемой по формуле Бернулли: . Здесь  - постоянная вероятность того, что случайная величина   в серии  испытаний появится   раз.

 

 

Пример этого закона мы рассмотрели выше. График этого закона имеет вид, изображенный на рис. 3.4.

 

 

3. Закон распределения Пуассона. Случайная величина  принимает бесконечное счетное число значений:  с вероятностью, определяющейся по формуле Пуассона:

                             (3.2)

где  — некоторая положительная постоянная - параметр распределения Пуассона..

В этом случае говорят, что случайная величина  распределена по закону Пуассона. Заметим, что при  следует положить .

Формулу Пуассона можно получить как предельный случай формулы Бернулли при неограниченном увеличении числа испытаний n и при стремлении к нулю вероятности .

Пример 18. На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных?

Решение: Здесь . По формуле (17) находим

Распределение Пуассона часто встречается и в других задачах. Так, например, если телефонистка в среднем за один час получает N вызовов, то, как можно показать, вероятность   того, что в течение одной минуты она получит k вызовов, выражается формулой Пуассона, если положить .

 

3. Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства.

Рассмотрим некоторую функцию F(х), определенную на всей числовой оси следующим образом: для каждого х значение этой функции F(х) равно вероятности того, что дискретная случайная величина  примет значение, меньшее х, т. е.

                                           (3.3)

В этом случае эта функция называется функцией распределения вероятностей, или кратко, функцией распределения.   

Пример 19. Найти функцию распределения случайной величины , приведенной в примере 17 ( Случайная величина   — число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости ).

Решение: Ясно, что если , то F(x)=0, так как  не принимает значений, меньших единицы.

Если , то .

Если , то . Но событие   в данном случае является суммой двух несовместных событий:    и . Следовательно,

Итак, для  имеем F(x)=1/3. Аналогично вычисляются значения функции в промежутках ,  и . Наконец, если  то F(x)=1, так как в этом случае любое возможное значение   (1, 2, 3, 4, 5, 6) меньше, чем x. График функции F(x) изображен на рис. 3.5.

 

Зная функцию распределения F(x), легко найти вероятность того, что случайная величина  удовлетворяет неравенствам .

Действительно, рассмотрим событие, заключающееся в том, что случайная величина примет значение  меньшее .  Это событие распадается на сумму двух несовместных событий: 1) случайная величина  принимает значения, меньшие , т.е. ; 2) случайная величина  принимает значения, удовлетворяющие неравенствам . Используя аксиому сложения, получаем:

.

Отсюда . Но по определению функции распределения F(x) [см. формулу (3.3)], имеем , ; следовательно,

                                    (3.4)

Таким образом, вероятность попадания дискретной случайной величины в интервал  равна приращению функции распределения на этом интервале.

 

Рассмотрим основные свойства функции распределения.

1°. Функция распределения является неубывающей.

В самом деле, пусть  . Так как вероятность любого события неотрицательна, то  . Поэтому из формулы (3.4) следует, что , т.е. .

2°. Значения функции распределения удовлетворяют неравенствам .

Это свойство вытекает из того, что F(x) определяется как вероятность [см. формулу (3.3)]. Ясно, что

 и .

Здесь и в дальнейшем введены обозначения: , .

 

3°. Вероятность того, что дискретная случайная величина  примет одно из возможных значений , равна скачку функции распределения в точке .

Действительно, пусть  - значение, принимаемое дискретной случайной величиной, и . Полагая в формуле (3.4) , , получим

В пределе при  вместо вероятности попадания случайной величины на интервал  получим вероятность того, что величина   примет данное значение :

C другой стороны, получаем , т.е. предел функции F(x) справа, так как . Следовательно, в пределе формула примет вид

т.е. значение  равно скачку функции . Можно показать, что , т.е. что функция F(x) непрерывна слева в точке . Это свойство наглядно иллюстрируется на рис.4.

4. Непрерывные случайные величины.

Кроме дискретных случайных величин, возможные значения которых образуют конечную или бесконечную последовательность чисел, не заполняющих сплошь никакого интервала, часто встречаются случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал.

Примером такой случайной величины может служить отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе.

 

Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероятностей . Однако их можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х). Эта функция определяется точно так же, как и в случае дискретной случайной величины:

Таким образом, и здесь функция F(х) определена на всей числовой оси, и ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем   х.

Формула (3.4) и свойства 1° и 2° справедливы для функции распределения любой случайной величины. Доказательство проводится аналогично случаю дискретной величины.

Случайная величина  называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная функция (функция называется кусочно-непрерывной на всей числовой оси, если она на любом сегменте или непрерывна, или имеет конечное число точек разрыва I рода) , удовлетворяющая для любых значений   x   равенству

                                        (3.5)

Функция  называется плотностью распределения вероятностей, или кратко, плотностью распределения. Если , то на основании формул (3.3) и (3.4) имеем

          (3.6)

Исходя из геометрического смысла интеграла как площади, можно сказать, что вероятность выполнения неравенств   равна площади криволинейной трапеции с основанием , ограниченной сверху кривой     (рис. 3.6).

Так как , а на основании формулы (26) , то

                                                  (3.7)

Далее, пользуясь формулой (3.5), найдем , производную от , как производную от интеграла по переменной верхней границе, считая плотность распределения  непрерывной.   Правило дифференцирования интеграла с переменной верхней границей, выведенное в случае конечной нижней границы, остается справедливым и для интегралов с бесконечной нижней границей. В самом деле,

Так как интеграл     есть величина постоянная. Таким образом

                                      (3.8)

Заметим, что для непрерывной случайной величины функция распределения F(х) непрерывна в любой точке х, где функция   непрерывна. Это следует из того, что F(х) в этих точках дифференцируема.

Далее, на основании формулы (3.6), полагая , , имеем:

 

В силу непрерывности функции F(х) получим, что . Следовательно . Таким образом,

 

  вероятность того, что непрерывная случайная величина может принять любое отдельное значение  х,  равна нулю.

Отсюда следует, что события, заключающиеся в выполнении каждого из неравенств:  имеют одинаковую вероятность, т.е.

В самом деле, например,

так как .

Замечание.

Как мы знаем, если событие невозможно, то вероятность его наступления равна нулю. При классическом определении вероятности, когда число исходов испытаний конечно, имеет место и обратное предложение: если вероятность события равна нулю, то событие невозможно, так как в этом случае ему не благоприятствует ни один из исходов испытания.

В случае непрерывной случайной величины число возможных ее значений бесконечно. Вероятность того, что эта величина примет какое-либо конкретное значение  как мы видели, равна нулю. Однако отсюда не следует, что это событие невозможно, так как в результате испытания случайная величина может, в частности, принять значение .

 

Поэтому в случае непрерывной случайной величины имеет смысл говорить о вероятности попадания случайной величины в интервал, а не о вероятности того, что она примет какое-то конкретное значение.

Так, например, при изготовлении валика нас не интересует вероятность того, что его диаметр будет равен номиналу. Для нас важна вероятность того, что диаметр валика не выходит из поля допуска.

Пример 20. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом:

График функции   представлен па рис. 3.7.

Рис. 8

Определить: 1) вероятность того, что случайная величина  примет значение, удовлетворяющее неравенствам . 2) Найти функцию распределения заданной случайной величины.

Решение: Используя формулу (3.6), имеем:

По формуле (3.6) находим функцию распределения F(x) для заданной случайной величины. Если , то .

Если , то

Если , то

ч

Итак,  

График функции F(x) изображен на рис. 3.8.

 Следующие три пункта посвящены часто встречающимся на практике распределениям непрерывных случайных величин — равномерному, экспоненциальному и нормальному распределениям.

 

 

5. Равномерное распределение.

 Пусть сегмент   на оси   Ox есть шкала некоторого прибора. Допустим, что вероятность попадания указателя в некоторый отрезок шкалы пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от места отрезка на шкале. Отметка указателя прибора есть случайная величина  могущая принять любое значение из сегмента . Поэтому . Если, далее,  и   - две любые отметки на шкале, то согласно условию имеем , где   k - коэффициент пропорциональности, не зависящий от  и , а разность , - длина сегмента . Так как при  и   имеем , то , откуда . Таким образом

                                      (3.9)

Теперь легко найти функцию F(x ) распределения вероятностей случайной величины . Если , то  так как  не принимает значений, меньших a. Пусть теперь . По аксиоме сложения вероятностей . Согласно формуле (3.9), в которой принимаем  и , имеем . Так как , то при   получаем . Наконец, если , то , так как значения  лежат на сегменте  и, следовательно, не превосходят b. Итак, приходим к следующей функции распределения:

.

График функции F(x) представлен на рис. 3.9.

Плотность распределения вероятностей найдем по формуле (3.8). Если    или ,   то . Если , то

.

Таким образом,

                                  (3.10)

График функции  изображен на рис. 3.10. Заметим, что в точках a и b  функция  терпит разрыв.

Величина, плотность распределения которой задана формулой (3.10), называется равномерно распределенной случайной величиной.

6. Нормальное распределение.

Говорят, что случайная величина   нормально распределена или подчиняется закону распределения Гаусса, если ее плотность распределения   имеет вид

                                  (3.11)

где  - любое действительное число, а . Смысл параметров  и  будет установлен в дальнейшем. Исходя из связи между плотностью распределения  и функцией распределения F(x) [см. формулы (3.5, 3.8)], имеем

 

График функции  симметричен относительно прямой . Несложные исследования показывают, что функция  достигает максимума при , а ее график имеет точки перегиба при  и  . При  график функции асимптотически приближается к оси O x. Можно показать, что при увеличении  кривая плотности распределения становится более пологой. Наоборот, при уменьшении  график плотности распределения сжимается к оси симметрии. При  осью симметрии является ось Oy. На рис. 3.11 изображены два графика функции  . График I соответствует значениям  , , а график II - значениям , .

Покажем, что функция  удовлетворяет условию (3.7), т.е. при любых   и  выполняется соотношение

В самом деле, сделаем в этом интеграле замену переменной, полагая . Тогда

В силу четности подынтегральной функции имеем

.

Следовательно,

Но,                                  . 

В результате получим

                                    (3.12)

 

Найдем вероятность . По формуле (3.6) имеем

Сделаем в этом интеграле замену переменной, снова полагая . Тогда , и

                             (3.13)

Как мы знаем, интеграл   не берется в элементарных функциях. Поэтому для вычисления определенного интеграла (3.13) вводится функция, которую мы определяли раньше [формула (2.9)]:

                                       (3.14)

называемая интегралом вероятностей.

Для этой функции составлены таблицы ее значений для различных значений аргумента (см. табл. II Приложения). Используя формулу (3.13) получим:

Итак,

                               (3.15)

Легко показать, что функция Ф(х) (интеграл вероятностей) обладает следующими свойствами.

1°. Ф(0)=0

2°. ;

при   величина  практически равна 1/2 (см. табл. II).

3°. ,

т.е. интеграл вероятностей является нечетной функцией.

График функции Ф(х) изображен на рис. 3.12.

Таким образом, если случайная величина  нормально распределена с параметрами a и , то вероятность того, что случайная величина удовлетворяет неравенствам , определяется соотношением (3.15).

Пусть . Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина  отклонится от параметра   a  по абсолютной величине не более  чем на , т.е. рассмотрим неравенство - .

Так как неравенство  равносильно неравенствам ,  то полагая в соотношении (3.15) ,  получим

Вследствие того, что интеграл вероятностей - нечетная функция, имеем

                                         (3.16)

Пример 1. Пусть случайная величина  подчиняется нормальному закону распределения вероятностей с параметрами , .

Определить:
1) ;    2) ;

Решение:   1) Используя формулу (3.15), имеем

Из таблицы II находим, что , . Следовательно

2) Так как , то . По формуле (3.16) находим

Пример 2. В каких пределах должна изменяться случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, чтобы .

Решение: По формуле (37) имеем

.

Следовательно, . Из табл. II находим, что этому значению  соответствует , откуда .

Из последнего примера следует, что если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, то можно утверждать с вероятностью, равной 0,9973, что случайная величина находится в интервале  . Так как данная вероятность близка к единице, то можно считать, что значения нормально распределенной случайной величины практически не выходят за границы интервала . Этот факт называют правилом трех сигм.

Аналогично можно посчитать, что вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, заключена в интервале , равна 95,44 %. Соответственно в интервале   равна 67,26 %. То есть:

Данные условия наглядно изображены на рис. 3.13.

7. Экспоненциальное распределение.

Непрерывная случайная величина имеет экспоненциальное (показательное) распределение с параметром , если

Функция распределения этой случайной величины будет равна:

Соответствующие графики изображены на рис. 3.14.

 

Продолжительность безотказной работы многих технических устройств, а также время задержки вылетов самолета, по вине технических служб аэропорта удовлетворительно описываются соответствующими экспоненциальными распределениями.

 

8. Двумерные случайные величины.

 Часто приходится решать задачи, в которых рассматриваются события, описываемые не одной, а несколькими — в частности, двумя случайными величинами. Так если станок-автомат штампует цилиндрические валики, то диаметр валика  и его высота , образуют систему двух случайных величин  .

Двумерной случайной величиной называют систему из двух случайных величин , для которой определена вероятность  совместного выполнения неравенств  и , где x и y - любые действительные числа.

Функция двух переменных

                                   (3.17)

определенная для любых x и y, называется функцией распределения системы двух случайных величин  .

Будем рассматривать  и  как декартовы координаты точки на плоскости. Точка  может занимать то или иное положение на плоскости . Тогда функция распределения даст вероятность того, что случайная точка   попадает в область , изображенную на рис. 3.15.

Двумерная случайная величина  называется дискретной, если  и   -  дискретные величины.

Пусть возможные значения  и  образуют, например, конечные последовательности  и . Возможные значения двумерной случайной величины  имеют вид , где ; . Обозначим через   вероятность того, что :

Функция распределения F(х, у) имеет вид

где двойная сумма распространена на те i и j, для которых   x _i< x   и    y_j  < y.

Двумерную случайную величину  так же, как и одномерную, можно задавать таблицей. Первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины , а первый столбец — возможные значения . В остальных клетках таблицы указаны соответствующие вероятности, причем их сумма всегда равна единице. В качестве примера рассмотрим двумерную случайную величину, заданную следующей таблицей:

X2\ X1	-1	0	1
	p11=0,05	p12=0,20	p13=0,30
	p21=0,10	p22=0,20	p23=0,15

Сумма всех вероятностей

Две дискретные случайные величины  и  называются независимыми, если для всех пар   i, j  выполняется соотношение

 

Пример 1. Две игральные кости бросают по одному разу. Обозначим через  число очков, выпавшее на первой кости, а через — на второй; тогда   — двумерная дискретная величина. Покажем, что величины   и независимы.

Решение: Так как каждая из величин   и   независимо друг от друга может принимать   6   различных значений, то число различных значений двумерной случайной величины   равно 36. Все эти значения, очевидно, равновероятны. Поэтому

С другой стороны,   и

---

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==> Порядок рассмотрения вторых частей заявок на участие в электронном аукционе | По природе происхождения Источники Ионизирующего излучения делятся на естественные и техногенные.

Поделиться с друзьями:

---

Дата добавления: 2018-11-12; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 211 | Нарушение авторских прав

---

Лучшие изречения:

© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление