:
.
:
:
.
:
z=z(x) x, :
. -.
y=ax - -, y=xn - , y=xx - -.
y=[f(x)]j(x) - - -.
lny=xlnx - , - .
(1/y)*y`=(lny)
(x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1
y`=y*(lnx+1)=xx(lnx+1)
, - y=f(x) , .
-:
1.y=xn, nlnx, y`/y=n/x=n*(x)-1
y`=y*n*(x-1)=n*xn*x-1=n*xn-1
2.y=eU, U=sinx
U`=cosx, y`=(eU)`=eU*U`=esinx*cosx.
- 1 .
y=f(x)
y``=(y`)`=lim((f`(x+Dx)-f`(x))/Dx)
x0
y```=(y``)`= lim((f``(x+Dx)-f``(x))/Dx)
f(n)(x)=[f(n-1)(x)]`
1,2- -.
- , F(x,y)=0, .
y=f(x), y=x2-1 -
F(x,y)=0, a2=x2+y2 - -.
1)a2=x2+y2 - , , - - .
y`=2x+2y=0, .. -
y*y`=-x, y`=-x/y
2) x3-3xy+y3=0
3x3-3(xy)`+3y2*y`=0 //:3
x2-(x`y+y`x)+y2*y`=0
y`y2-xy`=y-x2
y`=(y-x2)/(y2-x)
- . - .
limy=A, y=A+a
limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx
Dx0
Dy=y`Dx+e, e-..., ,, Dx(a), .
dy=y`Dx
- . , .. D - ... , D.
y=x, dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx
y¹x, dy=y`dx, y`=dy,dx
: - , - (x0,f(x0)) x0 Dx
-:
1. (UV)`=U`V`, (UV)`dx=U`dxV`dx, d(UV)=d(UV)
2. (UV)`=U`V+V`U, (UV)`dx=V`dU+U`dV
3.d(c)=c`dx=0*dx=0
4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2.
.
f(x) / [a,b] . (a,b) f(a)=f(b) . . (a,b), , f(c)=0.
.
f(x) [a,b] (a,b), .
. (a,b), , : f(b)-f(a)=f(c)(b-a).
: ., g(x)=x, g(x)=1¹0.
.
f(x), g(x) . :
|
|
1). f(x), g(x) . [a,b]
2). f(x), g(x) . (a,b)
3). g(x)¹0 . (a,b), . .
g(b)¹g(a) ( ).
1). F(x) [a,b]
2). F(x) (a,b)
3). F(a)=0; F(b)=0
. Î(a,b); F()=0
53. -:
x2>x1, f(x2)>f(x1), -
x2>x1, f(x2)<f(x1), -
-
:1) - f(x) , (f`(x)>=0)
2) - f(x) , (f`(x)<=0)
3) - f(x) , =0 (f`(x)=0)
: 1) f`(x) , - f(x) .
2) f`(x)<0, - f(x) .
3) f`(x)=0, - f(x)=const .
x1<a<x2, x2-x1>0, x2>x1
1. f`(a)>0, f(x2)>f(x1)
2. f`(a)<0, f(x2)<f(x1)
3. f`(a)=0, f(x2)=f(x1)