Б ілет № 7. Десяткова система числення. Додавання в десятковій системі числення багатоцифрових чисел.
Нумерацією або системою числення - називається сукупність правил і знаків або слів, за допомогою яких можна записати письмово або назвати усно будь-яке натуральне число.
- називають мову для назви запису чисел та виконання дій над числами.
- У десятковій системі числення для запису будь-якого числа використовують десять цифр: 0, 1, 2,..., 9.
- За основу лічби взято число десять.
- Будь-яка скінчена послідовність цифр означає деяке число, причому значення цифри залежить від того, яку позицію (місце) вона займає в запису числа; в запису числа кожна цифра означає відповідну кількість розрядних одиниць.
Перші десять одиниць називаються одиницями першого розряду:
· десять одиниць першого розряду становлять одну одиницю другого розряду – десяток;
· десять одиниць другого розряду – сотню,
· десять сотень – одну одиницю четвертого розряду – тисячу і т. д.
- Кожні три послідовні розряди, починаючи з першого, утворюють клас.
Три розряди класу називаються одиницями, десятками і сотнями цього класу.
За допомогою усної десяткової нумерації називають будь-яке натуральне число.
Десятковим записом натурального числа m називається його подання у вигляді m = an · 10 n + … + a 1 · 10 + a 0 або скорочено
m = an an -1 … a 1 a 0
Назви класів і розрядів наведено у таблиці
| № класу | Назва класу | № розряду | Назва розряду |
| I | Одиниці | 1 2 3 | Одиниці Десятки Сотні |
| II | Тисячі | 4 5 6 | Одиниці тисяч Десятки тисяч Сотні тисяч |
| III | Мільйони | 7 8 9 | Одиниці мільйонів Десятки мільйонів Сотні мільйонів |
| IV | Мільярди (більйони) | 10 11 12 | Одиниці мільярдів Десятки мільярдів Сотні мільярдів |
Числа 1, 10, 10 2 ,… 10 n -1, 10 n називаються розрядними одиницями.
Порівняння чисел у десятковій системі числення:
1) Два числа рівні тоді і тільки тоді, коли всі цифри їх розрядів однакові:
amam-1… a1a0 = bmbm-1 … b1b0, якщо am = bm, …, a0 = b0.
2) Із двох чисел, записаних різною кількістю цифр, більшим є те, в якому більше цифр, тобто яке має одиниці більш високого розряду.
3) Із двох чисел з однаковою кількістю цифр більшим є те, у якому цифра найвищого розряду має більше одиниць, а якщо цифри найвищого розряду однакові, то більшим є число, в якому цифра, що стоїть за ним, має більше одиниць, і т. д.
Правило додавання «стовпчиком» базується на:
· способі запису чисел у десятковій системі числення;
· переставному і сполучному законах додавання;
· розподільному законі множення відносно додавання;
· таблиці додавання одноцифрових чисел.
Алгоритм додавання цілих невід’ємних чисел у десятковій системі числення
Якщо числа а і в одноцифрові, то для обчислення суми цих чисел досить порахувати число елементів двох множин, які не перетинаються і які мають відповідно а і в елементів. Усі можливі суми, які дістають при додаванні одноцифрових чисел, утворюють таблицю додавання одноцифрових чисел. Її запам’ятовують і щоразу використовують при додаванні таких чисел.
При додаванні багатоцифрових чисел використовують правило додавання одноцифрових чисел. Такі числа подають (або уявляють) у вигляді сум степенів числа 10 з коефіцієнтами, якими є цифри даних чисел. Наприклад: 1917 + 1991 = (1·103 + 9·102 + 1·10 + 7) + (1·103 + 9·102 + 9·10+ 1). Згрупуємо коефіцієнти відносно однакових степенів числа 10 і додамо їх, згідно з таблицею додавання одноцифрових чисел. Якщо сума коефіцієнтів менша за 10, то записують її в тому ж розряді; якщо сума більше від 10, то число її одиниць записують в тому ж розряді, а число десятків додають до вищого розряду.
Так, 1917 + 1991 = (1+1) ·103 + (9 + 9) ·102 + (1 + 9) · 10 + (7 +1) = 3908.
Для того щоб відповідні одиниці розрядів відразу згрупувати, треба числа записати стовпцем і виконати додавання цифр відповідних розрядів:
+ 1 9 1 7
1 9 9 1
3 9 0 8
Загальний алгоритм додавання багатоцифрових чисел такий:
1) другий доданок записують під першим так, щоб відповідні розряди знаходились один під одним;
2) додають цифри розряду одиниць; якщо сума менша 10, її записують у розряд одиниць результату і переходять до додавання цифр наступного розряду;
3) якщо сума цифр одиниць більша або дорівнює 10, то число її одиниць записують у розряд одиниць результату і додають одиницю до цифри десятків першого доданку, після чого переходять до додавання в розряді десятків;
4) аналогічні дії повторюють відносно десятків чисел, потім сотень і т.д.
