Лекция 15 Непрерывные случайные величины

Определение 15.1. Говорят, что случайная величина Х имеет вероятность или плотность распределения вероятностей, если существует функция p (x)  такая, что функция распределения

=P{ X < x }=     (1).

Пример 15.2. Функция распределения случайной величины Х имеет вид

Найдите плотность распределения.

 Плотность распределения p (x) и функция распределения  связаны формулой (1), из нее получаем:

p (x) = = = =  при ;

p (x) = =0 при .

Таким образом, плотность распределения данной случайной величины определяется следующей функцией

 

Пример 15.3. Найти функцию распределения случайной величины Х, плотность вероятности которой определена функцией

 Чтобы найти функцию распределения , воспользуемся формулой (1). При  получаем = =0.

При  находим

= = + = + = 0+ = .

При  имеем

= = + + = + + =0+ + + = +(2 x - ) – (2 - )= -  + 2 x - 1.

При  получаем = = + = + =1.

Таким образом, искомая функция распределения имеет вид

 

 

Плотность распределения p (x) и функция распределения  связаны формулой (1), из нее получаем:

p (x) = = = =  при ;

p (x) = =0 при .

Таким образом, плотность распределения данной случайной величины определяется следующей функцией

Определение 15.3. Случайная величина называется непрерывной, если она имеет плотность распределения вероятностей.

График функции p (x) (плотности распределения) называется кривой распределения.

Вероятность попадания значений случайной величины X в интервал  равна:

P{ < X < }= (2).    

Пример 15.4. Плотность распределения случайной величины Х задана функцией

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение из интервала (1,2).

 Необходимую вероятность найдем по формуле (2):

P{1< X <2 }= =  = - = 1- = =0,75.

Свойства плотности распределения

Свойство 15.3. F'(x)= p (x).

Свойство 15.4. Плотность распределения – неотрицательная функция p (x) >0.

 Т.к. F(x) - неубывающая функция, то F'(x) 0, p (x) = F'(x) 0.

 

График плотности распределения называют кривой распределения. Кривая распределения расположена либо над осью O x, либо на оси O х.

Свойство 15.5. =1.

 В равенстве (1) вместо x ставим x =+∞, получаем F(+∞)= =1.

Свойство 15.6. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение из множества В равна интегралу по множеству В от плотности распределения:

Р(Х В)= .

 

 

Литература:

1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика         / В.Е. Гмурман – М.: Высшая школа, 1977 (2004, 2008). – 480 с.

2. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по ТВ и МС / В.Е. Гмурман – М.: Высшая школа, 1979 (2004, 2008). – 400 с.

3. Мацкевич, И.П. Высшая математика: ТВ и МС / И.П. Мацкевич, Г.П. Свирид – Минск.: Вышэйшая школа, 1993. – 269 с.

4. Еровенко, В.А. Основы высшей математики для филологов: методические замечания и примеры, курс лекций / В.А. Еровенко. – Минск.: БГУ, 2006. – 175 с.

5. Бураковский, В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: лабораторный практикум: в 2 ч. Ч. 1 / В.В. Бураковский – Гомель.: ГГУ им. Ф. Скорины, 2002. – 52 с.

6. Свешников, А.А. Сборник задач по теории вероятности, математической статистики и теории случайных функций / А.А. Свешников – М.: Наука, 1965. – 632 с.

7. Кручкович, Г.И. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики / Г.И. Кручкович, Г.М. Мордасова, В. А. Подольский, Б. С. Римский-Корсаков, – М.: Высшая школа, 1970. – 512 с.

 

Учебное издание

 

 

БУРАКОВСКИЙ ВЛАДИМИР ВИКТОРОВИЧ

БОРОДИЧ ТИМУР ВИКТОРОВИЧ

 

 

Высшая математика

Тексты лекций

 

 

Рекомендованы к изданию научно-методическим советом учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

 

Подписано в печать __.__.__. Формат 60x84 1/16. Бумага писчая № 1

Печать офсетная. Гарнитура Таймс. Усл. П. Л. 4,7. Уч.-изд.л. 3,72. Тираж ___ экз.

 

 

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

246019, г. Гомель, ул. Советская, 104

 

Отпечатано на полиграфической технике с оригинала

макета учреждения образования «Гомельский государственный

университет имени Франциска Скорины»

246019, г. Гомель, ул. Советская, 104