Лекция 5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

 

Линейным неоднородным уравнением n -го порядка спостоянными коэффициентами называется уравнение вида

, (14)

где  а ₁, а ₂,..., а _n — некоторые действительные числа.

Это частный случай уравнения (7), когда выполняется условие:  

а _i (х) = а _i = cons t (i = 1, 2,..., n).

Общее решение линейного неоднородного уравнения (14) можно найти двумя способами:

1) методом вариации произвольных постоянных, который рассмотрим в п. 2.5;

2) по формуле (10):

у = у ₀ + у*,

где у ₀ — общее решение соответствующего линейного однородного уравнения (11);

у ^* — частное решение данного линейного неоднородного уравнения (14).

Общее решение у ₀, соответствующее линейному однородному уравнению спостоянными коэффициентами, находят по правилам, изложенным в п. 2.3.

Частное решение у^* данного линейного неоднородного уравнения (14) находят методом подбора (методом неопределённых коэффициентов). Этот метод применим только в том случае, если правая часть уравнения (14) имеет вид

f (x) = е ^{a x} × (P_n (x)cosb x + Q_m (x)sinb x), (15)

где P_n (x), Q_m (x) — многочлены от х степени n и m соответственно; a, b — постоянные.

Тогда частное решение у^* уравнения (14) имеет вид

у^*= х ^s × е ^{a x} × ( cosb x + sinb x),                              (16)

где s — кратность корня a±b i характеристического уравнения (если a±b i не является корнемхарактеристического уравнения, то s = 0); k = max (n, m); , — многочлены от х степени k общего вида с неопределёнными коэффициентами.

Простейшие виды правых частей f (x)уравнения (14), частные случаи выражения (15) и соответствующие им частные решения у^*, частные случаи формулы (16), указаны в табл. 2.

 

Таблица 2. Частные решения линейного неоднородного
уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами

№	Правая часть f (x) уравнения (14)	Вид частного решения у* уравнения (14)
		l не является корнем характеристического уравнения (12)	l является корнем характеристического уравнения (12)
1	f (x) = Pn (x) – многочлен степени n	l  = 0 – не корень Þ у* = Qn (x) – многочлен степени n	l  = 0 – корень (12) кратности s Þ Þ у* = х s × Qn (x) – многочлен степени s + n
2	f (x) = е a x × Pn (x)	l = a– не корень Þ Þ у* = е a x × Qn (x)	l  =a– корень кратности s Þ Þ у* = е a x × х s × Qn (x)
3	f (x) = Pn (x) × cosb x + + Qm (x)sinb x	l = ± b i– некореньÞ Þ у * = P'k (x) cosb x + Q'k (x) sin b x	l  = ±b i– коренькратности s Þ Þ у * = х s × ( cos b x + Q'k (x) sin b x)
4	f (x) = е a x × (Pn (x) × × cosb x + Qm (x) sinb x)	l = a ± b i– некореньÞ Þ у * = е a x × (P'k (x) cosb x + + Q'k (x) sin b x)	l  = a ± b i– коренькратности s Þ Þ у * = х s × е a x (P'k (x) cos b x+ + Q'k (x) sin b x)

Пример 1. Найти общее решение уравнения 

.

Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением четвёртого порядка спостоянными коэффициентами. Его общее решение найдём по формуле (10):

у = у ₀ + у^*,

где у ₀ — общее решение соответствующего линейного однородного уравнения ; у^* — частное решение данного линейного неоднородного уравнения.

1. Найдём общее решение у ₀ соответствующего линейного однородного уравнения 

.

Запишем для него характеристическое уравнение

.

Его корни: k _1,2 = ± 1 — простые действительные числа (п. 2.3, случай 1); k _3,4 = ± i — комплексные сопряжённые простые корни (п. 2.3, случай 3; a = 0, b = 1). Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

у ₀ = С ₁ е ^x + C ₂ е ^–х+ С ₃cos x + C ₄sin x.

2. Найдём частное решение у^* данного линейного неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов.

Правая часть уравнения 

f (x) = 10 cos x

является частным случаем выражения (15); в табл. 2 это случай 3, где P_n (x)= P ₀(x)=10,
b =1, Q_n (x) = Q ₀(x) = 0.

Так как ± i —однократные корни характеристического уравнения, то по табл. 2 (последний столбец третьей строки) получаем частное решение у^* данного линейного неоднородного уравнения:

у^* = х × (А ₁cos x + А ₂sin x).

Найдём неизвестные величины А ₁, А ₂. Для этого продифференцируем четыре раза получившееся уравнение:

у^*' = (х × (А ₁ cos x + А ₂sin x))' = А ₁ cos x + А ₂sin x + х × (– А ₁sin x + А ₂ cos x);

у^*'' = 2 А ₂cos x – 2 А ₁sin x –х × (А ₁ cos x + А ₂sin x);

у^*''' = – 3 А ₁cos x – 3 А ₂sin x –х × (– А ₁ sin x + А ₂cos x);

у^{* IV} = 4 А ₁sin x – 4 А ₂ cos x + х × (А ₁cos x + А ₂sin x).

Подставим выражения для у ^IV и у  в исходное уравнение у ^IV ‑ y = 10 cos x:

4 А ₁sin x – 4 А ₂cos x + x (А ₁cos x + А ₂sin x) – хА ₁cos x – хА ₂sin x = 10 cos x.

После преобразований получим уравнение:

4 А ₁sin x – 4 А ₂cos x = 10 cos x.

Приравняем коэффициенты в левой и правой частях при sin x и cos x:

4 А ₁ = 0; – 4 А ₂ = 10.

Отсюда А ₁ = 0; А ₂ = – 5/2. Подставим эти значения в частное решение у^* данного линейного неоднородного уравнения:

у^* = х × (А ₁cos x + А ₂sin x) = – 5/2 х sin x.

3. Таким образом, общее решение данного линейного неоднородного уравнения спостоянными коэффициентами имеет вид

у = у ₀ + у^* = С ₁ е ^x + C ₂ е ^-х + С₃cos x + C ₄sin x ‑ 5/2 х sin x.

 

Линейным неоднородным уравнением второго порядка спостоянными коэффициентами называется уравнение вида

у '' + p у ' + qy = f (x),

где p, q — некоторые действительные числа; f (x)  0.

Его общее и частное решения находят на основе правил, изложенных в п. 2.4, т.к. это частный случай уравнения (14) при n = 2.

Пример 2. Найти общее решение уравнения 

у'' ‑ 3 у' + 2 y = x ² + 3 x.

Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка спостоянными коэффициентами. Его общее решение найдём по формуле (10):

у = у ₀ + у^*,

где у ₀ — общее решение соответствующего линейного однородного уравнения у'' – 3 у' + 2 y = 0;
у^* — частное решение данного линейного неоднородного уравнения.

1. Найдём общее решение у ₀ соответствующего линейного однородного уравнения
у'' ‑ 3 у' + 2 y = 0.

Запишем для него характеристическое уравнение

k ²‑ 3 k + 2 = 0.

Его корни k ₁= 1, k ₂= 2 — простые действительные числа (п. 2.3, случай 1). Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

у ₀ = С ₁ е ^x + C ₂ е ^2х.

2. Найдём частное решение у^* данного линейного неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов.

Правая часть уравнения f (x) = x ² + 3 x — многочлен 2-й степени — является частным случаем выражения (15). В табл. 2 это случай 1, где P_n (x)= P ₂(x)= x ² + 3 x. Так как 0 не является корнем характеристического уравнения, то по табл. 2 (предпоследний столбец первой строки) получаем частное решение у^* данного линейного неоднородного уравнения:

у^* = Q ₂(x) = А ₁ x ² + А ₂ x + А ₃.

Найдём неизвестные величины А ₁, А ₂, А ₃. Для этого продифференцируем два раза получившееся уравнение:

у^*' = (А ₁ x ² + А ₂ x + А ₃  = 2 А ₁ x + А ₂; у^*'' = 2 А ₁.

Подставим выражения для у'', у' и у в исходное уравнение:

2 А ₁ – 6 А ₁ x – 3 А ₂ + 2 А ₁ x ²+ 2 А ₂ x + 2 А ₃= x ²+ 3 x.

После преобразований получим уравнение:

2 А ₁ x ²+ (2 А ₂– 6 А ₁) x + (2 А ₁ – 3 А ₂ + 2 А ₃) = x ²+ 3 x.

Приравняем коэффициенты в левой и правой частях полученного равенства при одинаковых степенях неизвестного x:

Решив систему, получим А ₁ = 1/2; А ₂ = 3; А ₃ = 4. Подставим эти значения в частное решение у^* данного линейного неоднородного уравнения:

у^* = x ² + 3 x + 4.

3. Таким образом, общее решение данного линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид

у = у ₀ + у^* = С ₁ е ^x + C ₂ е ^2х + x ² + 3 x + 4.

Пример 3. Найти общее решение уравнения

у'' ‑ 2 у' + y = x ∙ e^x.

Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка спостоянными коэффициентами. Его общее решение найдём по формуле (10):

у = у ₀ + у^*,

где у ₀ — общее решение соответствующего линейного однородного уравнения у'' ‑ 2 у' + y = 0;

у^* — частное решение данного линейного неоднородного уравнения.

1. Найдём общее решение у ₀ соответствующего линейного однородного уравнения
у'' ‑ 2 у' + y = 0.

Запишем для него характеристическое уравнение

k ²– 2 k + 1 = (k – 1)² = 0.

k ₁ = k ₂= 1 — действительный корень кратности 2 (п. 2.3, случай 2). Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

у ₀ = е ^x (С ₁+ C ₂ х).

2. Найдём частное решение у^* данного линейного неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов.

Правая часть уравнения f (x) = x ∙ е ^x является частным случаем выражения (15). В табл. 2 это случай 2, где P_n (x)= P ₁(x)= х, a = 1. Так как a = 1 — это корень характеристического уравнения кратности 2, то по табл. 2 (последний столбец второй строки) получаем частное решение у^* данного линейного неоднородного уравнения:

у^* = е ^x × х ² × Q ₁(x) = е ^x × х ² × (А ₁ x + А ₂) = е ^x × (А ₁ х ³+ А ₂ х ²).

Найдём неизвестные величины А ₁, А ₂. Для этого продифференцируем два раза получившееся уравнение:

у^*' = (е ^x × (А ₁ х ³+ А ₂ х ²)  = е ^x × (А ₁ х ³+ (А ₂+ 3 А ₁) х ²+ 2 А ₂ x);

у^*'' = е ^x × (А ₁ х ³+ (А ₂+ 3 А ₁) х ²+ 2 А ₂ x + 3 А ₁ х ²+ 2(А ₂+ 3 А ₁) х + 2 А ₂).

Подставим выражения для у'', у' и у в исходное уравнение:

е ^x × (А ₁ х ³+ (А ₂+ 3 А ₁) х ²+ 2 А ₂ x + 3 А ₁ х ²+ 2(А ₂+ 3 А ₁) х + 2 А ₂) – 2 е ^x × (А ₁ х ³+ (А ₂+ 3 А ₁) х ²+ 2 А ₂ x +
+ е ^x × (А ₁ х ³+ А ₂ х ²) = х ∙ е ^х.

Разделим равенство на е ^x и после несложных преобразований получим уравнение

6 А ₁ x + 2 А ₂= x.

Приравняем коэффициенты в левой и правой частях полученного равенства при одинаковых степенях неизвестного x: 6А ₁ = 1; 2 А ₂ = 0. Откуда получим А ₁  = 1/6; А ₂ = 0. Подставим эти значения в частное решение у^* данного линейного неоднородного уравнения:

у^* = е ^x × х ³.

3. Таким образом, общее решение данного линейного неоднородного уравнения спостоянными коэффициентами имеет вид

у = у ₀ + у^* = е ^x (С ₁+ C ₂ х) + е ^x × х ³ = е ^x (С ₁+ C ₂ х + х ³).

Пример 4.  К источнику с электродвижущей силой (ЭДС), равной е (t), подключили контур, состоящий из последовательно соединённых катушки индуктивности L, омического сопротивления R и ёмкости C. Найти силу тока i в цепи как функцию времени t, если в начальный момент времени сила тока в контуре и заряд конденсатора равны нулю.

Решение. По закону Кирхгофа электродвижущая сила в цепи равна сумме падений напряжения на индуктивности, сопротивлении и ёмкости:

е (t) = U_L + U_R + U_C,

где U_L = ; U_R = R i; U_C = .

Заметим, что последнее равенство получается из соотношения между силой тока и зарядом конденсатора: , откуда , а так как U_C = , то U_C =  + . По условию задачи q ₀= 0.Таким образом, получаем интегрально-дифференциальное уравнение е (t) =  + Ri +  . Продифференцировав его по t, получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

 + R  + .

 

Здесь возможны два случая: 1) е (t) = С = сonst; 2) е (t) = E sinw t.

Рассмотрим первый случай. Здесь . Тогда получим однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

 +  + .

Характеристическое уравнение  имеет корни

.

Если ³ 0, то корни характеристического уравнения — действительные и общее решение есть функция непериодическая. Соответственно апериодической является и сила тока. Никаких электрических колебаний в цепи не произойдёт.

Если же < 0, то общее решение

,

где ,  определяет электрические колебания.

Так как , то .

Следовательно, начальные условия можно записать в виде

; .

Дифференцируя i по t, имеем

.

Подставив t = 0в выражения для i и , получим

0 = С1, ,

откуда С ₁ = 0, .

Итак, частное решение уравнения принимает вид

.

Рассмотрим второй случай. Так как е (t) = E sinw t, то E × w × cosw t. Тогда получим линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

 +   + E × w × cosw t.

Его общее решение найдём по формуле (10):

,

где i ₀ - общее решение соответствующего линейного однородного уравнения (его мы уже нашли, рассматривая первый случай);  - частное решение данного линейного неоднородного уравнения.Найдём частное решение  данного линейного неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов.

Правая часть уравнения f (t) = E × w × cosw t является частным случаем выражения (15);

в табл. 2 это случай 3, где P_n (t)= P ₀ (t) == E × w × cosw t, b =w, Q_n (t) = Q ₀ (t) = 0. Так как ±w i не является корнем характеристического уравнения, то по табл. 2 (предпослед-ний столбец третей строки) получаем частное решение   линейного неоднородного уравнения:

 = А₁ cosw t + А₂ sinw t.

Найдём неизвестные величины А₁, А₂. Для этого продифференцируем два раза получившееся уравнение:

 = (А₁ cosw t + А₂ sinw t  = - А₁ wsinw t + А₂ wcosw t;

 = - А₁ w²cosw t 0 -А₂ w²sinw t.

Подставим выражения для , и i в исходное уравнение:

- А₁ w²cosw t - А₂ w²sinw t + (- А₁ wsinw t + А₂ wcosw t) + (А₁ cosw t + А₂ sinw t) =

= E × w × cosw t.

После преобразований, приравнивая коэффициенты в левой и правой частях при sinw t иcosw t, получим:

А₁  = ; А₂  = .

Подставим эти значения в частное решение  данного линейного неоднородного уравнения, получим:

 = cosw t + sinw t.

Таким образом, общее решение данного линейного неоднородного уравнения спостоянными коэффициентами имеет вид

 + cos w t + sin w t,

где , . Подставив начальные условия, получим частное решение этого уравнения.

;

Для использования второго начального условия продифференцируем по переменной t:

По условию задачи . Частное решение уравнения имеет вид

где