Определение 15.1. Говорят, что случайная величина Х имеет вероятность или плотность распределения вероятностей, если существует функция p (x) такая, что функция распределения
=P{ X < x }= 
(1).
Пример 15.2. Функция распределения случайной величины Х имеет вид 
Найдите плотность распределения.
Плотность распределения p (x) и функция распределения связаны формулой (1), из нее получаем:
p (x) = 
= 
= 
= 
при 
;
p (x) = =0 при 
.
Таким образом, плотность распределения данной случайной величины определяется следующей функцией
Пример 15.3. Найти функцию распределения случайной величины Х, плотность вероятности которой определена функцией
Чтобы найти функцию распределения , воспользуемся формулой (1). При 
получаем = 
=0.
При 
находим
= = 
+ 
= 
+ 
= 0+ 
= 
.
При 
имеем
= = + 
+ 
= + 
+ 
=0+ 
+ + 
= 
+(2 x - ) – (2 - )= - + 2 x - 1.
При 
получаем = = 
+ 
= 
+ 
=1.
Таким образом, искомая функция распределения имеет вид
Плотность распределения p (x) и функция распределения связаны формулой (1), из нее получаем:
p (x) = = = = при ;
p (x) = =0 при .
Таким образом, плотность распределения данной случайной величины определяется следующей функцией
Определение 15.3. Случайная величина называется непрерывной, если она имеет плотность распределения вероятностей.
График функции p (x) (плотности распределения) называется кривой распределения.
Вероятность попадания значений случайной величины X в интервал 
равна:
P{ 
< X < 
}= 
(2).
Пример 15.4. Плотность распределения случайной величины Х задана функцией
Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение из интервала (1,2).
Необходимую вероятность найдем по формуле (2):
P{1< X <2 }= 
= 
= 
- 
= 1- 
= 
=0,75.
Свойства плотности распределения
Свойство 15.3. F'(x)= p (x).
Свойство 15.4. Плотность распределения – неотрицательная функция p (x) >0.
Т.к. F(x) - неубывающая функция, то F'(x) 
0, p (x) = F'(x) 0.
График плотности распределения называют кривой распределения. Кривая распределения расположена либо над осью O x, либо на оси O х.
Свойство 15.5. 
=1.
В равенстве (1) вместо x ставим x =+∞, получаем F(+∞)= =1.
Свойство 15.6. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение из множества В равна интегралу по множеству В от плотности распределения:
Р(Х 
В)= 
.
Литература:
1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман – М.: Высшая школа, 1977 (2004, 2008). – 480 с.
2. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по ТВ и МС / В.Е. Гмурман – М.: Высшая школа, 1979 (2004, 2008). – 400 с.
3. Мацкевич, И.П. Высшая математика: ТВ и МС / И.П. Мацкевич, Г.П. Свирид – Минск.: Вышэйшая школа, 1993. – 269 с.
4. Еровенко, В.А. Основы высшей математики для филологов: методические замечания и примеры, курс лекций / В.А. Еровенко. – Минск.: БГУ, 2006. – 175 с.
5. Бураковский, В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: лабораторный практикум: в 2 ч. Ч. 1 / В.В. Бураковский – Гомель.: ГГУ им. Ф. Скорины, 2002. – 52 с.
6. Свешников, А.А. Сборник задач по теории вероятности, математической статистики и теории случайных функций / А.А. Свешников – М.: Наука, 1965. – 632 с.
7. Кручкович, Г.И. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики / Г.И. Кручкович, Г.М. Мордасова, В. А. Подольский, Б. С. Римский-Корсаков, – М.: Высшая школа, 1970. – 512 с.
Учебное издание
БУРАКОВСКИЙ ВЛАДИМИР ВИКТОРОВИЧ
БОРОДИЧ ТИМУР ВИКТОРОВИЧ
Высшая математика
Тексты лекций
Рекомендованы к изданию научно-методическим советом учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»
Подписано в печать __.__.__. Формат 60x84 1/16. Бумага писчая № 1
Печать офсетная. Гарнитура Таймс. Усл. П. Л. 4,7. Уч.-изд.л. 3,72. Тираж ___ экз.
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
246019, г. Гомель, ул. Советская, 104
Отпечатано на полиграфической технике с оригинала
макета учреждения образования «Гомельский государственный
университет имени Франциска Скорины»
246019, г. Гомель, ул. Советская, 104
