Формула (3) называется координатным выражением векторного произведения.

Замечание. Если требуется найти векторное произведение векторов , то сначала векторы переносят в пространство :

, а затем используют формулу (3), которая в данном случае дает:

Пример 5. Найти , если .

Решение. . Координаты вектора найдем с помощью формулы (3).

Пример 6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах .

Решение. Сначала найдем векторное произведение .

Теперь воспользуемся геометрическим смыслом векторного произведения, по которому длина вектора равна искомой площади параллелограмма на векторах , т.е.

Пример 7. Найти площадь треугольника на плоскости с вершинами в точках .

Решение. Рассмотрим векторы . Найдем их векторное произведение .

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах . Следовательно, .

Пример 8. Найти координаты орта , перпендикулярного одновременно векторам и такого, чтобы тройка была правой.

Решение. Сначала с помощью формулы (3) найдем вектор .

Согласно определению вектор перпендикулярен одновременно векторам и тройка

- правая. Проверим перпендикулярность пар векторов: и , используя условие ортогональности векторов (см. Занятие 6.)

1) . .

2) . .

Искомый орт получается нормировкой вектора . . .

Пример 9. Сформулировать условие коллинеарности векторов с помощью векторного произведения.

Решение.

1). Если , то угол между и равен 0 или . Рассмотрим .

Согласно требованию 3 и указанным значениям угла из определения векторного произведения выводим: .

2). Рассмотрим теперь векторное равенство . В силу определения векторного произведения (достаточно использовать требование 3) из этого векторного равенства получаем следующие три возможности: а) ; б) ; в) , т.е. или . Т.к. нулевой вектор параллелен любому вектору, то все три случая а), б), в) приводят к выводу: .

Таким образом, условие коллинеарности можно записать в виде: .

Отсюда, как следствие получаем: .

7.4. Смешанное произведение: определение; свойства; координатное выражение. Условие компланарности тройки векторов.

Смешанное произведение определено на трех векторах . Обозначим его .

Определение. . Таким образом, смешанное произведение векторов представляет векторное произведение векторов , умноженное затем скалярно на вектор . Результатом смешанного произведения векторов будет число.

Свойства смешанного произведения.

Перестановки векторов: называются циклическими.

Свойства , означают, что смешанное произведение векторов не меняется после циклической перестановки векторов и изменяет свое значение на противоположное при нециклических перестановках векторов.

Если векторы заданы координатами , то смешанное произведение находится по формуле

. (4)

Эта формула дает координатное выражение смешанного произведения .

Смешанное произведение имеет следующий геометрический смысл:

1. Если тройка векторов - правая, то смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах ;

2. Если же тройка - левая, то , где - объем параллелепипеда на векторах .

Указанный геометрический смысл смешанного произведения векторов приводит к следующей формулировке условия компланарности системы из трех векторов :

. (5)

Пример 10. Вычислить , если .

Решение. Согласно координатному выражению (4) находим

Заметим, что полученный результат позволяет также сказать, что

1) тройка - левая (т.к. ) и

2) объем параллелепипеда на векторах равен 19.

Пример 11. Найти объем пирамиды с вершинами .

Решение. Рассмотрим векторы .

Найдем их смешанное произведение.

Следовательно, объем параллелепипеда на векторах равен 45. Объем пирамиды составляет одну шестую объема . Таким образом, .

Пример 12. Выяснить, лежат ли точки

на одной плоскости.

Решение. Четыре произвольно выбранные точки в общем случае не лежат одной плоскости. Для того, чтобы заданные четыре точки оказались на одной плоскости нужно, чтобы тройка векторов была компланарной. Условие компланарности: .