Определение ускорения силы тяжести при помощи

ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

Цель работы: измерить ускорение силы тяжести для Астрахани.

Оборудование: оборотный маятник, секундомер, линейка.

 

Теоретическое введение

 

Между любыми видами материи (как между частицами вещества, так и между полевыми частицами) существует уникальное взаимодействие, которое имеет всегда и в любом уголке Вселенной. Это взаимодействие называется тяготением. Тяготеют друг к другу все объекты природы.

Классическую нерелятивистскую теорию гравитации создал Исаак Ньютон в 1687 году. Согласно этой теории сила тяготения может быть определена по закону всемирного тяготения. Свой закон всемирного тяготения Ньютон открыл, основываясь на эмпирических законах Иоганна Кеплера, известных к тому времении наблюдая за движением небесных тел. Проверив закон всемирного тяготения на примере Луны, Ньютон обобщил его на все тела, которые можно принять за материальные точки или тела, имеющие сферическую форму.

Закон всемирного тяготения: две материальные точки с массами m ₁ и m ₂ притягивают друг друга с силой, пропорциональной произведению масс этих точек и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ниминаправленной вдоль линии, соединяющей эти точки:

 

. (2.1)

 

В векторной форме закон имеет вид:

 

. (2.2)

Здесь F _1,2 – сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй,  – радиус-вектор, направленный от первой материальной точки ко второй. Сила F _2,1 отличается от силы F _1,2 только знаком: .

Коэффициент пропорциональности G называют гравитационной постоянной или постоянной тяготения. Общепринятое значение G:

 

G = 6,67 * 10 ^–11 .

 

Закон всемирного тяготения, выраженный формулой (2.1), справедлив только для двух материальных точек или двух тел сферической формы, или материальной точки и тела сферической формы. Кроме того, его можно применять к телу произвольной формы, которое можно принять за материальную точку, но при это если второе тело иметь форму шара, например, когда одно тело – ракета, а другое – планета. В этом случае за расстояние r в формуле (2.1) принимают расстояние между материальной точкой и центром планеты. В случае двух тел сферической формы за расстояние r в формуле (2.1) принимают расстояние между их центрами.

Чтобы вычислить силу тяготения между телами произвольной формы или с произвольным распределением вещества в них, следует векторно сложить все силы тяготения между каждой i -ой материальной точкой и каждой k -ой точкой второго. Тогда закон всемирного тяготения имеет вид:

Здесь N ₁ и N ₂ – количество материальных точек в первом и втором телах, m_i и m_k – массы i -ой и k -ой точек, r_ik – расстояние между этими точками.

Сила, с которой два тела притягиваются друг к другу, называется гравитационной (или силой всемирного тяготения). Силы всемирного тяготения – самые универсальные из всех сил природы, так как они действуют между любыми телами, имеющими массу, а массу имеют все материальные тела. Универсальны они еще и тем, что для них не существует никаких преград, они проникают сквозь все тела и область их действия безгранична.Силы тяготения всегда являются силами притяжения и направлены вдоль одной прямой, проходящей через центры взаимодействующих тел. Гравитационное взаимодействие является фундаментальным. Самым замечательным свойством гравитационных сил является их свойство сообщать всем телам независимо от массы, формы и размеров одинаковое ускорение. Это свойство связано с пропорциональностью сил тяготения массам тел, на которые они действуют.

На любое тело, расположенное вблизи Земли, действует гравитационная сила F, под влиянием которой, согласно второму закону Ньютона, тело начинает двигаться с ускорением свободного падения g, то есть в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой m действует сила, равная:

 

, (2.3)

 

называемая силой тяжести.

Согласно фундаментальному физическому закону, обобщенному закону Галилея, все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорением. Следовательно, в данном месте Земли ускорение свободного падения одинаково для всех тел. Его изменение в разных точках пространства обусловлено суточным вращением Земли вокруг своей оси, а так же её формой и неоднородностью.

Если пренебречь суточным вращением Земли вокруг своей оси, то сила тяжести и сила тяготения равны между собой:

 

           (2.4)

 

где М – масса Земли, R ₀ – радиус Земли, h – расстояние от поверхности Земли до тела. Из формулы следует, что

 

, (2.5)

то есть g зависит только от расстояния между телом и земной поверхностью. Важным следствием этой формулы является также то, что g не зависит от массы тел.

Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется свободным падением.

Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется посредством поля тяготения (гравитационного поля). Это поле порождается телами и является одной из форм материи.

Для силовой характеристики гравитационного поля вводится векторная величина

 

 ,       (2.6)

где F – сила, действующая в данной точке поля на тело массой m. Эта величина называется напряженностью гравитационного поля. Можно говорить, что ускорение свободного падения и напряженность гравитационного поля одна и та же величина.

    Энергетической характеристикой гравитационного поля является потенциал гравитационного поля численное значение которого выражается формулой:

,                 (2.7)

 

где E_p – потенциальная энергия, которой обладает тело массы m в данной точке поля.

Связь между напряженностью и потенциалом гравитационного поля устанавливает соотношение:

 

. (2.8)

 

В физике всякое твёрдое тело, колеблющееся под действием силы тяжести вокруг неподвижной точки или оси, называют маятником.

Таким образом физическим маятникомназывается твердое тело, которое может качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. (рис.2.1).
При отклонении маятника от положения равновесия возникает момент М силы тяжести, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен:

 

M = - mglsin j, (2.9)

где m – масса маятника, l – расстояние между точкой подвеса и центром тяжести C. Центром тяжести тела называется точка, к которой приложена сила тяжести, действующая на это тело. Момент М имеет такое направление, что стремится уменьшить угол отклонения j. Поэтому в соотношении (2.9) стоит знак минус. Для отыскания закона движения маятника воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения:           

,         (2.10)

 

где I – момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку О; e - угловое ускорение, численно равное:

 

Момент сил трения для простоты расчетов не учитываем.

Подставив в этот закон соотношение (2.9), получаем уравнение движения маятника в дифференциальной форме:

 

- mglsin j (2.11)

 

В случае малых углов при отклонении маятника sin j» j, тогда уравнение (2.11) можно записать в упрощённой форме:

 

mgl j. (2.12)

 

Решение этого уравнения имеет вид:

 

(2.13)

где - циклическая частота.

 

Зная, что

 

 получаем для периода колебаний физического маятника:

(2.14)

 

Частным случаем физического маятника является математический маятник. Так называется маятник, вся масса которого практически сосредоточена в одной точке – в центре масс маятника С. Примером математического маятника может служить шарик, подвешенный на длинной нити.

Момент инерции математического маятника, как материальной точки относительно неподвижной точки О равен:

 

(2.15)

 

Подставив в формулу (2.14) выражение (2.15) получим, что период колебаний математического маятника равен:

 

(2.16)

 

Из сопоставления формул (2.14) и (2.16) получается, что физический маятник имеет тот же период колебаний, что и математический с длиной:

 

 

(2.17)

                           

Выражение I / ml называют приведённой длиной физического маятника. l _пр – эта длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

На практике приведённая длина физического маятника определяется расстоянием между точкой подвеса маятника О и его центром качания О׳, если периоды колебаний на обеих призмах совпадают (рис.2.1). Точка на прямой, соединяющая точку подвеса с центром тяжести на расстоянии приведённой длины от вращения называется центром качания физического маятника. Точка подвеса О и центр качания О^׳ обладают свойством взаимности. Если подвесить физический маятник в точке O^׳, а прежняя точка подвеса станет центром качания то приведённая длина, а значит и период колебаний маятника не изменится.

 На этом свойстве основано определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника. Оборотным маятником называется маятник, у которого имеются параллельные закреплённые вблизи его концов опорные призмы П₁ и П₂, на которых он может совершать колебания, опираясь на ребро той или иной призмы (рис.2.3). Вдоль маятника может перемещаться закреплённый на нём груз Г₁. Перемещением этого груза можно установить такое положение центра тяжести маятника, что при подвешивании его на любую из призм период колебаний останется одинаковым. Тогда расстояние между опорными призмами составит l _пр. Измерив период колебаний маятника и зная его приведённую длину, можно по формуле:

                      (2.18)

 

 

определить ускорение свободного падения:

 

.

 

Так как оборотный маятник – частный случай физического маятника, то необходимо решить вопрос: когда же физический маятник можно считать оборотным?

Основное свойство оборотного маятника состоит в том, что центр вращения (точка О) и центр качаний (точка О') взаимозаменяемы.

Рассмотрим три возможных соотношения между длиной l и приведенной длиной l _пр физического маятника:

 

1) ;

 

;

 

;

 

,

 

что невозможно, так как величины I, m, l по сути своей положительные. При таком соотношении между l и l _пр маятник будет переворачиваться, так как центр тяжести оказывается выше точки подвеса и тело находится в положении неустойчивого равновесия.

 

2) ;

 

;

 

;

 

;

 

,

 

то есть тело будет находиться в состоянии покоя.

 

3) ;

 

;

 

;

 

,

 

то есть только в этом случае будут происходить колебания.

 

 

Порядоквыполненияработы.

1. Поставим груз Г₁ в положение 1 на шкале маятника.

2. Отклонив маятник на угол не более 20°, замерим t₁ – время 25 полных колебаний на опорной призме П₁.

3. Перевернём маятник и замерим t₂ – время 25 полных колебаний на опорной призме П₂. 

4. Повторим пункты 2 и 3 для случаев, когда груз Г₁ находится в положениях 2, 3, 4, 5 шкалы маятника.

5. Результатзаносим в таблицу № 1.

 

Таблица № 1

№ п/п	Деленияшкалы, см	N – числоколебаний	t1 c	T1 c	t2 c	T2 c
1	1	25
2	2	25
3	3	25
4	4	25
5	5	25

 

где, T ₁ – период колебаний маятника на призме П₁, T ₂ – период колебаний маятника на призме П₂.

6. Вычислим периоды и по формуле: T = t / n.

7. По табличным данным строим график зависимости соответствующих периодов   и от положения груза Г₁ на шкале маятника. Если пересечение двух графиков не произошло или точек пересечения несколько, то работа выполнена неверно. Требуетсяповторитьизмерениязаново.

8. Из пересечения кривых на графике находим Т₀ – период, одинаковый для колебаний маятника на призмах П₁ и П₂.

9. Ставим подвижный груз в положение Х, соответствующее пересечению кривых на графике и измеряем периоды колебаний на одной и второй призме (число колебаний не менее 50).

10. Исходя из полученных значений , , найти среднее значение периода колебаний (Т_ср).

11. Определите относительную ошибку в определении периода (E_T, %).

12. Вычислите среднюю абсолютную ошибку в определении периода (D Т_ср).

13. Вычислите среднее значение ускорения свободного падения по формуле:

 

 

14.Вычислите относительную ошибку в определении ускорения свободного падения, исходя из относительной ошибки периода:

 

.

 

15.Найдите среднюю абсолютную ошибку ускорения свободного падения:

 

.

 

16. Запишитерезультат измерения в виде:

 

 

17.Запишите вывод о проделанной работе.