Алгоритм додавання цілих невід’ємних чисел у десятковій системі числення

Б ілет № 7. Десяткова система числення. Додавання в десятковій системі числення багатоцифрових чисел.

Нумерацією або системою числення -  називається сукупність правил і знаків або слів, за допомогою яких можна записати письмово або назвати усно будь-яке натуральне число.

-   називають мову для назви запису чисел та виконання дій над числами.

- У десятковій системі числення для запису будь-якого числа використовують десять цифр: 0, 1, 2,..., 9.

- За основу лічби взято число десять.

- Будь-яка скінчена послідовність цифр означає деяке число, причому значення цифри залежить від того, яку позицію (місце) вона займає в запису числа; в запису числа кожна цифра означає відповідну кількість розрядних одиниць.

Перші десять одиниць називаються одиницями першого розряду:

· десять одиниць першого розряду становлять одну одиницю другого розряду – десяток;

· десять одиниць другого розряду – сотню,

· десять сотень – одну одиницю четвертого розряду – тисячу і т. д.

- Кожні три послідовні розряди, починаючи з першого, утворюють клас.

Три розряди класу називаються одиницями, десятками і сотнями цього класу.

За допомогою усної десяткової нумерації називають будь-яке натуральне число.

Десятковим записом натурального числа m називається його подання у вигляді m = a_n · 10 ⁿ + … + a ₁ · 10 + a ₀ або скорочено

                          m = a_n a_{n -1} … a ₁ a ₀

Назви класів і розрядів наведено у таблиці

№ класу	Назва класу	№ розряду	Назва розряду
I	Одиниці	1 2 3	Одиниці Десятки Сотні
II	Тисячі	4 5 6	Одиниці тисяч Десятки тисяч Сотні тисяч
III	Мільйони	7 8 9	Одиниці мільйонів Десятки мільйонів Сотні мільйонів
IV	Мільярди (більйони)	10 11 12	Одиниці мільярдів Десятки мільярдів Сотні мільярдів

 

Числа 1, 10, 10 ² ,… 10 ^{n -1}, 10 ⁿ називаються розрядними одиницями.

Порівняння чисел у десятковій системі числення:

1) Два числа рівні тоді і тільки тоді, коли всі цифри їх розрядів однакові:

a_ma_m-1… a₁a₀ = b_mb_m-1  … b₁b₀, якщо a_m = b_m, …, a₀ = b₀.

2) Із двох чисел, записаних різною кількістю цифр, більшим є те, в якому більше цифр, тобто яке має одиниці більш високого розряду.

3) Із двох чисел з однаковою кількістю цифр більшим є те, у якому цифра найвищого розряду має більше одиниць, а якщо цифри найвищого розряду однакові, то більшим є число, в якому цифра, що стоїть за ним, має більше одиниць, і т. д.

 

Правило додавання «стовпчиком» базується на:

· способі запису чисел у десятковій системі числення;

· переставному і сполучному законах додавання;

· розподільному законі множення відносно додавання;

· таблиці додавання одноцифрових чисел.

Алгоритм додавання цілих невід’ємних чисел у десятковій системі числення

Якщо числа а і в одноцифрові, то для обчислення суми цих чисел досить порахувати число елементів двох множин, які не перетинаються і які мають відповідно а і в елементів. Усі можливі суми, які дістають при додаванні одноцифрових чисел, утворюють таблицю додавання одноцифрових чисел. Її запам’ятовують і щоразу використовують при додаванні таких чисел.

При додаванні багатоцифрових чисел використовують правило додавання одноцифрових чисел. Такі числа подають (або уявляють) у вигляді сум степенів числа 10 з коефіцієнтами, якими є цифри даних чисел. Наприклад: 1917 + 1991 = (1·10³ + 9·10² + 1·10 + 7) + (1·10³ + 9·10² + 9·10+ 1). Згрупуємо коефіцієнти відносно однакових степенів числа 10 і додамо їх, згідно з таблицею додавання одноцифрових чисел. Якщо сума коефіцієнтів менша за 10, то записують її в тому ж розряді; якщо сума більше від 10, то число її одиниць записують в тому ж розряді, а число десятків додають до вищого розряду.

Так, 1917 + 1991 = (1+1) ·10³ + (9 + 9) ·10² + (1 + 9) · 10 + (7 +1) = 3908.

Для того щоб відповідні одиниці розрядів відразу згрупувати, треба числа записати стовпцем і виконати додавання цифр відповідних розрядів:

                                     ₊ 1 9 1 7

                                      1 9 9 1

                                      3 9 0 8

Загальний алгоритм додавання багатоцифрових чисел такий:

1) другий доданок записують під першим так, щоб відповідні розряди знаходились один під одним;

2) додають цифри розряду одиниць; якщо сума менша 10, її записують у розряд одиниць результату і переходять до додавання цифр наступного розряду;

3) якщо сума цифр одиниць більша або дорівнює 10, то число її одиниць записують у розряд одиниць результату і додають одиницю до цифри десятків першого доданку, після чого переходять до додавання в розряді десятків;

4) аналогічні дії повторюють відносно десятків чисел, потім сотень і т.д.