Лекция 6. Метод вариации произвольных постоянных

Если известна фундаментальная система решений у ₁, у ₂,..., у _n однородного уравнения (8), то общее решение соответствующего неоднородного уравнения (7) можно найти методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа). Этот метод можно применять при решении линейного неоднородного уравнения (7) как с переменными, так и с постоянными коэффициентами. При этом, если правая часть неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами (14) не является частным случаем формулы (15), то этот метод позволяет найти решение. Суть метода заключается в следующем.

Общее решение уравнения (7) записывают в виде

у = С₁(х) у ₁ + С₂(х) у ₂ +... +С _n (х) у _n,

где у ₁, у ₂,..., у _n — линейно независимые частные решения уравнения (8), а функции С₁(х), С₂(х),..., С _n (х) находят из системы уравнений:

(17)

Система (17) всегда имеет решения, т.к. её определитель является определителем Вронского, а W (x) ¹ 0 (п. 2.2).

Пример 1. Найти общее решение уравнения

y ' + x ∙ y ''= x ². (18)

Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка. Решим его методом вариации произвольных постоянных.

1. Найдём общее решение соответствующего линейного однородного уравнения

x ∙ y '' + y ' = 0. (19)

Данное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, не содержащим искомой функции у. Полагая y ' = z, следовательно, y '' = z, преобразуем уравнение (19) к виду

x ∙ z ' + z = 0.

Таким образом понизили порядок уравнения на единицу и получили уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:

Þ Þ Þ .

Возвращаясь к переменной у, опять получим уравнение с разделяющимися переменными: . Решим его:

Þ Þ

— общее решение линейного однородного уравнения (19). Исходя из вида полученного общего решения, можно допустить, что , у ₂= 1 — частные решения уравнения (19).

2. Найдём общее решение данного линейного неоднородного уравнения (18) в виде:

. (20)

Для нахождения функций С ₁(х), С ₂(х) составим систему уравнений:

(21)

Заметим, что если разделить исходное уравнение (18) на х ¹ 0, получим уравнение

. (22)

Тогда f (x) = х, , у ₂= 1 и система (21) примет вид:

Последовательно дифференцируя уравнение (20) два раза и учитывая равенства системы, получим:

;

Подставив эти выражения вместо y ', y '' в исходное уравнение (22), получим

Откуда Þ Þ .

Первое уравнение системы (21) примет вид .

Интегрируя его, получим .

Таким образом, подставляя найденные значения функций С ₁(х) ,С ₂(х) в уравнение (20), получим общее решение данного линейного неоднородного уравнения (18):

где С ₁, С ₂— произвольные постоянные.

Заметим, что при х = 0 исходное уравнение (18) принимает вид y ' = 0. Откуда получим частное решение: у = С.

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением третьего порядка. Решим его методом вариации произвольных постоянных.

1. Найдём общее решение соответствующего линейного однородного уравнения

Данное уравнение является линейным однородным уравнением третьего порядка спостоянными коэффициентами. Запишем для него характеристическое уравнение

Его корни k ₁= 1, k ₂= –1, k ₃= 2 — простые действительные числа (п. 2.3, случай 1). Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

у = С ₁ е ^x + C ₂ е^-х + C ₃ е ^2х.

Исходя из вида общего решения, можно допустить, что у ₁= е^х, у ₂= е^-х, у ₃= е^2х — частные решения однородного уравнения.

2. Найдём общее решение данного линейного неоднородного уравнения в виде

у = С ₁(х) е ^x + C ₂(х) е^–х + C ₃(х) е ^2х. (23)

Для нахождения функций С ₁(х), С ₂(х), С ₃(х)составим систему уравнений (17). Она примет вид

Решая систему из трёх уравнений с тремя неизвестными, например методом Гаусса, получим:

, , .

Интегрируя эти выражения, найдём:

;

Таким образом, подставляя найденные значения функций С ₁(х), С ₂(х), С ₃(х) в уравнение (23), получим общее решение данного линейного неоднородного уравнения:

у = е ^x + е^-х + е ^2х =
= С ₁ е ^x + C ₂ е^-х + C ₃ е ^2х + ,

где С ₁, С ₂, С ₃— произвольные постоянные.