План лекции. Основные теплофизические величины, понятии и определения. Гипотеза теплопроводности Фурье. Уравнение теплопроводности, краевые и граничные условии в рамках задачи Коши. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Схемы нагре-ваемого тела. Конвективный и лучистый теплообмен, поверхностная теплоотдача.
Основные теплофизические величины, понятии и определения. Температурным полем называют совокупность значений температуры в данный момент
во всех точках пространства (тела). Температурное поле удобно характери-зовать изотермами.
Изотермические поверхности являются геометрическими местами точек тела, имеющими
одинаковую температуру. Геометрические места точек пересечения изотермической поверхности с какойлибо поверхностью являются изотермой.
Температурное поле можно описывать уравнениями, отнесенными к определенной системе
координат, например к прямоугольной T = T(x,y,z) или к цилиндрической T = T(r,, φ z).
Таким уравнением описываются стационарные температурные поля, не меняющиеся во времени. В уравнение описывающие нестационарные температурные поля входит время t.
При перемещении в поле по заданному направлению х – х температура непрерывно меняется. Среднее изменение температуры между двумя изотермами равно
(Т1 – Т2)/∆х,
где (Т1 – Т2) – разность температур рассматриваемых изотерм,
∆х – расстояние между этими изотермами по направлению х – х. Уменьшая величину ∆х в пределе, получаем
Lim(T1 – T2)/∆x∆x→0 = ∂T/∂x.
Эта величина носит название градиента температуры по данному направлению.
Градиент температуры в данной точке есть вектор, совпадающий с направлением наибольшего изменения температуры, нормальным к изотермической поверхности.
Положительный градиент соответствует возрастанию температуры. При неравномерном
температурном поле происходит выравнивание температуры в связи с передачей тепла.
Передача тепла может осуществляться посредством теплопроводности, к онвекции и радиации (излучением).
Теплопроводность характеризуется передачей тепловой энергии движением частиц от одного слоя к другому. Удельный тепловой поток q(x,y,z,t) через данную поверхность, в данной точке (x,y,z), в данный момент t является пределом отношения ∆Q к ∆F
и ∆t при их бесконечном уменьшении:
q = lim(∆Q/(∆F ∆t))∆F→0;∆t→0 = dQ/(dF dt).
Закон (гипотеза) теплопроводности Фурье, уравнение теплопроводности. Максимальный удельный тепловой поток пропорционален градиенту температур.
q = λ(∂T/∂N).
где λ – коэффициент теплопроводности, [(кал)/(см×с×0С) или (Вт)/(м×К)], характеризует способность тела проводить тепло.
Коэффициент тепловодности металла зависит от его химического состава, структуры, температуры. Значение λ для различных марок сталей при Т ниже 800 0С отличаются довольно сильно, а выше 800 0С имеют примерно постоянную величину в пределах 0,06 – 0,08 кал/(см×с×0С) или 25 – 33,3 Вт/(м×К).
Общее уравнение теплопроводности в декартовых координатах
Сумму вторых частных производных функций T(x,y,z,t) по осям x,y,z называют оператором
Лапласа; для прямоугольной системы координат
Тогда уравнение теплопроводности
(∂T/∂t) = (λ/cρ) DТ = a DТ,
где D - оператор Лапласа (лапласиан);
а = λ/сρ - коэффициент температуропроводности [см2/с или м2/с].
Положительное значение оператора Лапласа DТ указывает, что тепло подводится к рассмат-риваемой точке, а отрицательное – тепло отводится. Так как λ и с, а в некоторой степени ρ зависят от температуры, то и значение а в зависимости от температуры изменяется
достаточно заметно. При стационарном процессе распространения тепла каждый элемент
получает столько же тепла, сколько отдает, поэтому температурное поле не изменяется во времени и ∂T/∂t = 0. В этом случае уравнение теплопроводности принимает вид
DТ = 0
и носит название уравнения Лапласа.
Краевые и граничные условии в рамках задачи Коши. Условия однозначности. Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает явление передачи теплоты в самом общем виде. Чтобы конкретную задачу необходимо сформулировать для неё условия однозначности – совокупность всех условий, которыми задача однозначно определяется (само уравнение теплопроводности или теплового баланса в них не входит).
Условия однозначности состоят:
1) из геометрических условий, характеризующих форму и размеры тела или системы тел, в
которых протекает тепловой процесс;
2) из физических условий, характеризующих физические свойства рассматриваемой среды и тела;
3) из временных условий, характеризующих распределение температуры в рассматриваемой среде или теле в начальный момент времени. По этой причине эти условия называют еще и начальными условиями;
4) из граничных условий, характеризующих взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей его средой.
Совокупность последних двух условий (начальных и граничных) называется краевыми условиями, так как первые находятся на начальном «краю» времени, а вторые – на геометрических «краях» тела.
Начальные условия заключаются в задании распределения поля значений температуры в начальный момент времени (τ=0), т.е. предшествующий расчетному. Они должны быть заданы в виде функций:
v t τ = 0 = f1 (x, у, z) - для пространственной задачи,
v t τ = 0 = f2 (x, у) - для плоской задачи,
v t τ = 0 = f3 (x) - для линейной задачи.
В большинстве случаев начальные условия могут быть заданы с достаточной определенностью в виде конкретной функции, таблицы, графика.
Граничные условия – тепловые условия у поверхности тела, которые задаются в более сложном виде. При решении задач теплопроводности принято различать четыре наиболее часто встречающихся способа задания граничных условий, так называемые граничные условия первого, второго, третьего, четвертого и пятого рода:
- граничные условия первого рода заключаются в том, что задается температура во всех точках поверхности тела в течение времени τ:
t п = f4 (X, Y, Z, τ), (14.1)
где X, Y, Z — координаты поверхности.
-если количество теплоты, поступающей извне в тело, известно (или задано), то такое граничное условие называют граничным условием второго рода и оно заключается в том, что задается удельный тепловой поток по закону Фурье через поверхность тела в течение времени τ: q п = - λ 
t/ n. (14.2)
Как и в предыдущем случае, эта функция может быть произвольной и непрерывной:
q п = f5 (X, Y, Z, τ). (1.12)
3. Граничные условия третьего рода заключаются в задании температуры поверхности тела и окружающей его среды и задании теплообмена (коэффициента теплопередачи) между поверхностью этого тела и окружающей средой по закону Ньютона. Таким образом, количество теплоты, отдаваемое (или получаемое) единицей поверхности с температурой t п за единицу времени в окружающую среду с температурой t с, прямо пропорционально разности температуры поверхности и окружающей среды:
q п = a (t п - t с). (14.4)
Количество теплоты, отдаваемое (или получаемое) поверхностью в окружающую среду и определяемое по формуле (14.4), должно быть равно количеству теплоты, подводимому к этой поверхности за счет теплопроводности, которое определяется по закону Фурье (14.2). Приравняв эти потоки, получим новое выражение для задания граничных условий третьего рода:
(14.5)
где градиент температуры у поверхности и по нормали к ней.
В условии (14.5) должны быть заданы коэффициент теплоотдачи a и темпера-тура окружающей тело среды t с.
4. Граничные условия четвертого рода заключаются в том, что задается равенство температуры на поверхности раздела двух тел или тела с окружающей средой при подходе к ней с двух сторон, а также удельных тепловых потоков по закону Фурье в предположении, что между этими телами осуществляется идеальный контакт.
5. При наличии на поверхности тела слоя, имеющего очень высокую теплопроводность, например, слоя ветрового перемешивания в водохранилище, и заданного количества теплоты, поступающего в слой извне, имеем граничное условие пятого рода.
Возможны и другие граничные условия; так, часто встречается совмещение граничных условий второго и третьего родов, которое производится путем замены действительной температуры окружающей среды эквивалентным значением.
Схемы нагреваемого тела. Так как характер распространения тепла в теле сильно зависит
от его формы и размеров, то для расчетов принимают следующие схемы нагреваемого
тела (Рис.14.1).
1. Бесконечное тело - тело, которое имеет такую протяженность по координатным осям,
при которой его границы не влияют на характер теплового поля, рис.14.1, а).
2. Полубесконечное тело – тело, имеющее только одну граничную поверхность z = 0,
со стороны которой действует источник тепла, рис. 14.1 б). Остальные поверхности находятся на значительном удалении и не влияют на распространение теплоты.
Рисунок 14.1 Расчётные схемы тел.
3. Бесконечная пластина (Рис. 14.1, в) - это плоский слой такой толщины δ, в котором температуру по толщине можно считать выровненной. Тепловой поток плоскостной. Эта
схема применима при сварке со сквозным проплавлением на всю толщину и при разделитель
-ной кислородной резке.
4. Полубесконечная пластина, рис. 14.1, г) – тело, ограниченное плоскостями z = 0 и z = δ и
Плоскостью у = 0. Остальные условия те же, что и у бесконечной пластины.
5. Плоский слой – тело, ограниченное параллельными плоскостями z = 0 и z = δ (Рис. 14.1, в). Этой схеме отвечает лист средней толщины при больших длине и ширине. Тепловой поток
в таком теле пространственный, но искаженный наличием граничных поверхностей, рис.14.1 д).
Стержень – тело с прямолинейной осью достаточной длины, чтобы концевые поверхности
не влияли на распределение тепла. Тепловой поток является линейным, рис. 14.1, е).
Конвективный и лучистый теплообмен, поверхностная теплоотдача. Теплопередача (теплообмен) охватывает совокупность явлений передачи теплоты из более нагретой подвижной среды в менее нагретую, через разделяю-щую их твердую стенку
Теплоотдача также охватывает совокупность явлений переноса теплоты только между поверхностью твердого тела и жидкой или газообразной подвижной средой.
Теплопередача и теплоотдача осуществляются теплопроводностью, конвекцией, лучистым теплообменом, при изменении агрегатного состояния вещества, биологических процессах в живых организмах и др. Способы передачи тепла (теплоперенос или теплопередача) в твердом теле и в жидкости различны
Перенос теплоты теплопроводностью присущ твердым телам, в которых теплота распространяется передачей кинетической энергии от одних микрочастиц к другим путем соударений. Теплопроводность в жидкостях и газах осуществля-емая путем перемещения частиц, носителей тепловой энергии называется конвективным теплопереносом. В первом случае теплота передается, а носители теплоты, частицы жидкости, остаются на месте, во втором случае теплота переносится вместе с жидкостью. Теплопроводность в жидких и газообразных средах проявляется в чистом виде лишь в случае, когда наблюдается прямая стратификация плотности.
Перенос теплоты конвекцией происходит в результате перемещения частиц теплоноси-теля только в жидких и газообразных средах.
Свободной (естественной, плотностной) конвекцией называется движение жидкости (газа), вызываемое неоднородностью плотности частиц жидкости (газа), находящихся в поле тяготения.
Вынужденной конвекцией называется движение жидкости (газа), вызываемое воздействием внешних сил (ветер, насос и т.д.), а также однородного поля массовых сил в жидкости (уклон и т.д.). Перенос теплоты вынужденной конвекцией обусловлен турбулентным перемешиванием водных или воздушных масс потока, а также связан с переносом теплоносителя. В отличие от свободной конвекции при вынужденной конвекции происходит полярный перенос водных масс, а не молекулярный, т. е. перенос больших объемов жидкости.
Перенос теплоты лучистым (радиационным) теплообменом совершается путем двойного превращения энергии: сперва из тепловой в электромагнитную в месте излучения и обратно в тепловую в месте поглощения. Встречая на своем пути другое тело, лучистая энергия частично отражается от его поверхности и частично поглощается им, т. е. проникает на некоторую его глубину, зависящую от прозрачности тела.
